Ecuaciones de Maxwell

[arivasm]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Muy buena la idea de la ley universal que citas...

[pod]

Re: Ecuaciones de Maxwell

vamos haber si entendí, esa forma sencilla de la que hablas, te refieres es a esto:

Para la mayoría de medios (los llamados medios lineales, en que la magnetización y la polarización son proporcionales a los campos), $\epsilon$ y $\mu$ son constantes escalares, así que las ecuaciones de D y H son idénticas a las del vacío, sólo cambiando las constantes. Esa es la forma sencilla: permiten tener las mismas ecuaciones para un medio (lineal) que para el vacío.

En efecto, para los medios no lineales, puede que en vez de constantes escalares pueden que tengamos funciones del tiempo y/o del espacio; o matrices en vez de escalares. En el caso más complicado, puede que sea una matriz que dependa del espacio y del tiempo...

si se parte de las ecuaciones (integral y diferencial) en el vacío, que están en terminos de $\vec{E}$ y $\vec{B}$ y las constantes $\epsilon_0$ y $\mu_0$, se puede hacer el cambio directo

ENTONCES definen:

$\vec{D}=\epsilon\vec{E}+\vec{P}$ y
$\vec{B}=\mu_0\left( \vec{H}+\vec{M} \right)$

Ahí te falta el subíndice cero en $\epsilon$.

para evitar esa jodida tranformación, donde $\vec{P}$ y $\vec{M}$ hacen un papel muy análogo al que hacen los codificadores perimitividad eléctrica y la permeabilidad magnetica (matriz). PREGUNTA: ¿Entonces al final de cuentas, la forma tensorial ($D_i=\epsilon_{ik}E_k$ y $B_i=\mu_{ik}H_k$) y la que se define como una suma de dos vectores ($\vec{D}=\epsilon\vec{E}+\vec{P}$ y $\vec{B}=\mu_0\left( \vec{H}+\vec{M} \right)$) son la misma tranformación, sólo que llavada a cabo de esas dos formas distintas?

Claro. Simplemente igualando, $\epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P$. Esa es la definición de $\epsilon$. Aquí se ve que si el medio es lineal, entonces la polarización es paralela al campo $\vec E$ y, por lo tanto, $\epsilon$ es una simple constante escalar. En caso contrario, la polarización tendrá una dirección diferente al campo; por lo tanto la suma de la derecha no tiene la misma dirección que el campo. Por lo tanto, $\epsilon$ debe "girar" la dirección del campo en el miembro de la izquierda para que se pueda dar la igualdad; eso sólo es posible si es matricial.

De forma similar para el campo magnético y $\mu$.

Obviamente, con todo esto sólo estamos moviendo la "dificultad" de un sitio a otro. El uso de D nos permite ignorar la cantidad de dipolos eléctricos que aparecen debido a la polarización, pero por contra nos hacen lidiar con una cantidad matricial. Al final, se cumple la "ley universal de conservación de la jodienda". Se trata de elegir que parece un poquito más tratable: una matriz o un montón de cargas de polarización y corrientes de magnetización.

[natanael]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Muchas gracias a cada uno de los que me ayudo por su paciencia! ya puedo continuar con el siguiente tema que es onda electromagneticas

ya vá, un momento

En efecto, las ecuaciones de Maxwell con sólo B y E son válidas siempre. La información del medio está codificada en los valores de la permeabilidad y permitividad, así que los cambios a hacer básicamente corresponden a eso: cambiar las constantes del vacío por las del medio (puedes verlo en el apartado 4.2 de la entrada en el diccionario sobre las ecuaciones de Maxwell). Ahora bien, esta dependencia del medio las hace poco prácticas. Por eso se introducen los campos "auxiliares" H y D, cuyas ecuaciones en un medio son formalmente idénticas a las de B y E en el vacío.

