problema en estado estacionario

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

Bueno creo que ahi ya entendi ese caso....que caso me faltarian? creo que me falta:

- una fuente de voltaje, una resistenca y una inductancia donde esten en paralelo
- una fuente de voltaje, una resistenca y una inductancia donde esten en serie
- una fuente de corriente, una resistenca y una inductancia donde esten en paralelo
- una fuente de corriente, una resistenca y una inductancia donde esten en serie

Faltarian esos no? o algunos mas?

- - - Actualizado - - -

Por ejemplo voy a analizar el caso de una fuente de voltaje, y una resistencia e inductancia en paralelo:

Por ley de ohm tengo que $\dst v_L = R i_L = 0 . i_L$ entonces $\dst i_L = \frac{v_L}{0 }$

Luego $\dst i_L (0-) = \infty$ entonces no hay estado estacionario.

Esta bien este caso?

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

mmm un poco mas voy entendiendo pero por ejemplo como sabes que esas son las condiciones para que haya estado estacionario?
O sea vos decis que para que haya estado estacionario tiene que darse que :
$\dst v_c(0) = v_g$

Para que haya estado estacionario las magnitudes deben ser constantes (usualmente, a partir de cierto instante -que en muchos casos es, en realidad, t=infinito-). Eso significa que sus derivadas deben ser nulas. Por ejemplo, en el caso que nos ocupa, fijándose en que $v_c(t)=v_g+A\cos\omega t+B\sin\omega t$, la derivada es $\dot v_c(t)=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t$. Luego es muy evidente que la única forma de que esa derivada se haga constantemente nula es que A=0 y B=0. Pero, como te dije antes, de esa ecuación para $v_c(t)$ tenemos que $A=v_c(0)-v_g$ y $B=\dot v_c(0)$.

Por tanto, tiene que suceder dos cosas: que $\dst v_c(0) = v_g$ *y* que $i(0)=0$.

Aclararé que una vez que concluimos que esas dos condiciones implican que $v_c(t)=v_g$ y que $i(t)=C \dot v_c(t)=0$, lo de menos es cuál sea el instante elegido como t=0. El circuito sólo estará en estado estacionario si "nace" muerto, y se mantendrá muerto...

porque no es por ejemplo $\dst i(0)= cte$ ??

i(0) siempre será un valor muy concreto: el que tenga la intensidad en el instante t=0... Por eso no tiene mucho sentido lo que has escrito. Otra cosa diferente sería decir $i(t)=\rm cte$...

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

mmm un poco mas voy entendiendo pero por ejemplo como sabes que esas son las condiciones para que haya estado estacionario?

O sea vos decis que para que haya estado estacionario tiene que darse que :

$\dst v_c(0) = v_g$

porque es eso? porque la condicion no es otra como ser $\dst v_c(0) = 0$

y lo mismo para la corriente decis que la condicion es :

$\dst i(0)= 0$ porque no es por ejemplo $\dst i(0)= cte$ ??

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

mmmm por ejemplo como llegas a la ecuacion (4)? calculaste la solucion natural y forzada? como hiciste eso? porque no veo la ecuacion caracteristica ni la solucion de las raices,

La solución natural es la de la ecuación $LC\ddot v_c+v_c=0$, cuya ecuación característica es $LCm^2+1=0$, es decir, $m^2=-1/LC$ y entonces las raíces son imaginarias: $m=\pm j/\sqrt{LC}$, de ahí que la solución natural sea $v_c=A\sin (t/\sqrt{LC})+B\cos (t/\sqrt{LC})$.

La forzada es claramente $v_c=v_g$ (es inmediato ver que satisface la ecuación diferencial).

de hecho no aparece ninguna exponencial en tu ecuacion 4....

Sólo aparecen exponenciales si las raíces son complejas con parte real.

Eso de reemplazar la inductancia por un cable y el capacitor con por circuito abierto entonces no lo puedo hacer para analizar este circuito? Porque en este circuito en particular no puedo hacer esto? si en otros que tampoco tenian estado estacionario igualmente lo podia hacer y luego lograr concluir que no hay estado estacionario.

Este circuito es un ejemplo muy claro de que para que haya estado estacionario, la substitución que comentas es necesario que sea compatible con las condiciones del circuito, pero que ocurre lo mismo que en muchos problemas matemáticos: es condición necesaria, pero no suficiente.

Es decir, vemos que sí podrá haber estado estacionario. De hecho lo hay, pero sólo si se dan ciertas circunstancias.

En otras palabras: si la prueba de substituir el condensador por un circuito abierto y la inducción por un conductor dice que "no", entonces es seguro que no hay estado estacionario. Pero si dice que "sí" no necesariamente será así.

