Secundaria Campo eléctrico en el interior de una esfera

[luiseduardo]

Una esfera de radio R está cargado uniformemente y tiene una cavidad de radio r. Los centros de la esfera y la cavidad se encuentran en una distancia a. La densidad de volumen de carga $\rho$. Demostrar que el vector de campo eléctrico en el interior de la esfera como una función de la distancia x y ángulo $\theta$ viene dado por:



No está seguro de lo que puedo hacer en este cuestión. Sé que el campo dentro de la esfera está dado por E = px/3e, no sé lo que puedo hacer en este caso.
Si alguien sabe resolver, estoy muy agradecido si me puede enseñar.

[arivasm]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

Mira, por ejemplo, este hilo: http://forum.lawebdefisica.com/threa...fera-con-hueco

[luiseduardo]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

El problema es que no puedo encontrar esta expresión.

[arivasm]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

Pon lo que tengas hecho y vemos qué se puede hacer o qué puede estar mal

[luiseduardo]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

Yo sé que el campo eléctrico en la esfera es $\[{E_1} = \frac{{\rho x}}{{3{\varepsilon _0}}}\]$ y el campo eléctrico en el agujero es $\[{E_2} = \frac{{\rho a}}{{3{\varepsilon _0}}}\]$. Después de eso, estoy confundido cómo debo proceder.

[arivasm]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

El campo eléctrico que "origina" el agujero, no es el que pones, pues el punto de cálculo es exterior a él, de manera que es $\dst E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho}{(\vec a-\vec x)^2}=\rho\frac{r^3}{3\epsilon_0 (\vec a-\vec x)^2}$. Como vector será $\dst \vec E_2=\rho\frac{r^3}{3\epsilon_0 |\vec a-\vec x|^3}(\vec a-\vec x)$

Después debes sumar, vectorialmente, los dos campos que están señalados en el dibujo.

[luiseduardo]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

Sin embargo, el campo eléctrico en el agujero no se calcula de esta manera?

$\[{E_2} = \frac{{\rho \vec x}}{{3{\varepsilon _0}}} + \frac{{\rho \left( {\vec a - \vec x} \right)}}{{3{\varepsilon _0}}} = \frac{{\rho \vec a}}{{3{\varepsilon _0}}}\]$

[arivasm]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

Pues no. La idea es tratar el sistema como si fuese una esfera de radio R con densidad volumétrica homogénea superpuesta con otra (que representará el agujero) de radio r y también con densidad volumétrica homogénea, pero opuesta de la anterior. Por lo que veo, has enfocado así el ejercicio, pero el error está en que la expresión que pones para la segunda esfera correspondería a un punto en su interior, pero, repito, tu punto de cálculo está fuera de ella, de manera que debes usar el tradicional comportamiento "como si toda la carga estuviese concentrada en su centro".

- - - Actualizado - - -

Me he dado cuenta de que en el post #6 usé a como distancia entre el centro del hueco y el punto de cálculo; en realidad debí haber puesto $|\vec a-\vec x|$

[gdonoso94]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

El campo eléctrico que "origina" el agujero, no es el que pones, pues el punto de cálculo es exterior a él, de manera que es $\dst E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho}{(\vec a-\vec x)^2}=\rho\frac{r^3}{3\epsilon_0 (\vec a-\vec x)^2}$. Como vector será $\dst \vec E_2=\rho\frac{r^3}{3\epsilon_0 |\vec a-\vec x|^3}(\vec a-\vec x)$

Después debes sumar, vectorialmente, los dos campos que están señalados en el dibujo.

Comento aquí ya que está abierto este post.
¿Cómo has llegado a ese campo, arivasm?
¿Aplicas teorema de Gauss o tomas la fórmula del campo eléctrico a una distancia $a$ del centro de la esfera y multiplicas por la superficie de la esfera pequeña?

[arivasm]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

Es una consecuencia del teorema de Gauss muy conocida: el campo en el exterior de una esfera es el mismo que produciría una carga puntual del mismo valor concentrada en su centro. Es decir, se trata de aplicar $E=kQ/d^2$.

