problema en estado estacionario

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

... y tambien se que $v_L= v_g$ entonces...

...como ves llego a que v_l= v_g y tambien a que v_L= 0 . infinito...

como ese producto puede dar cualquier numero porque debo poner que ese numero justamente sera v_g?

Porque es precisamente la condición que crea el generador: entre sus bornes hay una ddp v_g. Es más, tú misma empiezas diciendo (correctamente) que v_L=v_g!

Por otro lado como la corriente me dio infinita se concluye que este circuito no tendra estado estacionario no?

Correcto

El caso 4 tampoco lo voy a poder hacer no?

Para que haya un paralelo conectado a la fuente tiene que haber más elementos, y me parece que esos casos los vas a analizar más adelante.

Mientras sigo con el caso 5:
.....
Este caso lo hice bien?

Sí

6) Fuente de corriente, inductancia y capacitor todos en serie

en este caso creo que es muy sencillo llego a que todo es cero porque es un circuito abierto y por ende obviamente si hay estado estacionario. Este caso esta bien?

No. Como todo está en serie debería haber la misma intensidad en las tres cosas: el generador, la inducción y (éste es el problema) el condensador. Pero si el condensador está recibiendo constantemente corriente, su carga crece y crece y crece indefinidamente. Nunca se alcanza el estado estacionario. El v_c continuará creciendo "hasta el infinito y más allá"

PD: ademas de los casos 7 y 8 que menciono antes me aconsejas algun otro caso mas?

Te recomiendo que añadas casos con una resistencia (y sólo uno de los elementos anteriores). Te planteo un reto al respecto: descubre cuáles de éstos carecerán de estado estacionario.

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

Sigamos con el caso 6 porque no lo comprendo. Vos lo explicaste muy con palabras y asi no lo comprendo muy bien , no se puede analizar de la misma forma que vengo haciendo? con las simples formulas de ley de ohm o KCL y esas cosas? que esta forma la vengo entendiendo

Hago lo mismo que en todos los demas casos.....re dibujo el circuito donde en lugar de una inductancia pongo un cable y en lugar de un capacitor pongo un circuito abierto.

Como la inductancia esta en serie con la fuente tengo que la atraviesa la misma corriente entonces $\dst i_L = i_g$

eso esta bien?

luego el capacitor y la inductancia estan en serie tambien asi que $\dst i_c = i_L = i_g$

Aca pareciera entnoces que con las corrientes esta todo bien....pero sin embargo creo que la corriente en el capacitor deberia ser cero porque justamente lo he dibujado como un circuito abierto, cual es el problema? que estoy haciendo mal?

Por un lado digo que la corriente en el capacitor es igual a i_g porque esta en serie con la fuente de corriente , y por el otro digo que la corriente en el capacitor es cero porque en estado estacionario el mismo es reemplazado por un circuito abierto. entonces llego a una contradiccion porque me ocurre esto? cual de los 2 analisis es el correcto y porque?

Permitime que tambien comente el caso 7 asi discutimos 2 casos al mismo tiempo y avanzo mas rapido:

el caso 7 es : una fuente de voltaje , una inductancia, y un capacitor todos los elementos en paralelo.

Entonces re dibujo el circtuito donde reemplazo a la inductancia por un cable y al capacitor por un circuito abierto entonces aplico KCL y tenog que :

$\dst i_g = i_L + i_c$ (1) donde i_g es la corriente que genera la fuente de voltaje.

Como la corriente i_c va hacia un circuito abierto tengo que la misma es cero asi que i_c(0-) = 0 y de (1) teno que $\dst i_L = i_g$

Luego como los 3 elementos estan en paralelo entre si tengo que $\dst v_g = v_L = v_c$

Pero a su vez puedo decir que por ley de Ohm $v_L = R . i_L = 0 . i_g$ entonces $v_L =0$

Asi que como ocurre en el caso 6 llego a una contradiccion , por un lado digo que $v_L= v_g$ y la justificacion es porque esta en paralelo con la fuente de voltaje y por otro lado digo que $v_L = 0$ y la justiicacion es por ley de ohm con R=0.

Que hago mal? no encuentro que error tengo

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

...el capacitor y la inductancia estan en serie tambien asi que $\dst i_c = i_L = i_g$

Aca pareciera entnoces que con las corrientes esta todo bien....pero sin embargo creo que la corriente en el capacitor deberia ser cero porque justamente lo he dibujado como un circuito abierto, cual es el problema? que estoy haciendo mal?

