circuito en funcion de R

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

bueno dale lo seguimos mañana, creo qeu el problema viene porque no aparece ese parametro R....seguiremos mañana gracias y besos Breogan

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

El error viene arrastrado del post 21, eso me pasa por copiar y pegar:

donde dice:

$\dst i_R=\frac 1 R$

debia decir:

$\dst i_R(t)=\frac {v(t)} R$

y entonces la ecuacion diferencial es:

$\dst 1 = \frac {v(t)} R+ \frac{1}{L } \int_0^t v(t) dt + i_L(0) +C \frac{d v(t)}{ dt}$

que derivada da:

$\dst 0 = \frac 1 R \frac {dv(t)}{dt}+ \frac{1}{L }v(t) +C \frac{d^2 v(t)}{ dt^2}$

Reordenando:

$\dst C \frac{d^2 v(t)}{ dt^2}+\frac 1 R \frac {dv(t)}{dt}+ \frac{1}{L }v(t) =0$

y la ecuacion caracteristica es:

$\dst C s^2+\frac 1 R s+ \frac{1}{L } =0$

y las raices son:

$\dst s_{1,2}=\frac {\dst -\frac 1 R\pm \sqrt{\dst \left( \frac 1 R \right)^2- 4 C \frac 1 L}}{ 2 C }$

$\dst s_{1,2}=\frac {\dst -\frac L R\pm \sqrt{\dst \left( \frac L R \right)^2- 4 C L}}{\dst 2 C L}$

$\dst s_{1,2}=\frac {- L \pm \sqrt{\dst L^2- 4 C L R^2}}{\dst 2 C L R}$

Si lo echo hasta acá esta bien, como ya vimos en otro problema vas a tener tres soluciones distintas según sea el signo del radicando en la formula de las raíces, acordate que R es genérico (no tiene valor numérico), por lo cual tenes que poner todas las posibilidades:

1 - Si $L^2- 4 C L R^2>0$ las raíces son reales y distintas y la solución es:

$\dst v(t)=K_1\ e^{s_1t}+K_2\ e^{s_2t}$

2 - Si $L^2- 4 C L R^2=0$ las raíces son reales e iguales y la solución es:

$\dst v(t)=K_1\ e^{s_1t}+K_2\ t\ e^{s_2t}$

3 - Si $L^2- 4 C L R^2<0$ las raíces son complejas conjugadas ( $s_1=a+ib$ ; $s_2=a-ib$) y la solución es:

$\dst v(t)=e^{at}\ \left( K_1\ cos bt+K_2\ sen bt \right)$

Creo que hasta aca llegamos, me parece que no vamos a poder averiguar las constantes K1 y K2. Algo que me había olvidado es que no todas las condiciones iniciales se conservan. Por ejemplo en un capacitor se conserva la tensión entre placas, pero no se conserva la corriente, etc.
No estoy muy seguro de esto, mañana agarro los libros o lo pienso mejor; o puede ser que algún forero aporte conocimiento .

En conclusión ahora lo dejo asi, estoy cansado , y mañana seguimos.

Suerte

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

si eso que decis es verdad pero yo sigo con una duda anterior.

esto seria asi ?

$\dst \frac{d i_L(0-)}{dt } = \frac{1}{L }$

$\dst \frac{d i_L(0+)}{dt } = 0$

o sea

$\dst \frac{d i_L(0-)}{dt } \neq \frac{d i_L(0+)}{dt }$


Esto me resulta raro que no se cumpla esa igualdad....antes en otros ejercicios siempre se me cumplia esa igualdad creo que era un principio de conservacion o algo asi que debia cumplirse siempre...

- - - Actualizado - - -

Tambien me perdi con tus cuentas cuando encuentras las raices, que paso haces ? creo que multiplicas cada termino por L no? pero si es asi creo que te faltaria multiplicar por L el segundo termino de la raiz

Yo no logre llegar a tu solucion a la que yo llego es :

$s = \dst - \frac{1}{2 R C } \left(1 \pm \sqrt{\frac{L - 4 C R^2}{L }}\right)$

Leyendo del libro encontre algo que lo agrego a continuacion creo que tal ves se pueda utilizar para este ejercicio,mucho no lo comprendo por eso no estoy segura :

Un circuito con ecuacion caracteristica $\dst s^2 + a_1 s + a_0$ tiene :

