ondas y maxwell mas dudas....

[Breogan]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

Hola:

Sin animo de interferir y leyendo el ultimo post de Laura me parece que no le queda claro las diferencias y las sucesivas simplificaciones que se hacen entre ondas EM--->ondas planas--->ondas planas monocromáticas--->ondas planas monocromáticas linealmente polarizadas, y estas dos ultimas son las que vi que están explicando.

Suerte

PD: también seria bueno señalar la linealidad de la ecuación diferencial de onda, y la combinacion lineal de soluciones como solución de esta

Suerte

[arivasm]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

Con respecto a lo que dice Breogán (si es que he entendido bien su objección): la intención de las demostraciones anteriores es local. Es decir, para un punto determinado consideramos que está afectado por una onda electromagnética; situamos los ejes de la manera que nos resulte más cómoda (p.ej. eje X según la dirección de propagación, otro eje según la dirección de oscilación del campo eléctrico -una vez demostrado que el campo no oscilará en el sentido X, y entonces lo hará perpendicularmente-, y el tercer eje perpendicular a los otros dos). La idea es que la conclusión sea local: demostrar que en ese punto los campos oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación y también perpendicularmente entre sí.

Por tanto, se está omitiendo de manera deliberada la posible forma del frente de onda, o las variaciones de los parámetros de la onda (tales como amplitudes o fases, e incluso su síntesis de Fourier -aunque esto último no sería el caso, por tratarse del vacío-) a medida que se propaga, que serían los aspectos que deberíamos considerar si valorásemos la onda como un todo (lo que, incluiría, por ejemplo, su polarización).

Respecto de la pregunta de Laura, el tratamiento es idéntico: usando la línea de pod, facilitemos las cosas admitiendo que sólo tenemos variabilidad con la dirección de propagación, que tomaremos como X. La variabilidad transversal también podría estar presente, pero entonces ya estaríamos considerando qué sucede al irse a los puntos vecinos, con lo que estaríamos abordando aspectos no locales (pero tampoco nos invalidará el razonamiento; de hecho fue eso lo que hice en el post #2).

Por tanto, digamos que el campo eléctrico (oscilante) sólo tiene una componente, que ahora será la Z: $\vec E=(0,0,E_z)$, además de tal manera que su única derivada espacial no nula sea $\dst\frac{\partial E_z}{\partial x}$ (pero, insisto, no habrá problema en admitir que también pueda tener derivada no nula según Y y Z; pues después será el teorema de Gauss para el campo magnético el que establecería limitaciones al respecto).

Con la ley de Faraday, tenemos que $\dst\vec\nabla\times\vec E=\left(0,-\frac{\partial E_z}{\partial x},0\right)=-\frac{\partial}{\partial t}(0,B_y,B_z)$. De aquí concluimos que la única componente de B que es oscilante (no constante con el tiempo) es la Y: $\dst\frac{\partial B_y}{\partial t}=\frac{\partial E_z}{\partial x}\neq 0$, mientras que $\dst\frac{\partial B_z}{\partial t}=0$.

Puesto que el campo eléctrico oscila en Z y el magnético lo hace en Y, ambas oscilaciones son perpendiculares entre sí.

[LauraLopez]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

Creo que no entendiste mi duda que plantie en el post 15.....intentare expliarla de nuevo.

Esta demostracion que haces donde asumis una direccion de propagacion coincidente con un eje, y luego al campo electrico le definis que solo tenga una componente oscilante ( en este ultimo caso dijiste que sea en z) la entiendo perfectamente! y estoy de acuerdo en que esa demostracion lleva a que E y B son perpendiculares entre si.

Mi duda es : Yo considero que esa demostracion que haces es lo que llamo "casos faciles" porque el campo tiene una sola componente y la direccion de propagacion es en otro eje.
Lo que no entiendo es como se puede hacer una demostracion analoga a la que hiciste pero tomando condiciones iniciales distintas, tal vez un poco mas complicadas.

