circuito en funcion de R

[arivasm]

Re: circuito en funcion de R

Permitidme que no haga un aporte importante al hilo. Tan sólo recomendar a Laura que en su respuesta advierta que no hay estado estacionario y que el desarrollo que hace es para la evolución a partir de un estado de equilibrio, no vaya a ser que el profesor piense que no sabe lo que está haciendo!

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

si eso que decis es verdad pero yo sigo con una duda anterior.

esto seria asi ?

$\dst \frac{d i_L(0-)}{dt } = \frac{1}{L }$

$\dst \frac{d i_L(0+)}{dt } = 0$

o sea

$\dst \frac{d i_L(0-)}{dt } \neq \frac{d i_L(0+)}{dt }$


Esto me resulta raro que no se cumpla esa igualdad....antes en otros ejercicios siempre se me cumplia esa igualdad creo que era un principio de conservacion o algo asi que debia cumplirse siempre...

- - - Actualizado - - -

Tambien me perdi con tus cuentas cuando encuentras las raices, que paso haces ? creo que multiplicas cada termino por L no? pero si es asi creo que te faltaria multiplicar por L el segundo termino de la raiz

Yo no logre llegar a tu solucion a la que yo llego es :

$s = \dst - \frac{1}{2 R C } \left(1 \pm \sqrt{\frac{L - 4 C R^2}{L }}\right)$

Leyendo del libro encontre algo que lo agrego a continuacion creo que tal ves se pueda utilizar para este ejercicio,mucho no lo comprendo por eso no estoy segura :

Un circuito con ecuacion caracteristica $\dst s^2 + a_1 s + a_0$ tiene :

Frecuencia natural no amortiguada : $\dst w_0 = + \sqrt{ a_0}$

Proporcion de amortiguacion : $\dst \gamma = \frac{a_1}{2 \sqrt{a_0} }$

Exponentes caracteristicos : $\dst {s}_{1,2 } = ( - \gamma \pm \sqrt{ [{\gamma}^{2 } -1] }) w_0$

Despues dice que por ejemplo en un circuito RLC con ecuacion caracteristica

$\dst s^2 + \frac{1}{RC } s + \frac{1}{LC } = 0$ (como es nuetro caso)

La frecuencia natural no amortiguada es :

$\dst w_0 = \frac{1}{\sqrt{ L C} }$

y la proporcion de amortiguacion es :

$\dst \gamma = \frac{1}{2 R } \sqrt{\frac{L}{C }}$

Si fijamos $\dst \gamma =1$ podemos definir la resistencia paralela critica $\dst R_cp$

$\dst {R}_{cp } = \frac{1}{2 } \sqrt{\frac{L}{C }}$

Para $\dst R > {R}_{cp }$ es el caso subamortiguado , para menores sera el sobreamortiguado

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

El error viene arrastrado del post 21, eso me pasa por copiar y pegar:

donde dice:

$\dst i_R=\frac 1 R$

debia decir:

$\dst i_R(t)=\frac {v(t)} R$

y entonces la ecuacion diferencial es:

$\dst 1 = \frac {v(t)} R+ \frac{1}{L } \int_0^t v(t) dt + i_L(0) +C \frac{d v(t)}{ dt}$

que derivada da:

$\dst 0 = \frac 1 R \frac {dv(t)}{dt}+ \frac{1}{L }v(t) +C \frac{d^2 v(t)}{ dt^2}$

Reordenando:

$\dst C \frac{d^2 v(t)}{ dt^2}+\frac 1 R \frac {dv(t)}{dt}+ \frac{1}{L }v(t) =0$

y la ecuacion caracteristica es:

$\dst C s^2+\frac 1 R s+ \frac{1}{L } =0$

y las raices son:

$\dst s_{1,2}=\frac {\dst -\frac 1 R\pm \sqrt{\dst \left( \frac 1 R \right)^2- 4 C \frac 1 L}}{ 2 C }$