No estás haciendo nada mal. Simplemente es que no es posible que suceda ambas cosas al mismo tiempo: que el condensador tenga intensidad nula y a la vez que sea atravesado por la intensidad del generador.

Por eso la conclusión es que en este caso no habrá estado estacionario.

Se me ocurre que como quieres verlo con fórmulas, podemos recurrir a la ecuación del condensador: $\dst i_c=C\frac{\dd v_c}{\dd t}$. Por tanto, la tensión en el condensador, teniendo en cuenta que $i_c=i_g=\rm cte$, será $v_c-v_c(0)=\int_0^t i_c\dd t=i_g t$. Por tanto, $v_c$ crecerá indefinidamente y jamás se estabilizará.

Permitime que tambien comente el caso 7...una fuente de voltaje , una inductancia, y un capacitor todos los elementos en paralelo

Antes de nada: no es cierto que los tres elementos estén en paralelo. Debes considerar no el dibujo, sin más, sino lo que hace la corriente que aporta la fuente: sale de ésta y al llegar al nudo se bifurca hacia L y C y luego vuelve a reunirse para regresar al generador. Por tanto, quienes están en paralelo son *sólo* L y C, no los tres.

Con respecto al enfoque que empleas, ten en cuenta que no sólo tienes en tu arsenal las ecuaciones de Kirchoff. Este caso es más fácil de analizar simplemente tomando en consideración que el voltaje de la fuente (constante) será el mismo que soporten L y C. De esa manera puedes ver que a L le pasará lo mismo que en el caso 3, y entonces que no habrá estado estacionario.

...llego a una contradiccion, por un lado digo que $v_L= v_g$ y la justificacion es porque esta en paralelo con la fuente de voltaje y por otro lado digo que $v_L = 0$ y la justiicacion es por ley de ohm con R=0.

Que hago mal?

Nada. Simplemente que no es posible que sucedan ambas cosas a la vez; no habrá estado estacionario.

Otra forma de verlo sin la contradicción que indicas es que la única posibilidad para que se cumpla que $v_L=v_g$ y que $v_g=i_L\cdot 0$ es que $i_L=\infty$, pues entonces sí es posible que $i_L\cdot 0=\infty\cdot 0=v_g\neq 0$

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

Que dificil es todo esto, bueno sigamos con el caso 6 haber si logro entenderlo , entonces mi respuesta seria :

Como la inductancia esta en serie con la fuente tengo que la atraviesa la misma corriente entonces

Luego el capacitor y la inductancia estan en serie tambien asi que

Pero sin embargo la corriente en el capacitor deberia ser cero porque justamente lo he dibujado como un circuito abierto entonces $i_c= 0$

Entonces llego a una contradiccion digo que $i_c= 0$ y por otro lado digo que $i_c = i_g$

Entonces como llego a una constradiccion tengo que concluir que no existe estado estacionario para este circuito.

Esta bien?

Igualmente me gustaria decir cuales son las condiciones iniciales para ver que alguna de ellas valdra infinito supongo no? y eso seria lo que me indica que no hay estado estacionario.

Por otro lado yo habia hecho 2 analisis para llegar a la contradiccion, cual es el camino que es correcto? o sea si llegue a una contradiccion es porque uno de las 2 opciones no era correcta como me doy cuenta de cual fue? pareciera que las 2 eran incorretas porque en ninguna llegue a un valor de infinito en alguna variable

El caso 7 lo discutimos luego de terminar con este mejor porque no entendi mucho

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

como llego a una constradiccion tengo que concluir que no existe estado estacionario para este circuito. Esta bien?

Sí.

Igualmente me gustaria decir cuales son las condiciones iniciales para ver que alguna de ellas valdra infinito supongo no? y eso seria lo que me indica que no hay estado estacionario.

En el estado estacionario no sólo las intensidades deben ser constantes. También lo serán las tensiones. En este caso, la magnitud que no acaba nunca de alcanzar un valor constante es v_c.

Por cierto, siendo rigurosos no es imprescindible que haya magnitudes que acaben valiendo infinito. Hay un ejemplo muy bonito en el que no hay estado estacionario y no hay infinitos: un circuito cerrado formado por un condensador (inicialmente cargado) y una autoinducción. La ecuación diferencial de este circuito es análoga a la de un oscilador armónico. Por ejemplo, para la v_c es $\ddot v_c=-\omega^2 v_c$ con $\omega^2=1/\sqrt{LC}$; la solución es $v_c=A\sin(\omega t+\phi)$ (y sucede lo mismo con la intensidad y con la v_L -sólo hay diferencias en la fase inicial-). No hay estado estacionario porque el sistema oscila y oscila y oscila... Y como ves, aquí no hay ningún infinito.

o sea si llegue a una contradiccion es porque uno de las 2 opciones no era correcta como me doy cuenta de cual fue?