De todos modos, antes de que esto te genere preocupación, te diré que, si no me equivoco, en los circuitos con resistencias, condensadores e inducciones, esto sólo ocurrirá si están presentes los dos últimos (condensador(es) *y* autoinducción(es)).

y como es el proceso que usas para darte cuenta que de esa ecuacion tenes que hacer que A y B sean iguales a cero?

Para este caso la respuesta es que no hay estado estacionario? o la respuesta es que si hay para un caso en particular? aunque aun no entiendo cual es ese caso particular

La respuesta es que *sólo* habrá estado estacionario si inicialmente se cumple que $v_c(0)=v_g$ e $i(0)=0$, y no lo habrá en todos los demás casos.

El motivo es sencillo. Como $v_c(t)=v_g+A\cos\omega t+B\sin\omega t$ está muy claro que sólo tendremos $v_c(t)=\rm cte$ si A=0 y B=0 (si no es así la v_c estará siempre cambiando debido a los sumandos armónicos -o alguno de ellos- ). Pero haciendo t=0 vemos que $v_c(0)=v_g+A$, luego A=0 equivale a decir que $v_c(0)=v_g$. Derivando, tenemos que $\dot v_c(t)=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t$, con lo que $i(0)/C=\dot v_c(0)=B\omega$, luego B=0 equivale a decir que i(0)=0.

Ese caso particular es realmente tonto: si el sistema ya está inicialmente en estado estacionario seguirá en él. Pero si inicialmente no lo está, oscilará y oscilará y oscilará alrededor de dicho estado, pero sin alcanzarlo jamás.

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

mmmm por ejemplo como llegas a la ecuacion (4)? calculaste la solucion natural y forzada? como hiciste eso? porque no veo la ecuacion caracteristica ni la solucion de las raices, de hecho no aparece ninguna exponencial en tu ecuacion 4....y como es el proceso que usas para darte cuenta que de esa ecuacion tenes que hacer que A y B sean iguales a cero?

Eso de reemplazar la inductancia por un cable y el capacitor con por circuito abierto entonces no lo puedo hacer para analizar este circuito? Porque en este circuito en particular no puedo hacer esto? si en otros que tampoco tenian estado estacionario igualmente lo podia hacer y luego lograr concluir que no hay estado estacionario.

Para este caso la respuesta es que no hay estado estacionario? o la respuesta es que si hay para un caso en particular? aunque aun no entiendo cual es ese caso particular

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

1) Sólo habrá estado estacionario en un caso particular. En todos los demás no lo habrá. Repito que no hace falta que haya infinitos para que no se dé ausencia de estado estacionario.

2) Es un circuito muuuy significativo y que algún día estudiarás, cuando abordes la resonancia entre condensadores e inducciones.

3) No puedo usar la ley de Ohm porque me lleva a una conclusión incorrecta. Lee con calma mi mensaje anterior y verás que sí he usado KVL (KCL no tiene sentido, pues no hay nodos). El reemplazo de la inducción por una raya y el condensador por un salto sólo permite verificar si no podrá haber estado estacionario. En la mayoría de los casos incluso me permitirá concluir si lo hay o no. Pero si tengo condensadores e inducciones en el mismo circuito tengo que estar atento a las resonancias.

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

...... tendria que re leerlo nuevamente y eso lo hare mañana porque ya me tengo que ir a comer, pero a simple vista las dudas que me generan son :

1) En definitiva hay estado estacionario o no ? no veo que concluyas sobre si existe o no el estado estacionario en algun lado. O sea por ejemplo nunca llegas a que algun parametro da infinito , aunque si es verdad que esta no es la unica condicion que implica que no haya estado estacionario.

2) Es asi de complicado darse cuenta de que este circuito no tiene estado estacionario? ( creo que queres decirme que no tiene estado estacionario aunque no estoy segura, porque decis algo asi como que hay estado estacionario pero que no es alcanzable, y me confunde entonces si hay o no hay?

3) De forma sencilla con ley de ohm, KCL y asi como venia haciendo este caso en particular no se puede hacer?

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

Lo que concluyes no es correcto, por cómo lo haces. La causa del error está en que la intensidad no es constante, por lo que no puede salir de la integral.

Éste es un caso muy interesante e ilustrativo de hasta qué punto vale el análisis usual de "si hay estado estacionario entonces la inducción equivaldrá a un conductor y el condensador a un circuito abierto". Si lo hacemos así parecerá que no debería haber problema: la intensidad deberá ser cero (por el salto en el condensador), entonces la v_L será 0 y $v_c=v_g$.