POr ejemplo asi :

Que el campo electrico tenga 2 componentes oscilantes, o sea $\dst \vec{E} = (E_x , E_y, 0 )$ y tomaremos que la direccion de propagacion es en el eje z.
Si el campo electrico oscila en x e y, y si la direccion de propagacion es en z. No existe forma de que B pueda ser perpendicular a todo eso....

[arivasm]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

OK. Supongamos que hay un sistema de referencia tal que $\vec E=(E_x,E_y,0)$ y que la onda EM se propaga en dirección Z. Tengo dos alternativas, la primera de las cuales es volver a poner en marcha el aparataje matemático anterior y verificar que el campo magnético oscilante tiene producto escalar nulo con ese campo (lo que demostraría que son perpendiculares). La segunda es girar alrededor de Z los ejes XY de manera que $\vec E$ tenga dirección, por ejemplo X y ver que entonces B oscila en dirección Y.

Claro que ya puestos a girar ejes, casi mejor hago ésto: primero giro los ejes XZ alrededor del Y de manera que tu eje Z pase a ser el nuevo eje X. Eso llevará a tu campo $\vec E$ a ser de la forma $(0,E'_y,E'_z)$; a continuación giro los ejes YZ alrededor del nuevo X de manera que el nuevo eje Y coincida con el campo, es decir, sea $(0,E''_y,0)$. Con las demostraciones anteriores encontramos que B oscila según el nuevo eje Z, lo que confirma su perpendicularidad con E, algo que, evidentemente no dependerá de cómo estén los ejes!

(Por aclarar este baile de giro de ejes: imagínate que estudiamos la caída libre de un cuerpo que parte del reposo y que demuestro que llegará perpendicularmente al suelo mediante una demostración en la que se toma el eje Z verticalmente. Tu pregunta equivaldría a decir, "¿y si los ejes son tales que el Z no es vertical, llegaría el cuerpo perpendicularmente al suelo?". La respuesta sería "por supuesto que sí; ya que los ejes los tomamos como queremos. Si el suelo y la trayectoria son perpendiculares en un sistema de ejes también lo serán en *todos* los sistemas de ejes!")

[LauraLopez]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

....que lio eso de girar los ejes me perdi...se puede no girar? me gusta mas intentar demostrarlo con la formula porque justamente con esa formula de antes es donde no logro ver porque dan perpendiculares.

Yo intente hacer lo que hiciste ants con la formula y llego a que :

$\dst (- \frac{\partial E_y(z)}{\partial z } , \frac{\partial E_x(z)}{\partial z} , 0 ) = - (\frac{\partial B_x}{\partial t} , \frac{\partial B_y}{\partial t } , \frac{\partial B_z}{\partial t})$

y ahi nose que hacer....no veo como esa formula me esta demostrando cual es la direccion resultante que debera tener B para ser perpendicular a E y a la direccion de propagacion

[arivasm]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

Se me ocurre la siguiente manera de demostrarlo: llamemos $\varphi$ al ángulo que forma el campo eléctrico con el eje X, de manera que $\vec E=E(\cos\varphi,\sin\varphi,0)$. Admitamos, al menos por ahora, que el ángulo no cambiará a medida que la onda progresa. Eso implicaría que $\dst\vec\nabla\times\vec E=\frac{\partial E}{\partial z}(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)$, de manera que las oscilaciones del campo magnético tendrán lugar según la dirección $(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)$, mientras que las del eléctrico suceden en $(\cos\varphi,\sin\varphi,0)$; la perpendicularidad de ambos es clara, pues su producto escalar es nulo.

En realidad el ángulo $\varphi$ sí puede ir cambiando. Será el caso de la llamada polarización elíptica. Pero se demuestra que ese caso se corresponde con superponer dos campos eléctricos que oscilan de manera desfasada. Con la demostración anterior tendríamos que cada uno tiene un campo magnético perpendicular a él y que su suma será perpendicular a la suma de los campos eléctricos, de manera que de nuevo se tiene que el campo magnético total (oscilante, por supuesto) es perpendicular al campo eléctrico total (oscilante).

[LauraLopez]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

mmmm perdon que insista pero utilizando la formula anterior que puse en mi post , o sea sin agregar esto de los angulos, sin girar los ejes, solo usando la formula anterior de manera que sea analogo a la primera demostracion que me hiciste.