Es decir, H y D no añaden poder predictivo ni descriptivo al electromagnetismo. Lo que añaden es una forma sencilla de tratar la presencia de medios.

vamos haber si entendí, esa forma sencilla de la que hablas, te refieres es a esto:

si se parte de las ecuaciones (integral y diferencial) en el vacío, que están en terminos de $\vec{E}$ y $\vec{B}$ y las constantes $\epsilon_0$ y $\mu_0$, se puede hacer el cambio directo

$\vec{D}=\epsilon\vec{E}$ y
$\vec{B}=\mu\vec{H}$

donde $\epsilon$ y $\mu$ son matrices del estilo $\epsilon_{ik}=\epsilon_0{\left( \epsilon_r \right)}_{ik}$ y $\mu_{ik}=\mu_0{\left( \mu_r \right)}_{ik}$ que transforman los vectores $\vec{E}$ y $\vec{H}$ respectivamente, y finalmente al ser sustituidas en las ecuaciones para el vacío, obtenemos las que sirven para los medios materiales (lo que tanto se ha buscado).

fuente: "electrodinámica de medios continuos", por el tío landau, página 70 para $D_i=\epsilon_{ik}E_k$ y pagina 142 para $B_i=\mu_{ik}H_k$.

ahora bien,,, esta tranformación es jodida, según he leído, ya que existen medios anisótropos. ENTONCES definen:

$\vec{D}=\epsilon\vec{E}+\vec{P}$ y
$\vec{B}=\mu_0\left( \vec{H}+\vec{M} \right)$

para evitar esa jodida tranformación, donde $\vec{P}$ y $\vec{M}$ hacen un papel muy análogo al que hacen los codificadores perimitividad eléctrica y la permeabilidad magnetica (matriz). PREGUNTA: ¿Entonces al final de cuentas, la forma tensorial ($D_i=\epsilon_{ik}E_k$ y $B_i=\mu_{ik}H_k$) y la que se define como una suma de dos vectores ($\vec{D}=\epsilon\vec{E}+\vec{P}$ y $\vec{B}=\mu_0\left( \vec{H}+\vec{M} \right)$) son la misma tranformación, sólo que llavada a cabo de esas dos formas distintas?

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Muchas gracias a cada uno de los que me ayudo por su paciencia! ya puedo continuar con el siguiente tema que es onda electromagneticas

[arivasm]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Correcto

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

muchas gracias! se entendio perfectamente! ahora la forma de obtener la ecuacion integral (que es la que pusiste en tu post 39 no ? ) es usando el teorema del rotacional ?

[arivasm]

Re: Ecuaciones de Maxwell

(Qué bien me viene todo esto para refrescar cosas...!)

Partamos de

$$\dst\vec\nabla\times\vec B=\mu_0 \vec J_{total}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$$

La idea va a pasar por introducir en la densidad de corriente la de las cargas libres $\vec J_{libre}$, las de las corrientes de magnetización $\vec J_{mag}$ y la de las corrientes de las cargas de polarización $\vec J_{pol}$.

Para las segundas se tiene que

$$\vec J_{mag}=\vec\nabla\times\vec M$$

(y la demostración es "larguita", pues pasa por los potenciales vectores del campo magnético -del mismo modo que la de $\vec\nabla\vec P=-\rho_{pol}$ pasa por los potenciales eléctricos-), lo que nos lleva derechitos a la necesidad de introducir el campo

$$\dst\vec H=\frac{1}{\mu_0}{\vec B}-\vec M$$

.

Sólo con ese paso tendremos que

$$\dst\vec\nabla\times\vec H=\vec J_{libre}+\vec J_{pol}+\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$$

Está claro que ahora el juego va a pasar por tratar de englobar los dos últimos sumandos en uno solo.

Se me ocurre (y esto es de mi propia cosecha -pues veo que en los libros recurren a otro atajo con la ecuación de continuidad de la carga libre y omitir inicialmente la corriente de desplazamiento-) que una manera sencilla pasa por usar la ecuación de continuidad para la carga de polarización

$\dst\vec\nabla\vec J_{pol}=-\frac{\partial\rho_{pol}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\vec\nabla\vec P=\vec\nabla\left(\frac{\partial \vec P}{\partial t}\right)$

y como esta relación debe cumplirse de manera general esto implicaría que (salvo un rotacional arbitrario que se omitiría por ser innecesario)

$$\dst\vec J_{pol}=\frac{\partial\vec P}{\partial t}$$

Al llevar eso a (4) nos quedará

$$\dst\vec\nabla\times\vec H=\vec J_{libre}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec P+\epsilon_0\vec E\right)=\vec J_{libre}+\frac{\partial\vec D}{\partial t}$$

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

claro me refiero a la primera.