Frecuencia natural no amortiguada : $\dst w_0 = + \sqrt{ a_0}$

Proporcion de amortiguacion : $\dst \gamma = \frac{a_1}{2 \sqrt{a_0} }$

Exponentes caracteristicos : $\dst {s}_{1,2 } = ( - \gamma \pm \sqrt{ [{\gamma}^{2 } -1] }) w_0$

Despues dice que por ejemplo en un circuito RLC con ecuacion caracteristica

$\dst s^2 + \frac{1}{RC } s + \frac{1}{LC } = 0$ (como es nuetro caso)

La frecuencia natural no amortiguada es :

$\dst w_0 = \frac{1}{\sqrt{ L C} }$

y la proporcion de amortiguacion es :

$\dst \gamma = \frac{1}{2 R } \sqrt{\frac{L}{C }}$

Si fijamos $\dst \gamma =1$ podemos definir la resistencia paralela critica $\dst R_cp$

$\dst {R}_{cp } = \frac{1}{2 } \sqrt{\frac{L}{C }}$

Para $\dst R > {R}_{cp }$ es el caso subamortiguado , para menores sera el sobreamortiguado

[arivasm]

Re: circuito en funcion de R

Permitidme que no haga un aporte importante al hilo. Tan sólo recomendar a Laura que en su respuesta advierta que no hay estado estacionario y que el desarrollo que hace es para la evolución a partir de un estado de equilibrio, no vaya a ser que el profesor piense que no sabe lo que está haciendo!

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

si si en mi respuesta ya aclare que estoy tratando el caso de estadio de equilibrio pero sin embargo creo que la forma de resolverlo es exactamente la misms que siempre no? eso ultimo que puse creo que lo puedo usar....

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

Tambien me perdi con tus cuentas cuando encuentras las raices, que paso haces ? creo que multiplicas cada termino por L no? pero si es asi creo que te faltaria multiplicar por L el segundo termino de la raiz

Yo no logre llegar a tu solucion a la que yo llego es :

Creo que es lo mismo, reordeno la tuya

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Multiplico y divido por L el radicando de tu formula

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Que, si no me equivoque, es la formula que puse yo.

si eso que decis es verdad pero yo sigo con una duda anterior.

esto seria asi ?





o sea




Esto me resulta raro que no se cumpla esa igualdad....antes en otros ejercicios siempre se me cumplia esa igualdad creo que era un principio de conservacion o algo asi que debia cumplirse siempre...
si eso que decis es verdad pero yo sigo con una duda anterior.

esto seria asi ?





o sea




Esto me resulta raro que no se cumpla esa igualdad....antes en otros ejercicios siempre se me cumplia esa igualdad creo que era un principio de conservacion o algo asi que debia cumplirse siempre...

No es muy difícil de explicar para alguien que sabe, que no es mi caso

Los ejercicios que vi que hiciste siempre partían del estado estacionario (parámetros constantes en t0-, derivadas nulas), y no de condiciones dinámicas (parámetros variables en t0-, derivadas no nulas)

El tema es que el instante t=0 divide la existencia de dos circuitos diferentes con ecuaciones diferenciales distintas. Si tomas p.e. la funcion corriente y decis que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Si se conserva la corriente en el cambio de circuito (t=0), se cumple que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

lo que, debido a la definicion de i(t) dada en (1), implicitamente dice:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo mismo ocurre cuando lo que se conserva es la derivada:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\ \Rightarrow\$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y de la definición dada en (1) resulta que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Espero se entienda

Suerte

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

si se entendio, y con respecto a lo que agrego que dice del libro que decis esta mal o bien eso? o sea como continua la resolucion del ejercicio? No es posible encontrar las constantes K? con esa forma que plantea el libro la entendes? con eso de la resistencia paralela critica no seria posible entontrar la solucion?

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

Si lo echo hasta acá esta bien, como ya vimos en otro problema vas a tener tres soluciones distintas según sea el signo del radicando en la formula de las raíces, acordate que R es genérico (no tiene valor numérico), por lo cual tenes que poner todas las posibilidades:

1 - Si las raíces son reales y distintas y la solución es:



2 - Si las raíces son reales e iguales y la solución es:



3 - Si las raíces son complejas conjugadas ( ; ) y la solución es:



Creo que hasta aca llegamos, me parece que no vamos a poder averiguar las constantes K1 y K2. Algo que me había olvidado es que no todas las condiciones iniciales se conservan. Por ejemplo en un capacitor se conserva la tensión entre placas, pero no se conserva la corriente, etc.
No estoy muy seguro de esto, mañana agarro los libros o lo pienso mejor; o puede ser que algún forero aporte conocimiento .

