1r ciclo ¿Es incorrecta esta ecuación?

[Pepealej]

Hola. Estaba estudiando y me ha surgido una duda con algunas ecuaciones que dio el profesor. Creo que alguna está mal, pero no se cual. ¿Alguien me podría echar una mano?

Se trata de el campo eléctrico y densidad de carga superficial polarizada en un condensador plano con un dieléctrico entre las placas. Nos dio las siguientes fórmulas:

El campo eléctrico creado en el interior del condensador es: $E=\dfrac{E_0}{\epsilon_r}$, siendo $E_0$ el creado por las placas.
El campo eléctrico creado en el interior del condensador es: $E=E_0\left(\dfrac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r}\right)$ (obviamente o esta o la anterior están mal)
La densidad de carga superficial inducida en el dieléctrico es: $\sigma_p=\sigma \left(\dfrac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r}\right)$ siendo $\sigma$ la densidad de carga superficial de las placas.

Gracias por vuestra ayuda

[javier m]

Re: ¿Es incorrecta esta ecuación?

Ni idea de donde sacó la segunda .

Las otras dos son correctas

[Pepealej]

Re: ¿Es incorrecta esta ecuación?

Gracias Javier. Una última cosa, ¿sabrías como demostrar la primera? Gracias

[javier m]

Re: ¿Es incorrecta esta ecuación?

Lo siento, no exactamente.

De alguna manera se puede demostrar que $\oint \vec{E}d\vec{l}=\dfrac{Q_{libre}}{\varepsilon _r \varepsilon _0}$, pero que yo sepa siempre se parte de un hecho experimental (que el vector polarización es directamente proporcional al campo electrico por ejemplo).

Si no hubiese dielectrico tendríamos

$\oint \vec{E_0}d\vec{l}=E_0A=\dfrac{Q}{ \varepsilon _0}$

con lo que $E_0=Q/\varepsilon _0 A$

Si hacemos lo mismo con dielectrico, tendríamos

$E=\dfrac{Q_{libre}}{\varepsilon _r\varepsilon _0 A}=\frac{1}{\varepsilon _r}\dfrac{Q}{\varepsilon _0 A}=\frac{E_0}{\varepsilon _r}$

Donde $Q_{libre}=Q$ es la carga en las placas de los capacitores.
Hay escribir "libre" porque cuando hay un dielectrico en este se genera una carga inducida, de modo que hay aclarar de cual carga se habla.

[gdonoso94]

Re: ¿Es incorrecta esta ecuación?

$\dst \oint \vec{E}d\vec{l}=\dfrac{Q_{libre}}{\varepsilon _r \varepsilon _0}$

Hola JavierM. ¿Exáctamente de que es esa definicion?

Un saludo.

[javier m]

Re: ¿Es incorrecta esta ecuación?

Esa es la ley de gauss cuando hay dielectricos, probablemente la encontraras más seguido así $\dst \oint \vec{D}d\vec{l}=Q_{libre}$, donde $\vec{D}=\varepsilon _0\vec{E}+\vec{P}$ por definición.

D es el vector desplazamiento, P el vector polarización Y E el campo electrico.

Se puede llegar a que $\vec{D}=\varepsilon_0 \varepsilon_r \vec{E}$, con lo que se tendría:

$\dst \oint \vec{D}d\vec{l}=\varepsilon_0 \varepsilon_r\oint \vec{E}d\vec{l}=Q_{libre}$

Los libros comunes de física general casi no tratan este tema, pero el libro de saveliev (tomo 2) sí lo tratan con más detalle.