Mis ecuaciones de Maxwell del post 1 eran :

FORMA INTEGRAL : $\dst \oint_c \vec{B}\cdot \vec{dl} = \mu_0 \int_s \vec{j} \cdot\vec{ds} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt } \int_s \vec{E} \cdot \vec{ds} = \mu_0 (I + I_d)$

FORMA DIFERENCIAL :$\dst \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{{j}_{total }} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t }$

Veo algunas sutiles diferencias con respecto a la que pones vos, pero asumo que las mias igualmente son correctas no?

[arivasm]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Sobre el post 36: la respuesta a por qué no cambia el teorema de Gauss para el campo magnético es la misma de antes, porque sólo interviene B y no cargas o corrientes, que se puedan separar, bla, bla, bla. Ya puestos, añadiré el motivo por el que interesa manejar sólo las cargas libres y sus corrientes: son las que podemos medir con un simple voltímetro o amperímetro!

Ahora lo que me gustaria saber es como hacer algo parecido a lo que hicismo con la ley de gauss para E. Partiendo de la ecuacion integral para el vacio llegar a la ecuacion integral para el medio material. Y lo mismo con la ecuacion diferencial

No entiendo bien. ¿Te refieres a partir de $\dst\vec\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J_{total}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec E}{\partial t}$ y llegar a $\dst\vec\nabla\times\vec H=\vec J_{libre}+\frac{\partial\vec D}{\partial t}$ (o sus correspondientes formas integrales)? ¿O te refieres a partir de la última expresión anterior y llegar a $\dst\int\vec H\cdot\dd\vec l=I_{libre}+\frac{\partial}{\partial t}\int \vec D\cdot\dd\vec S$?

Edito: que tonto soy, ya veo que tu pregunta es la primera. Me pongo con los libros...

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

ahh ok! entonces en la de Faraday Lenz no cambia solamente por el hecho de que en esas ecuaciones no estan presentes cargas o corrientes. y en cambio en la ecuacion de Ampere-Maxwell lo que esta presente es la corriente I y la corriente I_d. Estas corrientes son las que se pueden descomponer en libres y polarizadas y por ende "mejorar" las ecuaciones?

PD: habia actualizado mi post 36 con una ultima pregunta por sino la viste

- - - Actualizado - - -

Ahora lo que me gustaria saber es como hacer algo parecido a lo que hicismo con la ley de gauss para E. Partiendo de la ecuacion integral para el vacio llegar a la ecuacion integral para el medio material. Y lo mismo con la ecuacion diferencial

[arivasm]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Comenzaré por la segunda pregunta: en la carga total separamos carga libre y carga de polarización; en la densidad de corriente total separamos densidad de corriente de carga libre y densidad de corriente procedente de otros orígenes (tales como el desplazamiento de las cargas de polarización o las corrientes de magnetización).

Con respecto a la ecuación de Faraday-Lenz, no cambia porque en ella solo intervienen los campos E y B y no las cargas o las corrientes, que son las que justifican la modificación de las ecuaciones, para sólo manejar las libres.

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

ahh al fin voy entendiendo..bueno ahora sigo con las dudas jajaaj .

Con respecto a otras de las ecuaciones de maxwell que es la de Faraday Lenz veo que la misma tampoco cambia en el vacio y en el medio material, para este caso cual es la razon por la cual no cambia?

Y la otra duda es la ecuacion restante SI cambia, cual es la razon por la que cambia?