1)Es posible de esa forma demostrar que E y B son perpendiculrales? basicamente esa es mi duda como demostrarlo de esa forma con un caso asi como el que puse


2) Una segunda duda que comento es : Siempre va a ser posible que E y B sean perpendiculares entre si y perpendiculares a la direccion de propagacion? Poniendo un caso extremo , por ejemplo : que el campo electrico oscile en las 3 componentes o sea $\dst \vec{E} = (E_x,E_y,E_z)$ donde las 3 componentes oscilan. Y la direccion de propagacion en vez de ser en el eje x como venimos haciendo digamos que tambien es en los 3 ejes, o sea en xyz.
Utilizando una demostracion analoga a la que hiciste (la de usar la ecuacion de Faraday) tambien se deberia poder llegar a demostrar que B va a ser perpendicular a E y a la direccion de propagacion? o sea esto se puede demostrar de esta forma con cualquier caso que yo imagine?

Como veras lo que estoy preguntando lleva a una tercer duda que es:

3) La demostracion que me hiciste para el caso particular en que se propaga en x y el campo solo tiene componentes oscilante en y es una demostracion general? ya se que la respuesta es si, la pregunta es porque?

Espero respuesta a las 3 dudas planteadas je

[arivasm]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

Contestaré en orden inverso:

3) La demostracion que me hiciste para el caso particular en que se propaga en x y el campo solo tiene componentes oscilante en y es una demostracion general? ya se que la respuesta es si, la pregunta es porque?

Porque si demuestro en un sistema de coordenadas que existe cierta relación entre los campos, esa misma relación existirá en *todos* los sistemas de coordenadas. Si Alberto y Benito forman un ángulo de 90º en los ejes cartesianos XYZ también forman 90º en todos los demás ejes (cartesianos o no). Los sistemas de coordenadas son instrumentos matemáticos que nos permiten describir realidades físicas. La perpendicularidad entre E y B es una realidad física.

2) Siempre va a ser posible que E y B sean perpendiculares entre si y perpendiculares a la direccion de propagacion?

Si te refieres a la parte oscilante de esos campos, no es que será posible, sino que *siempre será así*.

por ejemplo : que el campo electrico oscile en las 3 componentes o sea donde las 3 componentes oscilan. Y la direccion de propagacion en vez de ser en el eje x como venimos haciendo digamos que tambien es en los 3 ejes, o sea en xyz.

Por supuesto, pero las tres componentes oscilantes necesariamente satisfarán que $\vec E\cdot\vec k=0$, siendo $\vec k$ el vector de propagación.

Utilizando una demostracion analoga a la que hiciste (la de usar la ecuacion de Faraday) tambien se deberia poder llegar a demostrar que B va a ser perpendicular a E y a la direccion de propagacion? o sea esto se puede demostrar de esta forma con cualquier caso que yo imagine?

Seguramente. Francamente, no se me ocurre cómo hacerlo de manera directa. Yo lo haría introduciendo una matriz de rotación que nos lleve a los ejes cómodos, pero veo que no te parece satisfactorio.

No pongo una respuesta separada a la 1) porque entiendo que, en realidad, es esta misma pregunta.

[LauraLopez]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

A ver si entiendo:

Lo que yo queria hacer es demostrar usando la ley de faraday en algun caso dificil como estos que te planteaba. Porque por ejemplo vos me dijiste que si el campo electrico oscila en el eje y y la direccion de propagacion es en el eje x. Entonces haciendo la demostracion con la ley de faraday se llega a la conclusion de que el campo B debera oscilar en el eje z.
Esto yo lo podria haber deducido sin hacer la demostracion. Es muy facil saber que el vector perpendicular a x e y sera el vector que este en el eje z . Entonces al hacer esa demostracion verifique que se cumple lo que tendria que haber pasado.

