Ecuaciones de Maxwell

[arivasm]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Imagino que el ejercicio no te pedirá las demostraciones de las ecuaciones para los medios materiales a partir de las generales. Como te conté antes, hay pasos que son complicados (por ejemplo, que la divergencia de la polarización es igual al opuesto de la densidad volumétrica de carga de polarización).

De todos modos, la demostración de a) es la que te conté. Con respecto a b), ya te conté antes que de la forma integral se pasa a la diferencial o viceversa con los dos teoremas que puse antes. No hace falta hacer el camino que indicas en b) (sería exactamente el mismo que en a), pero tomando volúmenes infinitesimales).

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

...pero a ver no deberia partir de las ecuaciones en el vacio que son las que ya conozco?

O sea 2 demostraciones :

(a) Partiendo de $\dst \oint_s \vec{E} \cdot d \vec{s} = \frac{Q}{ \varepsilon_0}$ tengo que demostar que ahora voy a tener que $\int_s \vec{D} \cdot d \vec{s} = {Q}_{ libre}$

(b) Partiendo de $\dst \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{ \varepsilon_0}$ tengo que demostar que ahora voy a tener que $\dst \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho$

Eso tendria que hacer?

- - - Actualizado - - -

a eso que se le llama carga libre es la carga en el vacio? o sea cuando no hay un material dielectrico o magnetico? o sea en las ecuaciones de maxwell en el vacio que di antes para la ley de gauss esa Q que use seria la Q libre? porque es en el vacio ?

[arivasm]

Re: Ecuaciones de Maxwell

El camino es de ida y vuelta...

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

mmmm a ver de a poco que me confundo..

Una de las ecuaciones de maxwell en medio material entonces es :

1) FORMA INTEGRAL:$\dst \int_s \vec{D} \cdot d \vec{s} = {Q}_{libre }$

FORMA DIFERENCIAL : $\dst \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho$

es asi?

Entonces para demostrar que esto es asi... tengo que partir de la forma integral y llegar luego por medio de (1) a la diferencial? o al reves?

[arivasm]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Mientras escribía todo esto, veo que Natael también ha hecho contribuciones. De todos modos, pondré también la mía, por si es útil (o incorrecta, que también me viene bien aclararme!). Este es el texto del post que iba a escribir justo después del de Breogán:

Las ecuaciones integrales se obtienen a partir de los teoremas de la divergencia y del rotacional. Representaré con $\vec A$ a un campo arbitrario. El teorema de la divergencia nos permite pasar de una integral de divergencia sobre un volumen a una de flujo sobre la superficie cerrada que lo delimita:

$$\int_V (\vec\nabla\cdot\vec A)\dd V =\oint_S \vec A\cdot\dd\vec S$$

El del rotacional nos permite pasar de una integral de rotacional sobre una superficie no cerrada a una de circulación a lo largo del contorno cerrado que la delimita:

$$\int_S (\vec\nabla\times\vec A)\cdot\dd \vec S =\oint_C \vec A\cdot\dd\vec l$$

De hecho son los mismos que relacionan las formas diferenciales e integrales del primer post.

A modo de ejemplo, tomemos la primera ecuación de Maxwell: $\vec\nabla\cdot\vec D=\rho$. Con el teorema (1) y teniendo en cuenta que $\rho$ es la densidad de carga libre, tenemos que

$\dst\oint_S \vec D\cdot\dd\vec S=\int_V (\vec\nabla\cdot\vec D)\dd V =\int_V \rho\dd V=Q$

Es decir, el flujo del vector desplazamiento a través de una superficie cerrada es igual a la carga libre presente en el volumen que encierra.

Sobre la pregunta de por qué no aparece el vector polarización, digamos en primer lugar que está presente, pero a través del vector desplazamiento. Para verlo se parte del teorema de Gauss general aplicado a un dieléctrico, teniendo en cuenta que ahora tendremos que considerar la carga libre $Q$ y la de polarización $Q_p$, de manera que el teorema es

$$\epsilon_0\int_S\vec E\cdot\dd\vec S=Q+Q_p$$

.

Por lo que he visto en los libros, con una demostración un tanto larga se encuentra que el vector polarización $\vec P$ y la densidad volumétrica de carga de polarización se relacionan mediante $\rho_p=-\vec\nabla\cdot\vec P$, lo que nos permite obtener, con el teorema anterior que $\dst Q_p=\int_V\rho_V\dd V=-\int_V (\vec\nabla\cdot\vec P)\dd V =-\oint_S \vec P\cdot\dd\vec S$

Si llevas esto a (3) tienes

$\dst\int_S(\epsilon_0\vec E+\vec P)\cdot\dd\vec S=\int_S\vec D\cdot\dd\vec S=Q$

Por supuesto, la forma diferencial es el viaje en sentido contrario al que hice antes.

Por último, sobre las razones por las que unas ecuaciones quedan con E y B, mientras que otras se expresan con D y H es que en la teoría electromagnética se entiende que cada material poseerá sus propias relaciones $\vec D(\vec E)$ y $\vec H(\vec B)$ (por ejemplo, hace unos días hemos hablado bastante de cómo son las -complicadas- relaciones entre $\vec B$ y $\vec H$ en los materiales ferromagnéticos) que al ser llevadas a las ecuaciones de Maxwell deberán permitir predecir completamente el comportamiento electromagnético del material.

PD: Sobre el $4\pi$ de Natanael: una de las mayores pesadillas para los estudiantes de electromagnetismo es que según cuál sea el sistema de unidades utilizado las propias ecuaciones pueden cambiar. En realidad es algo que no debería suceder, pero para nuestra desgracia aún no hay el suficiente acuerdo entre los físicos y (sobre todo) los profesores de Física como para apostar por un único sistema (en mi opinión debería ser el Internacional). En el sistema cgs (muerto salvo en electromagnetismo) la constante de Coulomb se toma como $k=1$, con lo que $\dst\epsilon_0=\frac{1}{4\pi}$.

