Fuente de campo variable y conservación energía

[Jorgee]

Hola a todos.

Supongamos que tenemos una fuente de campo ... eléctrico, de carga variable en el tiempo. LLamémosle $Q$. $Q$ está fija en nuestro sistema de referencia. Introduzcamos ahora una carga de prueba $q$ en nuestro problema. A pesar de que el campo creado por $Q$ es irrotacional (su rotacional es cero, o deriva del gradiente de un campo escalar), el trabajo realizado por su campo sobre la carga $q$, a lo largo de una trayectoria cerrada de ésta, NO TIENE POR QUE VALER CERO.

Me pregunto bajo qué condiciones el trabajo sobre la trayectoria cerrada puede ser cero.

[Rolo]

Re: Fuente de campo variable y conservación energía

Mmm, la verdad que es una buena pregunta esta... No estoy del todo seguro de tener una respuesta correcta pero paso a detallar mis impresiones sobre el tema...

En principio, el grave problemilla acá es el sistemita reónomo este (aparece el tiempo explicitamente). Este tipo de sistemas se tratan con detalle en el goldstein, pero más enfocado a sistemas mecánicos, pero generalizable (para este problema en particular creo yo...).

A ver... Tenemos un potencial:[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y entonces un campo eléctrico: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Creo que las siguientes igualdades siguen valiendo independientemente que aparezca el tiempo metido:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Lo cual da cero si se cumple que:[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] para algún tiempo en particular.

Por otro lado se tiene que:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] distinto de cero (por lo menos para instantes de tiempo no muy particulares!).

Creo que el tema es que tu campo no es irrotacional para todo tiempo. Pero como dije al principio, no sé si estoy dando la respuesta correcta... (Aparte de que no chequié las ecuaciones, pero creo no haber escrito disparates )
Esto por lo menos es lo que pienso yo, quizá alguien pueda ser más esclarecedor...
Saludos, espero sea de utilidad,
Rolo

[pod]

Re: Fuente de campo variable y conservación energía

La situación que describes viola la conservación de la carga. Este es un principio fundamental, ya que se deriva directamente de la ley de continuidad (que a su ves, se deduce de las ecuaciones de Maxwell).

La ley de continuidad establece que la carga en una región cualquiera, la carga sólo puede variar si hay una corriente neta que atraviesa la frontera de la región. En particular, uno puede coger una región tan pequeña que solo contenga en su interior una partícula. La ley de continuidad implicará que la carga de dicha partícula será siempre la misma. También implica que para crear una carga, hay que crear a la vez (y en el mismo sitio) otra carga idéntica con signo opuesto.

Es decir, no puede existir una única carga variable en el tiempo. Para que exista, habría que llevar la nueva carga hasta allí desde "otro sitio"; y una carga en movimiento generará un campo magnético variable en el tiempo, que según la ecuación de Maxwell correspondiente, hace que el rotacional del campo eléctrico no sea cero, sino que sea proporcional a la derivada del campo magnético.

[Rolo]

Re: Fuente de campo variable y conservación energía

Es decir, no puede existir una única carga variable en el tiempo. Para que exista, habría que llevar la nueva carga hasta allí desde "otro sitio"; y una carga en movimiento generará un campo magnético variable en el tiempo, que según la ecuación de Maxwell correspondiente, hace que el rotacional del campo eléctrico no sea cero, sino que sea proporcional a la derivada del campo magnético.

Espectacular! Yo veia que no podía explicar el resultado de que el campo eléctrico no fuese irrotacional, pero ahora está claro!
Saludos,
Rolo

[Jorgee]

Re: Fuente de campo variable y conservación energía

La situación que describes viola la conservación de la carga. Este es un principio fundamental, ya que se deriva directamente de la ley de continuidad (que a su ves, se deduce de las ecuaciones de Maxwell).