No es que una de ellas sea incorrecta. Simplemente sucede que la conclusión que proporciona la ecuación del circuito, por ejemplo, $i_c=i_g$, y que se cumplirá siempre (haya estado estacionario o no), está en contradicción con lo que sucedería si realmente existiese la situación de estado estacionario.

Permíteme que lo ilustre con un ejemplo (y espero no ofender a nadie con él): yo razono que si el mundo fuese justo no existirían pobres; cuando tengo en cuenta las propuestas liberales de un mundo donde cada uno luche por sus propias condiciones razono que entonces siempre habrá ricos y pobres. No hay una contradicción. Sólo puedo concluir que con esas propuestas jamás se alcanzará un mundo justo. (Antes de que nadie me discuta esto, admito que puede haber quien razone de manera diferente -algo que respeto, pero no comparto-)

La equivalencia es esta: razono que si hay estado estacionario entonces $i_c=0$; en el circuito se cumple que $i_c=i_g$. No hay una contradicción: en ese circuito no habrá estado estacionario.

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

entendi todo menos tu ultima linea... para mi si hay una contradiccion, si no hubiera contradiccion es que hubiera llegado a que si existe el estado estacionario, justamente esta contradiccion es la que me lleva a concluir que como me estoy contradiciendo es que algo anda mal y esto justamente es que supuse que habia un estado estacionario cosa que en realidda no lo hay... no es asi?


Intentare hacelo una vez mas ya que me cuesta tanto

Caso 6:

Mi respuesta es :

Como la inductancia esta en serie con la uente tengo que $\dst i_L = i_g$
Luego el capacitor y la inductancia estan en serie , entonces $\dst i_c = i_L = i_g$

Pero sin embargo, si existiese estado estacionario $\dst i_c= 0$

Entonces llego a una contradiccion. Luego como llego a una contradiccion tengo que concluir que NO hay estado estacionario.

Luego ademas de decir que hay estado estacionario deberia indicar cuales son los valores de las condiciones iniciales.

Para mi serian

$\dst i_L(0-) = i_c(0-) = i_g$

$v_L(0-) = R i_L = 0 . i_L = 0$

$\dst v_c(t) = \frac{1}{C }\int_0^t i_c(t) dt + v(0) = \frac{1}{C } \int_0^t i_g dt + v(0) = \frac{1}{C } i_g t + v(0)$

mmmm tengo duda no veo como obtener el volaje en el capacitor en t=0 no deberia darme infinito? pero si sigo asi llego a que da un valor finito

$\dst v_c(0-) = \frac{1}{C } i_g . 0 + v_c(0) = v(0)$

que sigo haciendo mal?

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

El voltaje en el instante t=0 es cualquiera. Será infinito al cabo de un tiempo infinito.

Repito: ni es cierto que la ausencia de estado estacionario implica algún valor infinito, ni tampoco t=0 tiene que ser necesariamente el instante en que se alcance el estado estacionario, en el caso de que exista.

No haces nada mal, sólo tienes esas dos ideas incorrectas.

Estado estacionario = todos los valores se mantienen constantes (mientras no se haga cambios en el circuito).

t=0 un instante que se *elige* como uno quiera.

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

y entonces cuanto vale el voltaje en 0-?

- - - Actualizado - - -

este es un caso en el cual no tengo estado estacionario y a su vez en t=0 no hay ningun parametro que vale infinito?

- - - Actualizado - - -

Entonces siempre que me de que un parametro depende de t signiica que no existe estado estacionario para ese circuito?

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

y entonces cuanto vale el voltaje en 0-?

¿Qué sentido tiene aquí hablar de t=0- o t=0+? Eso es lógico manejarlo si en t=0 sucede algo que varíe las características del circuito, como por ejemplo que haya un interruptor. Pero no es el caso. La respuesta a tu pregunta es "lo que valga en t=0, sea lo que sea"

este es un caso en el cual no tengo estado estacionario y a su vez en t=0 no hay ningun parametro que vale infinito?

Pues sí.