Veamos el 1º caso:

1º - $L^2- 4 C L R^2>0$ Circuito sobre amortiguado

$L^2>4 C L R^2$

$\dst R^2<\frac {L^2}{4 C L}$

y llegamos a la condicion que debe cumplir el valor R para tener un circuito sobre-amortiguado:

$\boxed {\dst R < \frac 1 2 \sqrt{\frac L C}}$

Para el circuito sobre-amortiguado la ecuación de la solución es:

$\dst v(t)=K_1\ \ee^{s_1t}+K_2\ \ee^{s_2t}$

Esta es la función de la tensión para t0+, que a su vez es la tensión en el capacitor, la tensión en sus bornes se debe conservar entre los instante t0- y t0+, en este caso el valor de la fuente de tensión, por lo cual:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst V_f=K_1+K_2$

Ahora como la tensión en el capacitor se conserva, implica que la corriente en la resistencia y la derivada de la corriente en la inductancia también se conservan. Lamentablemente todas estos parámetros conservados, por si solos, no agregan condiciones distintas a la ya hallada para las constantes K1 y K2; por esto volvemos a ver la ecuación integro diferencial del circuito hallada para t>t0+

Escribimos la ecuación integro diferencial del circuito hallada para t>t0+

$\dst I_f = \frac {v(t)} R+ \frac{1}{L } \int_0^t v(t) dt + i_L(0+) +C \frac{d v(t)}{ dt}$

ahora evaluamos la ultima en el instante 0+

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

ahora reemplazamos este reultado, tenemos:

$\dst I_f = \frac {V_f} R + i_L(0+)+C \left( s_1 \ K_1\ + s_2 \ K_2\ \right)$

Otra cantidad que se conserva es la corriente en la inductancia al momento de abrir la llave por lo cual $i_L(0+)=i_L(0-)$, y como $i_L(0-)$ no la conocemos la vamos a llamar I_L0 y va a quedar como un parámetro de la solución.

Al final nos quedan dos ecuaciones con dos incógnitas (K1 y K2):

$\dst V_f=K_1+K_2$

$\dst I_f = \frac {V_f} R +I_{L0}+C \left( s_1 \ K_1\ + s_2 \ K_2\ \right)$

De la 1º

$\dst K_2=V_f-K_1$

de la 2º

$\dst s_1 \ K_1\ + s_2 \ K_2\ =- \frac 1 C \left( \frac {V_f} R +I_{L0}-I_f \right)$

reemplazando la 1º en la 2º

$\dst s_1 \ K_1\ + s_2 \ \left(V_f-K_1\right)\ = -\frac 1 C \left( \frac {V_f} R +I_{L0}-I_f \right)$

$\dst K_1 \left(s_1\ - s_2\right) +s_2\ V_f\ = -\frac 1 C \left( \frac {V_f} R +I_{L0}-I_f \right)$

$\dst K_1 \ =- \frac 1 {C\ (s_1\ - s_2)} \left( \frac {V_f} R +I_{L0}-I_f \right)-\frac {s_2}{s_1\ - s_2}\ V_f$

K2 queda:

$\dst K_2=\frac {s_1}{s_1\ - s_2}\ \ V_f+\frac 1 {C\ (s_1\ - s_2)} \left( \frac {V_f} R +I_{L0}-I_f \right)$

y la solución quedara:

$\dst v(t)=K_1\ \ee^{s_1t}+K_2\ \ee^{s_2t}$

$\dst v(t)= \left[ -\frac 1 {C\ (s_1\ - s_2)} \left( \frac {V_f} R +I_{L0}-I_f \right)-\frac {s_2}{s_1\ - s_2}\ V_f\right] \ee^{s_1t}+$$\dst \left[ \frac {s_1}{s_1\ - s_2}\ V_f+\frac 1 {C\ (s_1\ - s_2)} \left( \frac {V_f} R +I_{L0}-I_f \right) \right] \ee^{s_2t}$



Hasta acá llegue hoy, no se si bien. Hay que revisarlo y analizarlo.

