Otras carreras Duda sobre interferencia de ondas

[charlie77]

Buenas,

En primer lugar me presento. Soy un estudiante de ingeniería que lleva bastante tiempo leyendo y curioseando por el foro, pero hasta ahora no me había registrado.

Estoy bloqueado con un problema sobre interferencia de ondas, y agradecería cualquier ayuda para resolverlo. Dice así: Tres focos idénticos y síncronos están situados sobre los vértices de un triángulo rectángulo e isósceles cuyos catetos miden d. Los tres focos emiten ondas planas con idéntica potencia y campo eléctrico perpendicular al plano que define el triángulo. La longitud de onda es \lambda = 3d/4. Se pide la distancia D al punto P en el que aparecerá el primer nulo.

Parece un problema muy simple, o eso creo. Se calculan los desfases de las ondas en función de las distancias al punto, y como se busca un mínimo se obliga a que la suma de los fasores sea cero. Pero no consigo llegar a un resultado coherente. ¿En qué me estoy equivocando? ¿Alguien ve un método más claro para resolverlo? Se agradece cualquier sugerencia.

Un saludo

[Breogan]

Re: Duda sobre interferencia de ondas

Hola:

Si pusieras una breve descripción de lo que hiciste, ayudarte podría ser mas fácil.

No me acuerdo mucho, pero a primera vista puede ser que el error este en las distancias que usas para calcular la interferencia.
En el enunciado no te dan las direcciones de propagación de las ondas planas?

Creo que si no te las dan el problema no se puede resolver salvo que las supongas.

Que direcciones de propagación usaste?

Suerte

[charlie77]

Re: Duda sobre interferencia de ondas

Supuse que las direcciones de propagación son desde los distintos focos hasta P. Con ello el cálculo de las distancias es bastante sencillo sin más que aplicar Pitágoras. Con ellas calculo los desfases entre fasores. Aquí viene mi gran duda, y no sé si estaré interpretando mal alguna cosa: al ser ondas planas con idéntica potencia, y buscar un mínimo nulo, los fasores deberían formar un triángulo equilátero (así el fasor resultante es nulo). Llevo varias horas dándole vueltas y no consigo sacar nada en claro. ¿Está bien planteado o me he pasado algo por alto?

[Breogan]

Re: Duda sobre interferencia de ondas

Hola:

los fasores deberían formar un triángulo equilátero (así el fasor resultante es nulo)

En cuanto a esto una pequeña puntualización, los fasores del campo eléctrico deben estar desfasados 120º (por ser de igual modulo) y forman una estrella (simil Mercedes Benz), supongo que lo del triangulo es un abuso del lenguaje coloquial-


Supongamos que el eje x apunta hacia la derecha, el eje y hacia arriba (ambos en el plano del dibujo), y z es saliente del dibujo. Con este SR los fasores de los tres campos electricos seran:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde d1, d2, y d3 son las distancias que recorre cada onda en su dirección de propagación, y los sub-indices indican el punto de emision.

Si sumamos los tres fasores queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst \ee^{-jkd_1}\ +\ \ee^{-jkd_2}\ +\ \ee^{-jkd_3}\ =0$

para que esto sea cero el desfasaje entre fasores debe ser de 120º ($2/3 \pi$), por lo cual:

$\dst kd_2=kd_1+\frac {2\pi}3+2 n_2\pi$ con $n_2=0, 1, 2,......$

$\dst kd_3=kd_1+\frac {4\pi}3+2 n_3\pi$ con $n_3=0, 1, 2,......$

Simplificamos las dos ultimas ecuaciones:

$\dst kd_2=kd_1+\frac {2\pi}3(1+3 n_2)$ con $n_2=0, 1, 2,......$

$\dst kd_3=kd_1+\frac {2\pi}3(2+3 n_3)$ con $n_3=0, 1, 2,......$

dejando las ecuaciones anteriores en funcion de la longitud de onda:

(1) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] con $n_2=0, 1, 2,......$ y con $n_3=0, 1, 2,......$

si se invierten el orden de los fasores E2 y E3, tenemos otra posibilidad expresada por las siguientes ecuaciones:

(2) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] con $n_2=0, 1, 2,......$ y con $n_3=0, 1, 2,......$

Las ecuaciones de las distancias son:

$\dst d_1=\sqrt{d^2+(d+D)^2}$

$\dst d_2=d+D$

$\dst d_3=D$

Nos quedan cinco ecuaciones con cinco incógnitas (d1, d2, d3, n1, y n2).

Si el sistema de ecuaciones tiene solución, y no me equivoque en nada, el problema estaría resuelto,

Suerte

Si calculamos d2-d3, llegamos a:

$d_2-d_3=d$

teniendo en cuenta esto , y restando una de la otra las ecuaciones (1), tenemos:

$\dst d_2-d_3=\lambda\ \frac {1+3 n_2}3-\lambda\ \frac {2+3 n_3}3$ con $n_2=0, 1, 2,......$ y $n_3=0, 1, 2,......$

$\dst d=\lambda\ \frac {3( n_2-n_3)-1}3$

$\dst n_2-n_3=\frac 1 3 \left[ \frac{3d}{\lambda}+1 \right]$

Segun el enunciado $\dst \lambda=\frac {3d} 4$ queda:

$\dst n_2-n_3=\frac 1 3 \left[ \frac{3d}{\dst \frac {3d} 4}+1 \right]$

$\dst n_2-n_3=\frac 5 3$

esta diferencia tiene que ser un número entero, y se ve que las ecuaciones (1) no cumplen esa condición. Probamos con las ecuaciones (2):

$\dst d_2-d_3=\lambda\ \frac {2+3 n_2}3-\lambda\ \frac {1+3 n_3}3$ con $n_2=0, 1, 2,......$ y $n_3=0, 1, 2,......$

$\dst d=\lambda\ \frac {1+3( n_2-n_3)}3$

$\dst n_2-n_3=\frac 1 3 \left[ \frac{3d}{\lambda}-1 \right]$

Segun el enunciado $\dst \lambda=\frac {3d} 4$ queda:

$\dst n_2-n_3=\frac 1 3 \left[ \frac{3d}{\dst \frac {3d} 4}-1 \right]$

$\dst n_2-n_3=1$

Por lo cual las ecuaciones validas son las (2) con la condicion que n2-n3=1.


El resto parece fácil, así que acá lo dejo.

Suerte

[charlie77]

Re: Duda sobre interferencia de ondas

Muchísimas gracias Breogan, una explicación clara y muy acertada. Mi error estaba en que forzaba a que es segundo desfasaje fuese también $\frac{2\pi}{3}$ en lugar de, como tu bien indicas, $\frac{4\pi}{3}$. He resuelto el sistema, y por si tienes curiosidad, la mínima distancia en la que aparece un mínimo nulo es $\frac{7d}{8}$. Una vez más te agradezco tu ayuda, estaba bastante desesperado y con tus consejos he conseguido resolverlo y comprenderlo.

Un saludo