La ley de continuidad establece que la carga en una región cualquiera, la carga sólo puede variar si hay una corriente neta que atraviesa la frontera de la región. En particular, uno puede coger una región tan pequeña que solo contenga en su interior una partícula. La ley de continuidad implicará que la carga de dicha partícula será siempre la misma. También implica que para crear una carga, hay que crear a la vez (y en el mismo sitio) otra carga idéntica con signo opuesto.

Exacto. En una región aislada, la carga neta se mantiene constante (no parece que se escape la carga hacia una dimensión desconocida).

Supongamos entonces que en lugar de una sola carga $Q$ tenemos muchas más. Supongamos que tenemos un trozo de material dieléctrico fijo en nuestro sistema de referencia, que ocupa un volumen $V_d$ y es delimitado por una superifice cerrada $S_d$.

Macroscópicamente, aparecen unas distribuciones de carga de polarización inducidas por el campo de la carga de prueba. Cada $dV_d$ y cada $dS_d$ se comportan como cargas variables en el tiempo (cambian a medida que aproximamos la carga de prueba $q$ al dieléctrico). La carga total del dieléctrico es cero en todo momento, por lo que no se está violando el principio de conservación de la carga.

En este caso, el trabajo realizado por el campo del dieléctrico sobre la carga de prueba $q$, a lo largo de una trayectoria cerrada de la misma, ¿es CERO o distinto de CERO?

[Jorgee]

Re: Fuente de campo variable y conservación energía

Ya estoy por aquí otra vez.

Volviendo a lo de antes ... En concreto, a lo último que dijo Pod. Veamos, si te entendí bien, para analizar este problema habría que tener en cuenta muchas más cosas.

Antes de seguir, hago una pequeña presentación, para que no penséis que soy un tocapelotas. Este año no me matriculé en la universidad, para poder preparar con calma asignaturas de las que me matricularé con posterioridad, cuando pueda. Necesito hacerlo así porque mis años de estudiante ya pasaron hace tiempo. Tengo 30 y pico años y, como es lógico, no dispongo del mismo tiempo del que disponía a los 20.

Ahora estoy repasando Electricidad y Magnetismo de 2º. La aprobé el año pasado, pero no pude llegar a estudiar las ecs. de Maxwell ni las ondas electromagnéticas (me quedé en Faraday, vamos). Además, como en la UNED (que es donde estoy matriculado) se dan unos temarios muy extensos en un tiempo corto, ocurre a veces que te pierdes en una amalgama de detalles aparentemente inconexos y no llegas a comprender los principios fundamentales, que fue lo que me pasó en algunos puntos.

En este repaso llegué al tema de la energía electrostática y me encontré con una serie de cosas que no me parecieron tan evidentes como me las pintaban. Y me pareció oportuno comentarlas aquí, en este foro, porque muchos de los aquí presentes estáis en cursos avanzados (por ejemplo, tú mismo, Pod, estás haciendo el doctorado, ¿no?) y habéis estudiado cosas que yo aun no estudié.

Por ejemplo, en este problema que planteo (que básicamente es el mismo que el del post de "energía y modelo corpuscular de la materia"): ¿tiene sentido lo que pregunto o me estoy yendo por los cerros de Ubeda? Eso es lo que no sé y me gustaría discutir.

[Rolo]

Re: Fuente de campo variable y conservación energía

Volviendo a lo de antes ... En concreto, a lo último que dijo Pod. Veamos, si te entendí bien, para analizar este problema habría que tener en cuenta muchas más cosas.

Creo que básicamente lo que dice Pod es que para tener una carga q(t) en una cierta región, necesariamente necesitas una cierta corriente i(t) que mantenga la carga de esa forma. Está corriente variable en el tiempo genera un campo magnético variable en el tiempo, con lo cual E no es irrotacional sino que el rotor de E va a ser menos la variación de ese campo magnético en el tiempo.

