circuito con mallas y aplicar Laplace

[Alriga]

Procedemos a la resolución de este antiguo ejercicio que ha sido visitado muchas veces mediante el procedimiento de asociar impedancias en el dominio operacional, para ayuda de futuros estudiantes de electrotecnia que lo consulten.

La impedancia del circuito vista desde el generador:

$Z=X_{L_1}+(R \ || \ X_{L_2})$

$Z=2s+(1 \ || \ 3s)$

$Z(s)=2s+\dfrac{3s}{3s+1}$

La corriente suministrada por el generador:

$I=\dfrac{\dfrac 5 s}{2s +\dfrac{3s}{3s+1}}=\dfrac{15s+5}{s^2(6s+1)}$

Separando en sumandos:

$I(s)=\dfrac 1{s^2}+\dfrac 9{5s}-\dfrac{\dfrac 9 5}{s+\dfrac 5 6}$

La caída de tensión en XL1:

$U_{L_1}=2s \ \cdot I$

$U_{L_1}=\dfrac{2(15s+5)}{s(6s+1)}$

$U_{L_1} (s)=\dfrac 2 s + \dfrac 3{s+\dfrac 5 6}$

La transformada inversa de Laplace:

$$u_{L_1} (t)=2+3 \ \ee^{-\frac 5 6 t}$$

$$i(t)=t+\dfrac 9 5-\dfrac 9 5 \ \ee^{-\frac 5 6 t}$$

La tensión en la resistencia de 1 Ohm y en la inductancia de 3H es la misma, puesto que están en paralelo:

$U=\dfrac 5 s - U_{L_1}$

$u=5-u_{L_1}$

$$u(t)=3-3 \ \ee^{-\frac 5 6 t}$$

Y las otras 2 corrientes que faltan por calcular en el circuito:

$i_1=\dfrac u 1$

$$i_1(t)=3-3 \ \ee^{-\frac 5 6 t}$$

$i_2=i-i_1$

$$i_2(t)=t-\dfrac 6 5 +\dfrac 6 5 \ \ee^{-\frac 5 6 t}$$

Saludos.

[LauraLopez]

Re: circuito con mallas y aplicar Laplace



PD: espero no consideres plagio que te use esa manito de ok jaajja

[Al2000]

Re: circuito con mallas y aplicar Laplace

Tu respuesta está bien, anota un error mas para el libro.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: circuito con mallas y aplicar Laplace

Tenes razon ,ahora para encontrar $\dst i_1$ tambien tengo problema

De las ecuaciones de antes despejo $\dst I_2(s)$ y las igualo, y tengo :

$\dst \frac{ I_1 (s) (2s + 1)s - 5}{s } = \frac{ I_1(s)}{(3s+1) }$

Despejo ahora $\dst I_1(s)$ y tengo :

$\dst I_1 (s) = \frac{5 (3s +1)}{s^2 (6s + 5) } = \frac{A}{ s^2} + \frac{B}{s } + \frac{C}{6s + 5 }$

Entonces

$\dst 5(3s+1) = A (6s+ 5) + B (6s + 5)s + C s^2$

Dandole valores a s tengo :

si s= - 5/6 entonces C= - 54/5

si s=0 entonces A=1

si s=-1 entonces B= 9/5

Entonces

$\dst I_1(s) = \frac{1}{s^2 } + \frac{9}{5 } \frac{1}{ s} - \frac{54}{5 } \frac{1}{6s + 5 }$

Si aplico la transformada obtengo :

$\dst i_1 (t) = t + \frac{9}{5 } \left[ 1 - {e}^{- 5/6 t }\right]$

Encuentran algun error?