$\dst s_{1,2}=\frac {\dst -\frac L R\pm \sqrt{\dst \left( \frac L R \right)^2- 4 C L}}{\dst 2 C L}$

$\dst s_{1,2}=\frac {- L \pm \sqrt{\dst L^2- 4 C L R^2}}{\dst 2 C L R}$

Si lo echo hasta acá esta bien, como ya vimos en otro problema vas a tener tres soluciones distintas según sea el signo del radicando en la formula de las raíces, acordate que R es genérico (no tiene valor numérico), por lo cual tenes que poner todas las posibilidades:

1 - Si $L^2- 4 C L R^2>0$ las raíces son reales y distintas y la solución es:

$\dst v(t)=K_1\ e^{s_1t}+K_2\ e^{s_2t}$

2 - Si $L^2- 4 C L R^2=0$ las raíces son reales e iguales y la solución es:

$\dst v(t)=K_1\ e^{s_1t}+K_2\ t\ e^{s_2t}$

3 - Si $L^2- 4 C L R^2<0$ las raíces son complejas conjugadas ( $s_1=a+ib$ ; $s_2=a-ib$) y la solución es:

$\dst v(t)=e^{at}\ \left( K_1\ cos bt+K_2\ sen bt \right)$

Creo que hasta aca llegamos, me parece que no vamos a poder averiguar las constantes K1 y K2. Algo que me había olvidado es que no todas las condiciones iniciales se conservan. Por ejemplo en un capacitor se conserva la tensión entre placas, pero no se conserva la corriente, etc.
No estoy muy seguro de esto, mañana agarro los libros o lo pienso mejor; o puede ser que algún forero aporte conocimiento .

En conclusión ahora lo dejo asi, estoy cansado , y mañana seguimos.

Suerte

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

bueno dale lo seguimos mañana, creo qeu el problema viene porque no aparece ese parametro R....seguiremos mañana gracias y besos Breogan

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

En realidad puse mal lo que deberia usar en realidad no es v_c(0)=1 ?

no veo la necesidad de usar eso que me decis de la resistencia....

$\dst v(t) = K_1 + K_2 {e}^{- \frac{1}{ LC} t}$

esa seria la ecuacion diferencial no?

entonces $\dst v(0)= K_1 + K_2 = 1$ entonces$K_1 = - K_2$

y luego $\dst d v(0) / dt = 0$ porque v(0)= 1

Cuando haces $\dst d v(0) / dt$ estas derivando una constante, lo que no te agrega informacion, podes hacer [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que si no me equivoco te va a dar [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y que tiene que ser igual a 1 que es la tensión en el capacitor y la inductancia.

Igual ahora me entro la duda en algun punto. Si no te parece mal mañana seguimos

Suerte

PD: en algun lugar hay un error, por que al darte K1=-K2 implica que v(t) en t=0 es igual a cero, y no puede ser

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

En realidad puse mal lo que deberia usar en realidad no es v_c(0)=1 ?

no veo la necesidad de usar eso que me decis de la resistencia....

$\dst v(t) = K_1 + K_2 {e}^{- \frac{1}{ LC} t}$

esa seria la ecuacion diferencial no?

entonces $\dst v(0)= K_1 + K_2 = 1$ entonces$K_1 = - K_2$

y luego $\dst d v(0) / dt = 0$ porque v(0)= 1

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

Parcialmente correcto, $\dst \frac{d v_L(0)}{dt }$ no es igual a 1/20, fijate en el post 19.

Usa que vL(0)=1 y que iR(0)=1/R

Suerte

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

Bueno entonces como no hay termino forzado la solucion natural sera la solucion total que es :

$v(t) = K_1 + K_2 {e}^{- \frac{1}{ LC} t}$

y uso las condiciones iniciales para obtener K_1 y K_2

o sea uso que$v_L(0)= 1$ y que $\dst \frac{d v_L(0)}{dt } = 1 / 20$

- - - Actualizado - - -

no aparece nunca el termino R .....