[gdonoso94]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

Por tanto aplicas esa fórmula y dejas el campo en función de el radio de esa esfera pequeña?

[arivasm]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

Fíjate que en la respuesta oficial así sucede.

[Breogan]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

Hola:

El problema se puede resolver como dijo arivasm, como la superposición del campo producido por una esfera maciza de radio R con una densidad de carga $\rho$, y el campo producido por una esfera de radio r y densidad de carga $-\rho$.

La otra forma de verlo es que el campo dentro de una esfera maciza de radio R con densidad de carga $\rho$, es igual a la suma del campo que produce la esfera con hueco mas el campo que produce la esfera de radio r, ambas con densidad $\rho$.

Ahora la verdadera razón del post es una afirmación/duda, el campo pedido por el problema (el cual no e echo) es solo valido para la zona pintada de gris en el dibujo original, el campo dentro del hueco sigue otra formula, no?

Suerte

[Al2000]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

El campo en el hueco es constante y vale $\dst \frac {\rho \vec a}{3 \epsilon_0}$.

Saludos,

Al

[Breogan]

Re: Campo eléctrico en el interior de una esfera

Hola:

Hola, después del mensaje de Al me entro la duda, así que manos a la obra:

Aplicando superposicion puedo escribir:

$\vec E_R\ =\ \vec E_{R-r}\ +\ \vec E_r$

$\vec E_{R-r}\ =\ \vec E_R\ -\ \vec E_r$

donde $\vec E_R$ es el campo producido por una esfera maciza de radio R, $\vec E_{R-r}$ es el campo producido por la esfera de radio R con el hueco, y $\vec E_r$ es el campo producido por una esfera maciza de radio r

Esfera grande:

$\dst \vec E_R\ =\ \frac {\rho} {3 \varepsilon}\ \vec x$

Esfera chica:

$\dst \vec E'_r\ =\ \frac { r^3\ \rho} {3 \varepsilon}\ \frac {\vec x-\vec a}{|\vec x-\vec a|^3}$ campo fuera de la esfera chica

$\dst \vec E'_r\ =\ \frac {\rho}{3 \varepsilon}\ (\vec x-\vec a)$ campo dentro de la esfera chica

Campo total:

Fuera de la esfera chica

$\dst \vec E_{R-r}\ =\ \vec E_R\ -\ \vec E_r\ =\ \frac {\rho} {3 \varepsilon}\ \vec x\ -\ \frac { r^3\ \rho} {3 \varepsilon}\ \frac {\vec x-\vec a}{|\vec x-\vec a|^3}$

$\dst \vec E_{R-r}\ =\ \frac {\rho} {3 \varepsilon}\ \vec x\ -\ \frac { r^3\ \rho} {3 \varepsilon}\ \frac {\vec x}{|\vec x-\vec a|^3}\ +\ \frac { r^3\ \rho} {3 \varepsilon}\ \frac {\vec a}{|\vec x-\vec a|^3}$

$\dst \vec E_{R-r}\ =\ \frac {\rho} {3 \varepsilon}\ \left[ \left(1\ -\ \frac { r^3}{|\vec x-\vec a|^3}\ \right) \vec x\ +\ \frac { r^3} {|\vec x-\vec a|^3}\vec a\right]$

donde $\dst |\vec x-\vec a|^3\ =\ \left(\sqrt{a^2+x^2-2ax\ cos\theta}\right)^3$

Dentro de la esfera chica:

$\dst \vec E_{R-r}\ =\ \vec E_R\ -\ \vec E_r\ =\ \frac {\rho} {3 \varepsilon}\ \vec x\ -\ \frac {\rho}{3 \varepsilon}\ (\vec x-\vec a)$

$\dst E_{R-r}\ =\ \frac {\rho}{3 \varepsilon}\ \vec a$

Que coincide con la respuesta que me había dado Al, de la cual desconfiaba a fuerza de ser sincero. Chapo para Al..

Ahora la lógica nos puede hacer suponer que ambas formulas deben dar el mismo resultado cuando las aplicamos en puntos de la frontera entre las dos esferas, es así?

Gracias

Suerte