Vamos a ver que el que pueda haber estado estacionario no garantiza en absoluto que sea alcanzable. Haciendo un símil mecánico, un oscilador armónico podría tener un estado estacionario (la partícula parada en el punto de equilibrio), pero eso no garantiza que siempre se dé dicho estado.

Las ecuaciones del circuito son

$$\dst v_g=v_L+v_c=L\frac{\dd i}{\dd t}+v_c$$

$$\dst i=C\frac{\dd v_c}{\dd t}$$

Por tanto, o bien derivamos (1) y usamos (2) y encontramos la ecuación de la intensidad (dejo para tí que lo hagas y veas que esta magnitud tendrá un comportamiento de oscilación armónica) o bien substituimos directamente (2) en (1):

$$\dst v_g=LC\frac{\dd^2 v_c}{\dd t^2}+v_c$$

Como sabes bien, esta ecuación tiene como solución la suma de dos (en tus textos le llaman "solución natural y solución forzada"):

$$v_c=v_g+A\sin\frac{1}{\sqrt{LC}}t+B\cos\frac{1}{\sqrt{LC}}t$$

Por tanto, sólo habrá estado estacionario si A=B=0, lo que equivale a decir que inicialmente la intensidad sea 0 (pues por 2 eso implica que $\dot v_c(0)=0$) y que también inicialmente sea $v_c(0)=v_g$. Fuera de ese caso particular, si $A\neq 0$ (que es lo mismo que decir que $i(0)\neq 0$) o bien $B\neq 0$ (es decir, si $v_c(0)\neq v_g$), entonces (4) implicará un circuito que oscila armónicamente pero que jamás alcanzará el estado de equilibrio.

Por cierto que ese comportamiento, en el que la corriente y los voltajes en L y C oscilan armónicamente con $\omega=1/\sqrt{LC}$ es muuuuy imporante en electricidad y se denomina "resonancia". Estoy absolutamente seguro de que acabará apareciendo en tus estudios inmediatos.

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

Bueno creo que entendi....

Pasemos a otro caso : uno donde tenga ahora una fuente de voltaje, o sea fuente de voltaje, inductancia y capacitor todos en serie.

Asi que si llamo i a la corriente que circula sera que esa i sea la misma para los 3 elementos

y el voltaje en el capacitor estara dado por :

$\dst v_c(t) = \int_0^t i (t) dt + v_c(0) = it + v_c(0)$

entonces como encontre un parametro que depende de t esto significara que no hay estado estacionario, esta bien esto?

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

y entonces cuanto vale el voltaje en 0-?

¿Qué sentido tiene aquí hablar de t=0- o t=0+? Eso es lógico manejarlo si en t=0 sucede algo que varíe las características del circuito, como por ejemplo que haya un interruptor. Pero no es el caso. La respuesta a tu pregunta es "lo que valga en t=0, sea lo que sea"

este es un caso en el cual no tengo estado estacionario y a su vez en t=0 no hay ningun parametro que vale infinito?

Pues sí.

Entonces siempre que me de que un parametro depende de t signiica que no existe estado estacionario para ese circuito?

Correcto

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

y entonces cuanto vale el voltaje en 0-?

- - - Actualizado - - -

este es un caso en el cual no tengo estado estacionario y a su vez en t=0 no hay ningun parametro que vale infinito?

- - - Actualizado - - -

Entonces siempre que me de que un parametro depende de t signiica que no existe estado estacionario para ese circuito?

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

El voltaje en el instante t=0 es cualquiera. Será infinito al cabo de un tiempo infinito.

Repito: ni es cierto que la ausencia de estado estacionario implica algún valor infinito, ni tampoco t=0 tiene que ser necesariamente el instante en que se alcance el estado estacionario, en el caso de que exista.

No haces nada mal, sólo tienes esas dos ideas incorrectas.

Estado estacionario = todos los valores se mantienen constantes (mientras no se haga cambios en el circuito).

t=0 un instante que se *elige* como uno quiera.

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

entendi todo menos tu ultima linea... para mi si hay una contradiccion, si no hubiera contradiccion es que hubiera llegado a que si existe el estado estacionario, justamente esta contradiccion es la que me lleva a concluir que como me estoy contradiciendo es que algo anda mal y esto justamente es que supuse que habia un estado estacionario cosa que en realidda no lo hay... no es asi?


Intentare hacelo una vez mas ya que me cuesta tanto

Caso 6:

Mi respuesta es :

Como la inductancia esta en serie con la uente tengo que $\dst i_L = i_g$
Luego el capacitor y la inductancia estan en serie , entonces $\dst i_c = i_L = i_g$

Pero sin embargo, si existiese estado estacionario $\dst i_c= 0$

Entonces llego a una contradiccion. Luego como llego a una contradiccion tengo que concluir que NO hay estado estacionario.