Entonces siempre que me de que un parametro depende de t signiica que no existe estado estacionario para ese circuito?

Correcto

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

Bueno creo que entendi....

Pasemos a otro caso : uno donde tenga ahora una fuente de voltaje, o sea fuente de voltaje, inductancia y capacitor todos en serie.

Asi que si llamo i a la corriente que circula sera que esa i sea la misma para los 3 elementos

y el voltaje en el capacitor estara dado por :

$\dst v_c(t) = \int_0^t i (t) dt + v_c(0) = it + v_c(0)$

entonces como encontre un parametro que depende de t esto significara que no hay estado estacionario, esta bien esto?

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

Lo que concluyes no es correcto, por cómo lo haces. La causa del error está en que la intensidad no es constante, por lo que no puede salir de la integral.

Éste es un caso muy interesante e ilustrativo de hasta qué punto vale el análisis usual de "si hay estado estacionario entonces la inducción equivaldrá a un conductor y el condensador a un circuito abierto". Si lo hacemos así parecerá que no debería haber problema: la intensidad deberá ser cero (por el salto en el condensador), entonces la v_L será 0 y $v_c=v_g$.

Vamos a ver que el que pueda haber estado estacionario no garantiza en absoluto que sea alcanzable. Haciendo un símil mecánico, un oscilador armónico podría tener un estado estacionario (la partícula parada en el punto de equilibrio), pero eso no garantiza que siempre se dé dicho estado.

Las ecuaciones del circuito son

$$\dst v_g=v_L+v_c=L\frac{\dd i}{\dd t}+v_c$$

$$\dst i=C\frac{\dd v_c}{\dd t}$$

Por tanto, o bien derivamos (1) y usamos (2) y encontramos la ecuación de la intensidad (dejo para tí que lo hagas y veas que esta magnitud tendrá un comportamiento de oscilación armónica) o bien substituimos directamente (2) en (1):

$$\dst v_g=LC\frac{\dd^2 v_c}{\dd t^2}+v_c$$

Como sabes bien, esta ecuación tiene como solución la suma de dos (en tus textos le llaman "solución natural y solución forzada"):

$$v_c=v_g+A\sin\frac{1}{\sqrt{LC}}t+B\cos\frac{1}{\sqrt{LC}}t$$

Por tanto, sólo habrá estado estacionario si A=B=0, lo que equivale a decir que inicialmente la intensidad sea 0 (pues por 2 eso implica que $\dot v_c(0)=0$) y que también inicialmente sea $v_c(0)=v_g$. Fuera de ese caso particular, si $A\neq 0$ (que es lo mismo que decir que $i(0)\neq 0$) o bien $B\neq 0$ (es decir, si $v_c(0)\neq v_g$), entonces (4) implicará un circuito que oscila armónicamente pero que jamás alcanzará el estado de equilibrio.

Por cierto que ese comportamiento, en el que la corriente y los voltajes en L y C oscilan armónicamente con $\omega=1/\sqrt{LC}$ es muuuuy imporante en electricidad y se denomina "resonancia". Estoy absolutamente seguro de que acabará apareciendo en tus estudios inmediatos.

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

...... tendria que re leerlo nuevamente y eso lo hare mañana porque ya me tengo que ir a comer, pero a simple vista las dudas que me generan son :

1) En definitiva hay estado estacionario o no ? no veo que concluyas sobre si existe o no el estado estacionario en algun lado. O sea por ejemplo nunca llegas a que algun parametro da infinito , aunque si es verdad que esta no es la unica condicion que implica que no haya estado estacionario.

2) Es asi de complicado darse cuenta de que este circuito no tiene estado estacionario? ( creo que queres decirme que no tiene estado estacionario aunque no estoy segura, porque decis algo asi como que hay estado estacionario pero que no es alcanzable, y me confunde entonces si hay o no hay?

3) De forma sencilla con ley de ohm, KCL y asi como venia haciendo este caso en particular no se puede hacer?

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

1) Sólo habrá estado estacionario en un caso particular. En todos los demás no lo habrá. Repito que no hace falta que haya infinitos para que no se dé ausencia de estado estacionario.

2) Es un circuito muuuy significativo y que algún día estudiarás, cuando abordes la resonancia entre condensadores e inducciones.