Sobre la otra situación que planteaste, yo por lo menos tendría que pensarlo un poquito más y por estos días ando medio complicado de tiempo. Pero probablemente alguno de por aquí tenga la respuesta en su mente!

Saludos, ojalá este por lo menos sea de utilidad,
Rolo

PD: Qué será un tocapelotas??? Seguramente algo muy distinto a lo que significa por aquí!

[pod]

Re: Fuente de campo variable y conservación energía

Bueno si quieres bajar al nivel de partículas individuales: simplemente, no existen las cargas variables en el tiempo. Las partículas siempre tienen la misma carga. Los electrones siempre tienen carga -1 (en unidades naturales). Los quarks "up" siempre tienen carga 2/3. Para crear una partícula con carga, siempre hay que crear otra partícula con la carga opuesta (normalmente, la antipartícula de la anterior).

[Jorgee]

Re: Fuente de campo variable y conservación energía

Creo que básicamente lo que dice Pod es que para tener una carga q(t) en una cierta región, necesariamente necesitas una cierta corriente i(t) que mantenga la carga de esa forma. Está corriente variable en el tiempo genera un campo magnético variable en el tiempo, con lo cual E no es irrotacional sino que el rotor de E va a ser menos la variación de ese campo magnético en el tiempo.

Sí, eso fue lo que le entendí.

Saludos, ojalá este por lo menos sea de utilidad,
Rolo

Sí, en general me resultan todos útiles, éste incluido, porque contribuyen a acotar las dudas. Saludos

PD: Qué será un tocapelotas??? Seguramente algo muy distinto a lo que significa por aquí!

Uso "tocapelotas" como "molesto" o pesado. Quería decir que mi intención no es formular preguntas capciosas. Mis preguntas surgen de forma natural al estudiar y solo quiero compartir mis dudas con los demás.

P.D. ¿Qué significa "tocapelotas" en Uruguay?

[Jorgee]

Re: Fuente de campo variable y conservación energía

Bueno si quieres bajar al nivel de partículas individuales: simplemente, no existen las cargas variables en el tiempo. Las partículas siempre tienen la misma carga. Los electrones siempre tienen carga -1 (en unidades naturales). Los quarks "up" siempre tienen carga 2/3. Para crear una partícula con carga, siempre hay que crear otra partícula con la carga opuesta (normalmente, la antipartícula de la anterior).

Precisamente lo que trato de evitar es tener que bajar al nivel de las partículas individuales. No sé de qué forma se puede abordar este problema sin bajar al nivel microscópico.

Mi duda principal es ésta: el trabajo realizado por el campo eléctrico del dieléctrico sobre la partícula $q$, desde el infinito hasta su posición final, ¿es independiente de la trayectoria seguida por $q$? ¿O depende de la trayectoria? De ser independiente, ¿cómo puede demostrarse sin tener que bajar al nivel microscópico?

[carroza]

Re: Fuente de campo variable y conservación energía

Precisamente lo que trato de evitar es tener que bajar al nivel de las partículas individuales. No sé de qué forma se puede abordar este problema sin bajar al nivel microscópico.

Mi duda principal es ésta: el trabajo realizado por el campo eléctrico del dieléctrico sobre la partícula $q$, desde el infinito hasta su posición final, ¿es independiente de la trayectoria seguida por $q$? ¿O depende de la trayectoria? De ser independiente, ¿cómo puede demostrarse sin tener que bajar al nivel microscópico?

Si el campo es estacionario, es decir, que $\vec E(\vec r)$ no depende del tiempo, entonces el trabajo es independiente de la trayectoria. La demostración es que, en ese caso, $\vec E(\vec r)$ es el gradiente de un potencial, y el trabajo del campo eléctrico resulta matemáticamente igual al producto de la carga por la diferencia del potencial en los puntos inicial y final.

Si el campo no es estacionario, entonces en general el trabajo depende no sólo de la trayectoria, sino del tiempo que se emplee en describir dicha trayectoria.