Luego ademas de decir que hay estado estacionario deberia indicar cuales son los valores de las condiciones iniciales.

Para mi serian

$\dst i_L(0-) = i_c(0-) = i_g$

$v_L(0-) = R i_L = 0 . i_L = 0$

$\dst v_c(t) = \frac{1}{C }\int_0^t i_c(t) dt + v(0) = \frac{1}{C } \int_0^t i_g dt + v(0) = \frac{1}{C } i_g t + v(0)$

mmmm tengo duda no veo como obtener el volaje en el capacitor en t=0 no deberia darme infinito? pero si sigo asi llego a que da un valor finito

$\dst v_c(0-) = \frac{1}{C } i_g . 0 + v_c(0) = v(0)$

que sigo haciendo mal?

[arivasm]

Re: problema en estado estacionario

como llego a una constradiccion tengo que concluir que no existe estado estacionario para este circuito. Esta bien?

Sí.

Igualmente me gustaria decir cuales son las condiciones iniciales para ver que alguna de ellas valdra infinito supongo no? y eso seria lo que me indica que no hay estado estacionario.

En el estado estacionario no sólo las intensidades deben ser constantes. También lo serán las tensiones. En este caso, la magnitud que no acaba nunca de alcanzar un valor constante es v_c.

Por cierto, siendo rigurosos no es imprescindible que haya magnitudes que acaben valiendo infinito. Hay un ejemplo muy bonito en el que no hay estado estacionario y no hay infinitos: un circuito cerrado formado por un condensador (inicialmente cargado) y una autoinducción. La ecuación diferencial de este circuito es análoga a la de un oscilador armónico. Por ejemplo, para la v_c es $\ddot v_c=-\omega^2 v_c$ con $\omega^2=1/\sqrt{LC}$; la solución es $v_c=A\sin(\omega t+\phi)$ (y sucede lo mismo con la intensidad y con la v_L -sólo hay diferencias en la fase inicial-). No hay estado estacionario porque el sistema oscila y oscila y oscila... Y como ves, aquí no hay ningún infinito.

o sea si llegue a una contradiccion es porque uno de las 2 opciones no era correcta como me doy cuenta de cual fue?

No es que una de ellas sea incorrecta. Simplemente sucede que la conclusión que proporciona la ecuación del circuito, por ejemplo, $i_c=i_g$, y que se cumplirá siempre (haya estado estacionario o no), está en contradicción con lo que sucedería si realmente existiese la situación de estado estacionario.

Permíteme que lo ilustre con un ejemplo (y espero no ofender a nadie con él): yo razono que si el mundo fuese justo no existirían pobres; cuando tengo en cuenta las propuestas liberales de un mundo donde cada uno luche por sus propias condiciones razono que entonces siempre habrá ricos y pobres. No hay una contradicción. Sólo puedo concluir que con esas propuestas jamás se alcanzará un mundo justo. (Antes de que nadie me discuta esto, admito que puede haber quien razone de manera diferente -algo que respeto, pero no comparto-)

La equivalencia es esta: razono que si hay estado estacionario entonces $i_c=0$; en el circuito se cumple que $i_c=i_g$. No hay una contradicción: en ese circuito no habrá estado estacionario.

[LauraLopez]

Re: problema en estado estacionario

Que dificil es todo esto, bueno sigamos con el caso 6 haber si logro entenderlo , entonces mi respuesta seria :

Como la inductancia esta en serie con la fuente tengo que la atraviesa la misma corriente entonces

Luego el capacitor y la inductancia estan en serie tambien asi que

Pero sin embargo la corriente en el capacitor deberia ser cero porque justamente lo he dibujado como un circuito abierto entonces $i_c= 0$

Entonces llego a una contradiccion digo que $i_c= 0$ y por otro lado digo que $i_c = i_g$

Entonces como llego a una constradiccion tengo que concluir que no existe estado estacionario para este circuito.

Esta bien?

Igualmente me gustaria decir cuales son las condiciones iniciales para ver que alguna de ellas valdra infinito supongo no? y eso seria lo que me indica que no hay estado estacionario.

Por otro lado yo habia hecho 2 analisis para llegar a la contradiccion, cual es el camino que es correcto? o sea si llegue a una contradiccion es porque uno de las 2 opciones no era correcta como me doy cuenta de cual fue? pareciera que las 2 eran incorretas porque en ninguna llegue a un valor de infinito en alguna variable

El caso 7 lo discutimos luego de terminar con este mejor porque no entendi mucho