Para casos mas dificiles como lo que yo digo por ejemplo que el campo electrico oscile en los 3 ejes y que a su vez la direccion de propagacion sea en los 3 ejes. No me sale de manera directa( sin hacer una demostracion ) encontrar cual seria la direccion que cumpke que es perpendicular a el campo E y a la direccion de propagacion, por eso queria encontrar dicha direccion por medio de la demostracion de la ley de faraday. A decir verdad a mi me da la sensacion de que no existe dicha direccion. Me tendre que conformar con que siempre existe porque vos me lo decis.

Si me decis que la demostracion para estos casos es muy dificil entonces no sigo insistiendo en realizarla

Tengo que encontrar un vector que sea perpendicular al eje X,Y,Z o sea perpendicular a TODO!! me pareciera fisicamente imposible por eso debe ser que me cuesta "creerte" el hecho de que siempre voy a poder encontrar la direccion de B tal que B sea perpendicular a la direccion de E y de la de propagacion.

PD: si el profesor me pregunta porque E y B son perpendiculraes entre si. La respuesta bastara con decirle porque esto sale de las ecuaciones de maxwell, usando la ley de faraday y....( aca pongo ese caso en el que asumo que se propaga solo en el eje x y que el campo solo tiene comonente en el eje Y y concluyo que entonces B oscilara en Z. De esta forma queda demostrado que B siempre es perpendicular a E y a la direccion de propagacion ) . Seria correcto ?

[arivasm]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

Tengo que encontrar un vector que sea perpendicular al eje X,Y,Z o sea perpendicular a TODO!!

Evidentemente, no es posible que un vector (no nulo) sea perpendicular a todo!

Entiendo que tu interés debería ser éste: supongamos que la dirección de propagación es una arbitraria, pero eso sí, una muy concreta y que se corresponderá finalmente con un vector de propagación $\vec k=(k_x,k_y,k_z)$. Entonces habría que demostrar que los vectores E y B, considerando únicamente aquellas componentes que son oscilantes, son perpendiculares a dicho vector (es decir, que $\vec E\cdot\vec k=0$ y que $\vec B\cdot\vec k=0$) así como perpendiculares entre sí ($\vec E\cdot\vec B=0$).

si el profesor me pregunta porque E y B son perpendiculraes entre si. La respuesta bastara con decirle porque esto sale de las ecuaciones de maxwell, usando la ley de faraday y....( aca pongo ese caso en el que asumo que se propaga solo en el eje x y que el campo solo tiene comonente en el eje Y y concluyo que entonces B oscilara en Z. De esta forma queda demostrado que B siempre es perpendicular a E y a la direccion de propagacion ) . Seria correcto ?

Sin duda.

[LauraLopez]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

POr ejemplo sigo leyendo todo el hilo una y otra vez para tratar de entender bien y en un momento vi que vos decis esto :

Por tanto, digamos que el campo eléctrico (oscilante) sólo tiene una componente, que ahora será la Z: , además de tal manera que su única derivada espacial no nula sea (pero, insisto, no habrá problema en admitir que también pueda tener derivada no nula según Y y Z; pues después será el teorema de Gauss para el campo magnético el que establecería limitaciones al respecto).


O sea ahi estas diciendo que la direccion de propagacion es en x,y,z. Si impones eso no se puede demostrar usando la ley de faraday que el campo magnetico sera perpendicular a E y a la direccion de propagacion , o sea xyz no?

POrque con la ley de Faraday llego a que :

$\dst (\frac{\partial E_z}{\partial y } , - \frac{\partial E_z}{\partial x} , 0 ) = - (\frac{\partial B_x}{\partial t } , \frac{\partial B_y}{\partial t} , \frac{\partial B_z}{\partial t})$

O sea aca la unica conclusion que puedo sacar es que$B_z$ es constante entonces no oscila en esa direccion . Pero no logro encontrar la direccion de B para luego poder hacer el producto vectorial entre E y B y entre B y la direccion de propagacion y asi lograr verificar que es perpendicular a todo esto.
B_y y B_x no son constante entonces pareciera que oscilara en x y en y, pero esto no podria ser porque dijimos que se propaga en xyz y un vector que este en x o en y no puede ser perpendicular a un vector que este en xyz....