3) No puedo usar la ley de Ohm porque me lleva a una conclusión incorrecta. Lee con calma mi mensaje anterior y verás que sí he usado KVL (KCL no tiene sentido, pues no hay nodos). El reemplazo de la inducción por una raya y el condensador por un salto sólo permite verificar si no podrá haber estado estacionario. En la mayoría de los casos incluso me permitirá concluir si lo hay o no. Pero si tengo condensadores e inducciones en el mismo circuito tengo que estar atento a las resonancias.

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

mmmm por ejemplo como llegas a la ecuacion (4)? calculaste la solucion natural y forzada? como hiciste eso? porque no veo la ecuacion caracteristica ni la solucion de las raices, de hecho no aparece ninguna exponencial en tu ecuacion 4....y como es el proceso que usas para darte cuenta que de esa ecuacion tenes que hacer que A y B sean iguales a cero?

Eso de reemplazar la inductancia por un cable y el capacitor con por circuito abierto entonces no lo puedo hacer para analizar este circuito? Porque en este circuito en particular no puedo hacer esto? si en otros que tampoco tenian estado estacionario igualmente lo podia hacer y luego lograr concluir que no hay estado estacionario.

Para este caso la respuesta es que no hay estado estacionario? o la respuesta es que si hay para un caso en particular? aunque aun no entiendo cual es ese caso particular

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

mmmm por ejemplo como llegas a la ecuacion (4)? calculaste la solucion natural y forzada? como hiciste eso? porque no veo la ecuacion caracteristica ni la solucion de las raices,

La solución natural es la de la ecuación $LC\ddot v_c+v_c=0$, cuya ecuación característica es $LCm^2+1=0$, es decir, $m^2=-1/LC$ y entonces las raíces son imaginarias: $m=\pm j/\sqrt{LC}$, de ahí que la solución natural sea $v_c=A\sin (t/\sqrt{LC})+B\cos (t/\sqrt{LC})$.

La forzada es claramente $v_c=v_g$ (es inmediato ver que satisface la ecuación diferencial).

de hecho no aparece ninguna exponencial en tu ecuacion 4....

Sólo aparecen exponenciales si las raíces son complejas con parte real.

Eso de reemplazar la inductancia por un cable y el capacitor con por circuito abierto entonces no lo puedo hacer para analizar este circuito? Porque en este circuito en particular no puedo hacer esto? si en otros que tampoco tenian estado estacionario igualmente lo podia hacer y luego lograr concluir que no hay estado estacionario.

Este circuito es un ejemplo muy claro de que para que haya estado estacionario, la substitución que comentas es necesario que sea compatible con las condiciones del circuito, pero que ocurre lo mismo que en muchos problemas matemáticos: es condición necesaria, pero no suficiente.

Es decir, vemos que sí podrá haber estado estacionario. De hecho lo hay, pero sólo si se dan ciertas circunstancias.

En otras palabras: si la prueba de substituir el condensador por un circuito abierto y la inducción por un conductor dice que "no", entonces es seguro que no hay estado estacionario. Pero si dice que "sí" no necesariamente será así.

De todos modos, antes de que esto te genere preocupación, te diré que, si no me equivoco, en los circuitos con resistencias, condensadores e inducciones, esto sólo ocurrirá si están presentes los dos últimos (condensador(es) *y* autoinducción(es)).

y como es el proceso que usas para darte cuenta que de esa ecuacion tenes que hacer que A y B sean iguales a cero?

Para este caso la respuesta es que no hay estado estacionario? o la respuesta es que si hay para un caso en particular? aunque aun no entiendo cual es ese caso particular

La respuesta es que *sólo* habrá estado estacionario si inicialmente se cumple que $v_c(0)=v_g$ e $i(0)=0$, y no lo habrá en todos los demás casos.

El motivo es sencillo. Como $v_c(t)=v_g+A\cos\omega t+B\sin\omega t$ está muy claro que sólo tendremos $v_c(t)=\rm cte$ si A=0 y B=0 (si no es así la v_c estará siempre cambiando debido a los sumandos armónicos -o alguno de ellos- ). Pero haciendo t=0 vemos que $v_c(0)=v_g+A$, luego A=0 equivale a decir que $v_c(0)=v_g$. Derivando, tenemos que $\dot v_c(t)=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t$, con lo que $i(0)/C=\dot v_c(0)=B\omega$, luego B=0 equivale a decir que i(0)=0.

Ese caso particular es realmente tonto: si el sistema ya está inicialmente en estado estacionario seguirá en él. Pero si inicialmente no lo está, oscilará y oscilará y oscilará alrededor de dicho estado, pero sin alcanzarlo jamás.