Suerte

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

QUe ejercicio complicado no termina mas....tratare de entenderlo, llegue hasta aca y ahi no entiendo ...

Escribimos la ecuación integro diferencial del circuito hallada para t>t0+



ahora evaluamos la ultima en el instante 0+



Como pasas a esa segunda ecuacion? porque te desaparece la integral?

Se asume que 0+=0 ?

O sea $\dst \int_0^t v(0+) dt = v_f (0+ - 0 ) = 0$ ??

[arivasm]

Re: circuito en funcion de R

Porque si los dos límites de una integral son el mismo entonces, por la regla de Barrow, el resultado de toda integral es 0

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

justo habia hecho una actualizacion, es eso que dije? los limites no son el mismo, sino parecidos

[arivasm]

Re: circuito en funcion de R

Se asume que 0+=0 ?

O sea $\dst \int_0^t v(0+) dt = v_f (0+ - 0 ) = 0$ ??

La idea es que como la expresión es para t>0, el límite inferior de la integral es 0+. Cuando el límite superior es también 0+ el resultado de la integral es necesariamente 0.

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

a bueno entonce si

- - - Actualizado - - -

Al final nos quedan dos ecuaciones con dos incógnitas (K1 y K2):





De la 1º



Aca hay un error de cuentas en el despeje

seria $\dst K_2 = V_f - K_1$

- - - Actualizado - - -

Mas alla de ese pequeño detalle despues entendi todo el resto de los que hiciste, asi que esa seria finalmente la solucion para ese caso donde se ve que los K depende de R y tambien los s_1 y s_2. Ahora quedaria realizar lo mismo para los otros 2 casos y ahi terminaria el ejercicio no? para el caso de la solucion que da compleja que tengo que poner en lugar de s_1 y s_2 porque no pusste esos numeros en la solucion


Para el caso 2 de criticamente amortiguado puedo obtener el valor exacto de R , para ese caso no deberia entonces por obtener todos los valores numericos?

R me da R = 2236,068 ohm

y creo que voy a poder obtener todos los valores a excepcion de ese I_L0 no?

O sea ahora como la solucion para este caso tiene el termino t multiplicando a K_2 tengo que :

$\dst K_1 + 0 = V_f$

entonces $K_1 = -1$ porque V_f= 1

y luego tengo que hacer eso mismo que hicimos antes con la ecuacion integro diferencial?


Y para el caso (3) de los numero complejos si tengo que

$\dst s_1 = \sigma + j w$

Si hago eso mismo que hiciste vos antes usando la ecuacion integro diferencial por ejemplo llegue a que :

$\dst I_f = \frac{V_f}{R } + {I}_{LO } + C (\sigma B_1 + B_2 w)$

o sea la solucion la voy a tener que dejar en funcion de sigma y omega no? porque serian las componentes reales e imaginarias de los s.

PD: llame B1 y B2 a los mismos valores que vos llamaste K1 y K2 para la solucion compleja

[Breogan]

Re: circuito en funcion de R

Hola:

Gracias por la corrección, me ofusca equivocarme en cosas tan tontas.

Por otra parte permitime que siga donde deje en el post anterior, yo no estoy tan convencido que sea correcto; prefiero detenerme y analizar, que avanzar a tontas y a locas.

Las raíces de la ecuación característica son:

$\dst s_1=\frac {- L + \sqrt{\dst L^2- 4 C L R^2}}{\dst 2 C L R}$

$\dst s_1=\frac {- L - \sqrt{\dst L^2- 4 C L R^2}}{\dst 2 C L R}$


Las constantes K1 y K2 de la solucion son:

$\dst K_1 \ =- \frac 1 {C\ (s_1\ - s_2)} \left( \frac {V_f} R +I_{L0}-I_f \right)-\frac {s_2}{s_1\ - s_2}\ V_f$

$\dst K_2=\frac {s_1}{s_1\ - s_2}\ \ V_f+\frac 1 {C\ (s_1\ - s_2)} \left( \frac {V_f} R +I_{L0}-I_f \right)$

Ahora vamos a hacer numeros, primero verificamos que valores de R son aceptables en este caso (sobre-amortiguado):

$\dst R < \frac 1 2 \sqrt{\frac L C}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst R < 70,71$

Para hacer cuentas voy a tomar $R=10\ \Omega$:

las raices son:

$\dst s_1=\frac {- 20 + \sqrt{\dst 20^2- 4 \ . \ 0,001 \ . \ 20\ . \ 10^2}}{\dst 2 \ . \ 0,001 \ . \ 20 \ . \ 10}=\frac {-20+19,8}{0,4}=-0,5$

$\boxed {s_1=-0,5}$

$\dst s_2=\frac {-20-19,8}{0,4}=-99,5$

$\boxed {s_2=-99,5}$

calculamos los siguientes cocientes y diferencia:

$\dst \frac {s_1}{s_1-s_2}=\frac {-0,5}{-0,5-(-99,5)}=\frac {-0,5}{99}=-0,005$

$\dst \frac {s_2}{s_1-s_2}=\frac {-99,5}{-0,5-(-99,5)}=\frac {-99,5}{99}=-1,005$

$\dst s_1-s_2=-0,5-(-99,5)=99$


Y las constantes K1 y K2 quedan:

$\dst K_1 \ =- \frac 1 {0,001\ . \ 99} \left( \frac {1} {10} +I_{L0}-1 \right)-(-1,005)\ 1=-1,010-10,10\ I_{L0}+10,10+1,005$

$\boxed {K_1=10,095-10,10\ I_{L0}}$

$\dst K_2=(-0,005)\ . \ 1+\frac 1 {0,001\ . \ 99} \left( \frac 1 {10} +I_{L0}-1\right)=-0,005+1,01+10,1 I_{L0}-10,1$

$\boxed {K_2=-9,095+10,10 \ I_{L0}}$

y la ecuación de la tensión queda:

$\dst v(t)=K_1\ \ee^{s_1t}+K_2\ \ee^{s_2t}$

$\boxed {\dst v(t)=(10,095-10,10\ I_{L0})\ \ee^{-0,5\ t}+(-9,095+10,10 \ I_{L0})\ \ee^{-99,5\ t}}$

Incluyo una gráfica de la función v(t), para verificar la respuesta:



Como se ve en la gráfica la v(t) siempre arranca en 1V que es la tensión de la fuente, y con t tendiendo a infinito tiende a cero para cualquier valor de IL0, algo esperable en el circuito.

También se ve que la $\dst \frac {dv(t)}{dt}>0$ para valores de IL0 menores a 0,9 A aproximadamente; y $\dst \frac {dv(t)}{dt}<0$ para valores de IL0 mayores a 0,9 A, también creo que es consistente con el circuito.

Esto se debe a que si la corriente en la inductancia es muy chica antes de abrir la llave, en el instante posterior a abrir la llave esta corriente se conserva y entonce la corriente suministrada por la fuente de corriente se usa una parte para suministrar esta corriente, otra parte se va por la resistencia, y la corriente que sobra se va al capacitor, aumentando su tensión entre bornes.
El análisis cualitativo de lo que sucede cuando Il0 es grande te lo dejo a vos.

Por ahora dejamos acá. Espero que lo hecho hasta acá este bien, se aceptan opiniones...

Suerte

PD: la tardanza fue por que encontré errores (tontos errores grrrr..!!!!) en mis post anteriores, y los tuve que editar. Ademas no me acordaba como usar el graficador.

En cuanto a los errores, donde puse:

$\dst v(t)=K_1\ e^{-s_1t}+K_2\ e^{-s_2t}$

y

$\dst v(t)=K_1\ e^{-s_1t}+K_2\ t\ e^{-s_2t}$

debía decir:

$\dst v(t)=K_1\ e^{s_1t}+K_2\ e^{s_2t}$

y

$\dst v(t)=K_1\ e^{s_1t}+K_2\ t\ e^{s_2t}$

El ejercicio no es tan largo, por no saber a fondo dimos varias vueltas para llegar al resultado.

Suerte

[LauraLopez]

Re: circuito en funcion de R

Muy util esas graficas y como me estas explicando las cosas te agradezco mucho porque voy entendiendo bastente.

Tendre que corregir mis cuentas ahora que modificaste eso de cambiar el signo negativo de los exponentes de la solucion a la ecuacion diferencial y ahi los comparare con los tuyos y te comento si me dan iguales.

Con respecto a cuando usas valores numericos un solo detalle vi que es que usas que C= 1 mF y el enunciado decia $C= 1 \mu F$