[arivasm]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

A lo que me refería es a lo siguiente: aunque la onda se propague según X y el campo eléctrico oscilante tenga componente Z (y ya hemos tocado ampliamente el tema de que eso no hace perder generalidad), a priori nada impide que el campo varíe no sólo según X, sino que también podría variar (por ejemplo) según Y. Si lo hacemos, encontraremos, como has escrito que $\dst\frac{\partial E_z}{\partial y}=-\frac{\partial B_x}{\partial t}$. Ahora bien, el teorema de Gauss para el campo magnético nos obligará a que en la dirección X (la de propagación) debe ser constante, con lo que la derivada anterior será nula, $\dst\frac{\partial E_z}{\partial y}=-\frac{\partial B_x}{\partial t}=0$.

Digamos que, como bien dices, por una parte con el razonamiento anterior concluyes que B_z no oscila. Añádele que el teorema de Gauss para el campo magnético impone que B_x tampoco lo hace y te queda que sólo B_y puede oscilar. Conclusión: B oscila perpendicularmente a cómo lo hace E.

[LauraLopez]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

No estoy de acuerdo con lo que decis....asi que algo sigo sin entender.
Vos decis que segun el teorema de gauss nos obliga a que no puede variar en la direccion de propagacion entonces B_x tiene que ser constante. Pero no estamos en el caso en que la direccion de propagacion es en x, sino que dijimos que estamos en un caso donde la direccion de propagacion es en x y en y. Con lo cual el teorema de gauss me tendria que decir que va a ser constante tanto la componente en x como la comopnente en y, y ademas la ley de faraday me dijo que la componente en z era constante....

ves aca es donde yo tengo mi duda..... que hago mal? me daria que B_x, B_y y B_z son todos constantes....

[arivasm]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

Te aseguro que a estas alturas ya estoy mareado con las direcciones! ¡No es posible propagarse según X y al mismo tiempo según Y! Como mucho podrá ser según cierto vector con componentes x e y. Pero bastará con girar los ejes para que sólo sea una de ellas. ¿Qué problema hay por ello?

[LauraLopez]

Re: ondas y maxwell mas dudas....

ahhhhhh bueno eso soluciona todo, yo proponia eso o sea que se propage en X y en Y. Si eso no es posible entonces ya no tengo mas la duda jaja



Una cosa mas.... supongamos que la direccion de propagacion es en x. el campo electrico osila en Y y en Z $\dst \vec{E} = (0,E_y,E_Z)$ .

Entonces aca tengo el mismo problema que planteo antes...

B no puede oscilar en x porque esa es la direccion de propagacion ( por ley de gauss)
y B no puedo oscilar en Y o en Z porque esa es la direccion en que oscila el campo electrico.

Entonces que hago mal?

Aplico Faraday y llego a que :

$\dst (0 , \frac{\partial E_z(x)}{\partial x } , \frac{\partial E_y(x)}{\partial x }) = (\frac{\partial B_x}{\partial t} ,\frac{\partial B_y}{\partial t } , \frac{\partial B_z}{\partial t} )$

Lo unico que puedo concluir por Faraday es que B no oscilara en x. y por gauss concluyo lo mismo que B no puede oscilar en x. Pero sigo sin poder encontrar entonces en cual direccion puede oscilar y que cumpla que sea perpendicular a E.
Segun lo que me decis vos tiene que existir dicha direccion....pero como la encuentro entonces? se puede encontrar haciendo la demostracion esta que estoy haciendo? o sea usando ley de faraday y gauss?

Me respondo sola : ( decime si digo bien )
Creo que ya se cual es mi error, aca tampoco puedo asumir que el campo va a oscilar en X y al miso tiempo en Y? o sea solo podra oscilar en una dada direccion , o en X o en Y o a lo suma en una que tenga una componente en X y una componente en Y,es asi?
Y lo que se hace entonces es girar los ejes y llamar por ejemplo Y' al eje que se correponde con la direccion del campo electrico que tenia tanto componente en X y en Y. y luego llamo X' al eje perpendicular a Y' y entonces ahi si me queda que el campo electrico es solamente $\dst \vec{E} = (0, E_y,0)$ y se transforma en uno de esos casos que yo llamo "facil" donde la respuesta sera que el campo B oscilara en Z'.