1r ciclo Campo eléctrico entre sucesión de placas

[Pepealej]

Hola, tengo el siguiente ejercicio: Determina el vector campo eléctrico en cada una de las regiones indicadas.



Esto es lo que hice yo. Dado que $\vec{E}=-\nabla V$, pinté la dirección del campo de la siguiente forma:



Y dije:

$\vec{E_a}=-\dst\frac{15}{r}\hat{\imath}$

$\vec{E_b}=\dst\frac{15}{d}\hat{\imath}$

$\vec{E_c}=-\dst\frac{45}{d}\hat{\imath}$

$\vec{E_d}=\dst\frac{40}{d/3}\hat{\imath}$

$\vec{E_e}=\dst\frac{5}{r}\hat{\imath}$

De los campos Ea y Ee no estoy nada seguro.

¿Es correcto? ¿Alguien podría echarme una mano? Gracias

[arivasm]

Re: Campo eléctrico entre sucesión de placas

Encuentro correcto todo salvo los campos Ea y Ee: si las láminas producen campos uniformes, el resultado no puede depender de la distancia.

Lo que sucede es que, en mi opinión no hay información suficiente como para encontrar los valores de estos dos campos (que necesariamente serán opuestos y uniformes, por la razón que acabo de dar).

Por tanto, si suponemos, e imagino que esto forma parte del ejercicio, que las láminas son infinitas y uniformemente cargadas, cada una de ellas producirá un campo uniforme perpendicular a la lámina. Los campos en las diferentes regiones serán el resultado de superponer esos cuatro campos.

En consecuencia, si numeramos las láminas como 1, 2, 3, 4 (de izquierda a derecha) y a priori suponemos que poseen carga positiva, de manera que los campos respectivos apuntarán hacia fuera de ellas (después si alguno nos sale con módulo negativo simplemente significará que apunta al revés, debido a que la lámina tiene carga negativa).

De esta manera, tenemos que

$E_a=E_1+E_2+E_3+E_4=E_e$
$E_b=E_1-E_2-E_3-E_4=15/d$
$E_c=-E_1-E_2+E_3+E_4=45/d$
$E_d=E_1+E_2+E_3-E_4=120/d$

Como sólo tenemos tres ecuaciones (las tres últimas) y cuatro incógnitas, está claro que no podremos llegar a la solución final (es decir, encontrar E_a y E_e).

Manipulando, si no metí la pata, me sale que

$E_2=-30/d$
$E_3=165/2d$

$$E_4=E_1-135/2d$$

de manera que

$E_a=E_e=2E_1-15/d$

La idea subyacente es que si bien las láminas 2 y 3 necesariamente deberán tener unas densidades de carga determinadas, las láminas 1 y 4 podrán tener cualquiera, siempre y cuando respeten la relación que impone (1). Por tanto, si llamamos $\sigma_1$ a la densidad de carga de la lámina 1, como $E_1=\sigma_1/2\epsilon_0$, lo más lejos que llego es a que

$\dst E_a=E_e=\frac{\sigma_1}{\epsilon_0}-\frac{15 \rm V}{d}$

A ver si algún amigo del foro ve algo que se me haya escapado (o algún error, que todo puede ser, pues últimamente me equivoco con demasiada frecuencia!)

[Al2000]

Re: Campo eléctrico entre sucesión de placas

Yo respondería que el campo en a y en e vale cero (diferencia de potencial finita/distancia infinita).

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Campo eléctrico entre sucesión de placas

Algo así pensé, como razón adicional, pues ciertamente, de lo contrario, el potencial en el infinito sería infinito.

Lo que me hizo cambiar de opinión es que en todos los problemas de una placa infinita el potencial en el infinito es infinito. La excepción serían aquellos casos tipo condensador plano (con carga total nula), pero el ejercicio no dice nada que permita razonar que estamos ante algo así.

Desde luego, lo lógico sería que el sistema tuviese una carga total nula y entonces sucedería lo que señala Al. Pero el enunciado no dice nada!

[Al2000]

Re: Campo eléctrico entre sucesión de placas

Podría hacerse algo así



aunque en el dibujo las flechas que representan el campo no están a escala; por ejemplo, el campo en la zona d es casi el triple del campo en la zona c.

Saludos,

Al