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

que complicado se ve lo que hiciste natanael, no te pude entender mucho....de donde sale ese 4 pi? y porque las integrales tienen 2 simbolos de integral?

No se puede llegar partiendo de la formula que dijo breogan? que es la que yo vi en la teoria $\dst D = \varepsilon_0 E + P$

[natanael]

Re: Ecuaciones de Maxwell

ajá, vamos a jugar un rato haber que pasa:

1) $\dst \oiint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0 }$

si $\vec{E}=\vec{D}-4\pi\vec{P}$ entonces

$\dst \oiint_S \left( \vec{D}-4\pi\vec{P} \right)\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0 }$


$\dst \oiint_S \vec{D}\cdot d\vec{S}+4\pi\oiint_S\left( -\vec{P} \right) \cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0 }$

mi amigo stokes me dijo una vez que $-\oiint_S\vec{P} \cdot d\vec{S}=\iiint_V\nabla\cdot\left(- \vec{P} \right)\dd V$

donde $\partial V=S$ y de un libro estoy leyendo que que $\rho_V=-\nabla\cdot\vec{P}$ así que


$\dst \oiint_S \vec{D}\cdot d\vec{S}+4\pi \iiint_V\rho_V\dd V= \frac{Q}{\varepsilon_0 }$

$\dst \oiint_S \vec{D}\cdot d\vec{S}= \frac{Q}{\varepsilon_0 }-4\pi \iiint_V\rho_V\dd V$

pero hasta aquí llego yó, creo que e imagino que $\frac{Q}{\varepsilon_0 }-4\pi \iiint_V\rho_V\dd V$ es la carga "real" neta menos la carga ligada debido a los momentos dipolares.

vamos haber que pasa con ésta:

$\dst \vec{\nabla} \cdot \left(\vec{D}-4\pi\vec{P} \right) =\frac{\rho}{\varepsilon_0 }$

$\dst \vec{\nabla} \cdot \vec{D}+4\pi\vec{\nabla} \cdot\left(- \vec{P} \right) =\frac{\rho}{\varepsilon_0 }$

$\dst \vec{\nabla} \cdot \vec{D} =\frac{\rho}{\varepsilon_0 }-4\pi\rho_V$

por allí van los tiros...

vamos haber como me vá con 3), intentalo tú haber que pasa!

[Breogan]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Hola:

Lo siento, pero tanto no me acuerdo. Esperemos que alguno de los senior pasen por el hilo y nos despejen las dudas.

Suerte

PD: creo que la explicación esta en la vinculación entre las cargas/corrientes totales, libres y de polarización, con cada uno de los campos

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

No dudo que tus ecuaciones esten bien, pero no veo como llegas a esos resultados...por ejemplo en la ecuacion 1 si reemplazas a E por el vector D porque no aparece el vector P ?

Por otro lado veo que la 2 y 3 no cambian.....hay alguna razon por la cual sea obvio que esas 2 no deberian cambiar y las otras 2 si? y por ultimo tambien quisiera saber como serian las ecuaciones integrales

[Breogan]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Hola:

Como bien dijo Laura en el vacio pueden existir cargas y corrientes.

Las ecuaciones de Maxwell en medios materiales salen de tener en cuenta las definiciones de $\vec H$ y $\vec D$

$\vec D\ =\ \varepsilon_0\ \vec E\ +\ \vec P$

$\dst \vec H\ =\ \frac {\vec B}{\mu_0}\ -\ \vec M$


Y las ec. de Maxwell serian:

$$\nabla \ .\ \vec D\ =\ \rho$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\nabla \ .\ \vec B\ =\ 0$$

$$\dst \nabla \ \times\ \vec H\ =\ \vec j\ +\ \frac{\partial \vec D}{\partial t}$$

Te aviso que las copie del libro, salvo que haya copiado mal están bien.

Suerte

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

No hay problema bueno ahora que se aclaro eso y asumiendo que las ecuaciones en el vacio estan bien, vos sabes como serian ahora las ecuaciones de maxwell en el medio material? si es que cambian todas ellas o solo algunas? creo que es como decis vos en este caso hay que usar el campo ese H no?

[natanael]

Re: Ecuaciones de Maxwell

si, creo que tienes toda la razón, gracias por la aclaración!

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

pero si encierra carga, no se asume que la carga es cero...cuando dice en el vacio implica que no hay un dielectrico por ejemplo en el caso de un capacitor o que no hay un material magnetico por ejemplo dentro de un solenoide.

Lo que vos decis seria "en el espacio libre" no en el vacio....por lo que tengo entendido de los libros

[natanael]

Re: Ecuaciones de Maxwell

yo no soy experto en esto, pero si tu haces una integral de superficie, sobre una superficie cerrada, de un campo vectorial que haya sido obtenido de superposiciones de campos que disminuyen con la distancia al cuadrado, y esta superficie no encierra carga alguna, como en el vacío, entonces 1) dá cero

en 4) es obvio que no hay corrientes en el vacío.

las ecuaciones que pusiste estan buenas, pero no describen la situación que se presenta en el vacío. lo que necesitas es ecribirlas en terminos de $\vec{H}$ y $\vec{D}$ ver aquí. y con la condiciones de que describan los campos en el vacío.

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Hola! estas seguro de eso que decis? en teoria esas 4 ecuaciones que puse deberian estar bien porque las saque del libro...las que no encontre son las de maxwell en el medio material