Ahhh y con respecto a la ley de gauss para B la razon es poque esta igualada a cero pero aca lo que ocurre es que no puedo separar la carga (en libre y polarizada) o que no puedo separar la corriente? ya me confundo de si habla de carga o de corriente dicha ecuacion

Gracias

[arivasm]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Haré como nuestro amigo Al2000 (al que, por cierto, echo mucho de menos últimamente -si me lees, ¡hola Al!-):

[LauraLopez]

Re: Ecuaciones de Maxwell

Se que soy muy testaruda asi que insisto en mi pregunta que creo que es lo que me tratan de decir...mas alla de como se obtienen las ecuaciones que eso lo voy a tratar de entender mas adelante antes quiero aclarar esta duda:

Una de las ecuaciones de Maxwell en el vacio es :

FORMA INTEGRAL : $\dst \oint_s \vec{E} \cdot d \vec{s} = \frac{{Q}_{total }}{\varepsilon_0 }$

FORMA DIFERENCIAL : $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{{\rho}_{total }}{\varepsilon_0 }$

Una de las ecuaciones de Maxwell en el medio material es :

FORMA INTEGRAL : $\dst \int_s \vec{D} \cdot d \vec{s} = {Q}_{libre }$

FORMA DIFERENCIAL : $\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = {\rho}_{libre }$

Estas ecuaciones son correctas no?

Entonces las preguntas que tengo son :

1) En el caso del vacio esas ecuaciones son validas para resolver ejercicios donde HAY presencia de dielectricos y tambien para resolver ejercicios donde NO hay presencia de dielectricos?

2) En el caso del medio material esas ecuaciones son validas para resolver ejercicios donde HAY presencia de dielectricos y tambien para resolvere ejercicios donde NO hay presencia de dielectricos?

3) Si la respuesta a ambas preguntas es SI significa que ambas ecuaciones son equivalentes no?

4) Entonces en que se diferencian? Aca yo diria que la diferencia esta en que la ecuacion en el vacio es mas "adecuada" de usar para problemas donde NO HAY presenecia de dielectricos , y la ecuacion en medios materiales es mas "adecuada " de usar para problemas donde SI HAY presencia del dielectrico. Es asi?

5) Otra duda es porque la ley de gauss para E cambia y la ley de gauss para B no cambia?

Bueno espero me puedan responder estas 4 pregutnas...una vez aclarado esto si me concentrare en tratar de entender la forma de obtener las ecuaciones

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Relei todo el hilo de nuevo y creo que algunas cosas me quedan mas claras, me respondere yo misma las preguntas y espero me puedan decir si digo bien o no :

1) SI, las ecuaciones son generales sirven para TODOS los casos

2) SI, las ecuaciones son generales sirven para TODOS los casos

3) SI, son equivalentes

4) Si es asi como dije

5) La ley de Gauss para E cambia porque en esta ecuacion se permite separar las cargas libres de las cargas polarizadas, entonces se puede "adaptar" la ecuacion para que sea mas "adecuada" usando el vector D y las cargas libres. EN cambio en la ecuacion de gauss para B como esta igualada a 0 no hay cargas con lo cual no se puede realizar esta separacion de cargas...por ende no hay una posible "mejor adecuacion" de la ecuacion con lo cual queda igual, esta bien esto? o es otra la razon por la cual la ley de gauss para B queda igual que la del caso en el vacio?

Digo bien?

[pod]

Re: Ecuaciones de Maxwell

mmm nose yo sigo confundida porque en esto que dijiste que P= 0 para el vacio estaria mal porque antes dijimos las ecuaciones de maxwell en el vacio son validas para los casos donde HAY medios materiales como tambien cuando NO hay medios materiales. o sea que no tiene porque si o si ser P=0. Sino que simplemente si se da el caso en que P=0 conviene usar las ecuaciones de maxwell en el vacio no es asi?

En efecto, las ecuaciones de Maxwell con sólo B y E son válidas siempre. La información del medio está codificada en los valores de la permeabilidad y permitividad, así que los cambios a hacer básicamente corresponden a eso: cambiar las constantes del vacío por las del medio (puedes verlo en el apartado 4.2 de la entrada en el diccionario sobre las ecuaciones de Maxwell). Ahora bien, esta dependencia del medio las hace poco prácticas. Por eso se introducen los campos "auxiliares" H y D, cuyas ecuaciones en un medio son formalmente idénticas a las de B y E en el vacío.

Es decir, H y D no añaden poder predictivo ni descriptivo al electromagnetismo. Lo que añaden es una forma sencilla de tratar la presencia de medios.