El libro dice que la respuesta deberia ser :

$\dst i_1 (t) = t + \frac{3}{5 } \left[ 1 - {e}^{- 5/6 t }\right]$

[Al2000]

Re: circuito con mallas y aplicar Laplace

Tienes mal $I_2$. Donde pusiste $\dst I_2(s) = \frac{1}{s^2 } - \frac{6}{5 } \frac{1}{s } + \frac{36}{5 } \frac{1}{s + 5/6 }$ debería decir $\dst I_2(s) = \frac{1}{s^2 } - \frac{6}{5 } \frac{1}{s } + \frac{36}{5 } \frac{1}{6 s + 5}$, o bien, después de dividir numerador y divisor por 6, te quedaría $\dst I_2(s) = \frac{1}{s^2 } - \frac{6}{5 } \frac{1}{s } + \frac{6}{5 } \frac{1}{s + 5/6 }$.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: circuito con mallas y aplicar Laplace

Cuantos errores de tipeo tenes razon....

Bueno partamos de :

$\dst I_2(s) = \frac{5}{s^2 (6s+ 5) }$

No encontras algun error mas ? porque partiendo de esa ecuacion no llego a la respuesta que propone el libro, llego a una muuy parecida no mas.

No se si el error lo tengo desde antes o partiendo de esa expresion de I_2 ...

Lo que hago luego de esa expresion es descomponer en fracciones parciales :

$\dst I_2(s) = \frac{5}{s^2 (6s+ 5) } = \frac{A}{s^2 } + \frac{B}{s } + \frac{C}{6s + 5 }$

Entonces

$\dst 5 = A (6s + 5) + B (6s + 5) s + C s^2$

y luego le doy valores a s :

si s= - 5/6 entonces C = -36/5

si s= 0 entonces A=1

si s=1 entonces B = -6/5

Luego

$\dst I_2(s) = \frac{1}{s^2 } - \frac{6}{5 } \frac{1}{s } + \frac{36}{5 } \frac{1}{s + 5/6 }$

Entonces

$\dst i_2(t) = t - \frac{6}{5 } \left[ 1 - 6 {e}^{- 5/6 t }\right]$

y la respuesta que da el libro es :

$\dst i_2(t) = t - \frac{6}{5 } \left[ 1 - {e}^{- 5/6 t }\right]$

Te das cuenta de cual es mi error? o crees que es un error del libro? con i_1(t)me pasa algo similar

[Al2000]

Re: circuito con mallas y aplicar Laplace

Se te nota el cansancio Tienes un error de tipeo en la ecuación (3) (dice I2 en lugar de I1), un error de tipeo en la ecuación (4) (dice Is en lugar de I2), un error de despeje en la ecuación (5) (falta una s como factor en el denominador) y por supuesto tienes mal I2 (deberías obtener $\dst I_2 = \frac 5 {s^2 (6 s + 5)}$.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Escriba y resuelva las ecuaciones de malla para el circuito suponiendo todas las condiciones iniciales cero en t= 0

La fuente de voltaje es de 5 V la resistencia vertical es de 1 ohm y las 2 inductancias son de 2 y 3 H ( de izquierda a derecha )

Lo que hice fue plantear las mallas :

Malla izquierda :

$\dst 2 \frac{d i_1}{dt } + i_1 - i_2 = 5$ (1)

Malla derecha:

$\dst 3 \frac{d i_2}{dt } + i_2 - i_1 = 0$ (2)

Luego las transformo con Laplace:

De (1)

$\dst 2 s I_2(s) + I_1 (s) - I_2 (s) = \frac{5}{s }$ (3)

De (2)

$\dst 3 s I_2(s) + I_s(s) - I_1(s) = 0$ (4)

Estoy haciendo bien?

Luego tendria que despejar I_1 de ambas ecuaciones y luego I_2 no? porque intento hacer eso y llego a una transformada que no me sale...entonces capz tengo errores en estos pasos anteriores

Gracias

Por ejemplo si de (3) despejo I_1 tengo :

$\dst I_1 (s) = \frac{5 + I_2(s) s}{2 s + 1 }$ (5)

y ahora despejo I_1 de 4 y tengo :

$\dst I_1(s)= (3 s+ 1) I_2 (s)$ (6)

Igualo (5) y (6) y tengo :

$\dst I_2(s) = \frac{5}{ 6 s^2 + 4 s + 1 }$ ... ??