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

Disculpa me estaba preparando el mate.

Es cierto que la derivada de iL da eso en t0-, pero lo que eran variables en t0- pasan a ser constantes (conocidas o no) en t0+.

Me gustaría que esto lo viéramos al final con mas detalles, y con circuitos mas ejemplificadores. Haceme el favor de seguir adelante como si nada te hiciera ruido.

Suerte

PD: me olvide, la R seguro te va aparecer cuando averigües las constantes que tiene la solución.

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

pero si i_L(0) decis que es igual a una constante como es que su derivada me dio 1/20 ? cuantas trampas tiene este ejercicio...

- - - Actualizado - - -

y entonces no tenemos solucion forzada no? estoy viendo que esa letra R del circuito no servia para nada enotnces? o sea si R=10000000 o si R= 0,00001 era lo mismo? como que la R no esta inluyendo porque desaparecio al derivar

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

Tenes razon

entonces llego a la ecuacion diferencial :

$\dst C \frac{{d}^{ 2}v }{d t^2 } + \frac{1}{L } v + \frac{1}{20 } = 0$

Use la condicion inicial de $\dst \frac{d i(0)}{dt } = \frac{1}{20 }$ esta bien?

NO, iL(0) cuando abrimos la llave se transforma en una cte. , una condicion inicial, la cual lamentablemente no conocemos por que esta indefinida.

Asi que la ecuacion caracteristica es :

$\dst c S^2 + \frac{1}{L } S = - \frac{1}{20 }$

esta bien? es una ecuacion caracteristica media rara comparada con las otras de otros ejercicios

La ecuación diferencial del circuito queda:

$\dst C \frac{{d}^{ 2}v }{d t^2 } + \frac{1}{L } v = 0$

y la ecuación característica es:

$\dst C s^2 + \frac{1}{L } s = 0$

$\dst s\ \left(C s + \frac{1}{L } \right) = 0$

Cuyas soluciones son:

$s_1=0$

$\dst s_2=- \frac 1 {LC}$

Dos raíces reales distintas.

Si no me equivoque plantea la solucion.

Suerte

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

Tenes razon

entonces llego a la ecuacion diferencial :

$\dst C \frac{{d}^{ 2}v }{d t^2 } + \frac{1}{L } v + \frac{1}{20 } = 0$

Use la condicion inicial de $\dst \frac{d i(0)}{dt } = \frac{1}{20 }$ esta bien?

Asi que la ecuacion caracteristica es :

$\dst c S^2 + \frac{1}{L } S = - \frac{1}{20 }$

esta bien? es una ecuacion caracteristica media rara comparada con las otras de otros ejercicios

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

Acordate que la llave esta abierta en t0+, por lo cual la i no aparece en la ecuacion, es decir:

En t0+ se cumple que:

$\dst 1 = i_R + i_L + i_c$

Reemplazando las otras ecuaciones en esta queda:

$\dst 1 = \frac 1 R+ \frac{1}{L } \int_0^t v(t) dt + i_L(0) +C \frac{d v}{ dt}$

Ahora deriva la ultima respecto de t, y halla la solución.

La condiciones iniciales para encontrar las constantes las aplicamos despues.

Suerte

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

Buenisimo entonces :

$\dst 1 + i = i_R + i_L + i_c$

$\dst i_R = \frac{1}{R }$

$\dst i_c = C \frac{d v}{ dt}$

$\dst i_L = \frac{1}{L } \int_0^t v(t) dt + i_L(0)$

estan bien? aca tengo el problema de que la i_L(0) no esta definida habiamos dicho.....

y no tengo ecuacion para reemplazar la i....

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

No falta ninguna, supongo que la 1º es la tensión sobre el capacitor.

Ahora plantea la ecuacion para el circuito en t0+

Suerte