1r ciclo Potencial de esferas conductoras

[Pepealej]

Hola! Tengo el siguiente ejercicio que se resolver, pero me surge una pequeña duda:



Mi profesor me dijo que siempre tomara como potencial de referencia el último que he calculado de fuera hacia dentro. Es decir, cuando calculo V(R2) y obtengo 0, tomo V(R2) como referencia para calcular el potencial para r menores, y eso es lo que he hecho, y todo correcto.

Pero mi pregunta es, ¿por qué si V(R3) es también 0, no puedo coger V(R3) como potencial de referencia? La cosa es que si tomo V(R3) en vez de V(R2) obtengo una solución distinta

Gracias por la ayuda.

[arivasm]

Re: Potencial de esferas conductoras

Está claro que estás haciendo mal algo. Fíjate que (como debe ser, por equilibrio eléctrico) la respuesta es que V(R2)=V(R3)=0. ¿Has tenido en cuenta que en la superficie de radio R2 hay distribuida una carga de -Q=-10^{-6} C?

[Pepealej]

Re: Potencial de esferas conductoras

Yo hice lo siguiente:

$V(r<R_1)-V(R_2)=V(r<R_1)=\dst\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R_1}-\dst\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R_2}=6\cdot 10^4 \text{V}$

Pero si hago:

$V(r<R_1)-V(R_3)=V(r<R_1)=\dst\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R_1}-\text{???}$

¿Qué es lo que hay en ??? ?

[arivasm]

Re: Potencial de esferas conductoras

Francamente, no veo a qué te refieres con lo que escribes. Entiendo que el problema debe abordarse determinando en primer lugar la expresión para el campo (mediante el teorema de Gauss) y después aplicar la definición de potencial.

[Breogan]

Re: Potencial de esferas conductoras

Hola:

Mas allá de las formulas que escribiste, tenes que ver cual es la relación entre V(R3) y V(R2) sabiendo que ambos puntos pertenecen a un casquete esférico metálico donde el campo eléctrico en su interior debe ser nulo.

Suerte

[Pepealej]

Re: Potencial de esferas conductoras

Creo que mi duda se ilustra bastante mejor con este ejercicio:



En este caso solo obtengo la solución si voy calculando el potencial de las esferas desde fuera hacia dentro. Esto es lo que hice (en este orden):

En las esferas 1 y 3 se inducen cargas $Q_1$ y $Q_3$, tal que $Q_1+Q_2=0$.

$V(R_3)-V(\infty)=-\dst\int\ _{\infty}^{R_3} \left(\dst\frac{Q_1+Q_3+Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} dr\right) = \dst\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R_3}=1.2\cdot 10^6 \ V$

(Me abstengo de escribir todas las integrales, voy a poner el resultado final que se ve igual de claro)

$V(R_2)-V(R_3)=\dst\frac{Q+Q_1}{4\pi \epsilon_0}\left(\dst\frac{1}{R_2}-\dst\frac{1}{R_3}\right)$

$V(R_1)-V(R_2)=\dst\frac{Q_1}{4\pi \epsilon_0}\left(\dst\frac{1}{R_1}-\dst\frac{1}{R_2}\right)$

Dado que $V(R_1)=V(R_3)$, despejando e igualando de las expresiones anteriores obtengo la solución de $Q_1=-1 \ \mu C$.

Sin embargo, ¿por qué no puedo tomar como referencia el infinito en vez de R3 y R2 respectivamente en las ecuaciones que uso? Si lo hago así no obtengo la solución correcta. ¿Por qué?

Gracias.

[Breogan]

Re: Potencial de esferas conductoras

Hola:

Podes tomar infinito como referencia para todos los voltajes de hecho implícitamente lo haces si decis que V(R2) esta referido a V(R3) y V(R3) esta referido a infinito, V(R2) también esta referido a infinito. Si tomamos tus ecuaciones tenemos:

$V(R_3)-V(\infty)= \dst\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R_3}$

$V(R_3)= V(\infty)+\dst\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R_3}$


$V(R_2)-V(R_3)=\dst\frac{Q+Q_1}{4\pi \epsilon_0}\left(\dst\frac{1}{R_2}-\dst\frac{1}{R_3}\right)$

$V(R_2)=V(R_3)+\dst\frac{Q+Q_1}{4\pi \epsilon_0}\left(\dst\frac{1}{R_2}-\dst\frac{1}{R_3}\right)$

Resulta que:

$V(R_2)-V(\infty)=\dst\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R_3}+\dst\frac{Q+Q_1}{4\pi \epsilon_0}\left(\dst\frac{1}{R_2}-\dst\frac{1}{R_3}\right)$

Como ves V(R2) esta referida al infinito, todas las tensiones deberían estar referidas al infinito porque este punto es el elegido por vos como referencia cero para las caídas de potencial.
Es posible asumir que tu error esta cuando haces la circulación del campo E desde el infinito hasta la esfera R2, seria bueno que pusieras tus calculos en ese caso para verlos.

No revise las ecuaciones que pusiste, asumo que estan bien.

Suerte