Otras carreras dominio s y funcion de transferencia

[LauraLopez]

Para el circuito de la figura encuentre la funcion de transferencia H(s) y la respuesta forzada si $\dst V_1 = {e}^{-t } \cos t$ V

La primer figura es la de la consigna. Tenemos la fuente $\dst V_1$ , luego hay una resitencia de valor 0,5 ohm y al lado una de 2 ohm. Las otras 2 resistencias de mas a la derecha valen 4 ohm.
Los capacitores : el de abajo vale 0,5 F y el de arriba 1 F.

Como se observa tambien hay un amplificador operacional,con el cual simplemente hay que tener en cuenta los principios de circuito abierto virtual y corto virtual.

En la segunda imagen re dibuje el circuito en el dominio s. Donde la fuente ahora valdra $\dst V_1(s) = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 1 }$.

El capacitor de arriba vale 1/s y el de abajo 2/s. Tambien dibuje los generadores de condiciones iniciales y aqui mi primer problema, como puedo saber el valor de los mismos?

O sea su valor sera $\dst \frac{v_c({0}^{- })}{s }$ . Pero no se bien como calcular ese valor...

Para eso deberia tener en cuenta el circuito en $t= 0^-$ no? en ese caso veo que la fuente valdria $V_1(s) = 1$ ,esta bien?

Alguna ayuda de como obtener el valor de v_c en ambos capacitores?

Luego el siguiente paso para resolver el ejercicio creo que seria ir planteando analisis nodal para obtener ecuaciones que me permitan obtener una expresion de $\dst V_0(s)$ y como V_1(s) ya la tengo como dato. Finalmente obtener la H(s) que me piden no?

En el circuito en dominio s marque los nodos $V_2$ , $V_3$ y$V_4$ (de izquierda a derecha ) para cuando empiece a escribir las ecuaciones.

Al estar el amplificador operacional hay que tener en cuenta que el voltaje en su terminal + y el voltaje en su terminal - seran el mismo (este es el principio de corto virtual)

$\dst V^+ = V^-$ que se traduce en $\dst V_3 = V_4$

Y ademas que las corrientes que entran al amplificador en ambos terminales son nulas (principio de circuito abierto)
esto me provoca que por ejemplo si se llama I la corriente que circulara del nodo V_2 al nodo V_3, al llegar a este ultimo nodo la misma corriente I sera la que baje sobre la rama del capacitor ( nada de corriente pasa hacia el amplificador )

Mas alla de que todavia me falta saber como obtener los valores de v_c en los generadores de condiciones iniciales,una ecuacion que puedo plantear ( para mas adelante cuando ya tenga ese paso resuelto) seria un divisor de tension en la parte donde estan las 2 resistencias de 4 ohm no? Ya que sobre las mismas circulara la misma corriente ( ya que ira una corriente nula hacia la terminal negativa del amplificador ) entonces estan en serie y tengo :

$\dst V_4 = \frac{4}{4+4 } V_0 = \frac{V_0}{2 }$ esta bien esta ecuacion?

Espero algo de ayuda.....

Gracias!

[Breogan]

Re: dominio s y funcion de transferencia

Hola:

Como ya te avise, mucho no se del tema (en realidad casi nada), así que te pido que vayamos paso a paso.

Para el circuito de la figura encuentre la funcion de transferencia H(s) y la respuesta forzada si $\dst V_1 = {e}^{-t } \cos t$ V

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En la segunda imagen re dibuje el circuito en el dominio s. Donde la fuente ahora valdra $\dst V_1(s) = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 1 }$.

No se si el valor de la fuente esta escrita literalmente como en tu libro de ejercicios o hay algún error en la transcripción o la forma de escribirla del libro se trata de una convención tacita que omite mas detalles, pero cuando se define la transformada de Laplace se lo hace para funciones f(t) con $\dst \bold {t\geqslant 0}$, por lo cual la forma formalmente correcta de expresarla sería:

$\dst v_1 = {e}^{-t } \cos t \ u(t)$

o por partes:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y entonces la transformada de v1 es la que pusiste:

$\dst V_1 = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 1 }$

Por convención y para simplificar la notación, los nombres de las tensiones y corrientes en el dominio del tiempo se hacen con letras minúsculas, y en el dominio de s se usan letras mayúsculas.

El capacitor de arriba vale 1/s y el de abajo 2/s. Tambien dibuje los generadores de condiciones iniciales y aqui mi primer problema, como puedo saber el valor de los mismos?

O sea su valor sera $\dst \frac{v_c({0}^{- })}{s }$ . Pero no se bien como calcular ese valor...

Para eso deberia tener en cuenta el circuito en $t= 0^-$ no? en ese caso veo que la fuente valdria $V_1(s) = 1$ ,esta bien?

Alguna ayuda de como obtener el valor de v_c en ambos capacitores?

Si no te dicen la historia previa del circuito, es decir la historia para $t \leqslant0^-$ (p.e. corrientes y/o tensiones y/o cargas en los elementos del circuito, condiciones de alimentación del circuito, etc., anteriores a t=0^- ) podes asumir (por lo menos con el enunciado de este problema) que los capacitores en t=0^- están descargados, por lo cual:

$\dst v_{C1}(0^-)=0 \quad y \quad v_{C2}(0^-)=0$

Ante la ausencia de datos de las condiciones iniciales del circuito y como nuestra v1 es igual a cero para t<0, de una forma burda podemos decir que es como enchufar el circuito después de un largo periodo de inactividad el cual hace que todas las corrientes y cargas preexistentes se hagan nulas.

Para eso deberia tener en cuenta el circuito en $t= 0^-$ no? en ese caso veo que la fuente valdria $V_1(s) = 1$ ,esta bien?

Con esto tengo varios problemas:

1º no se debe mezclar indiscriminadamente instantes de tiempo con transformadas, son dos espacios distintos.

2º Como vimos anteriormente para $t \leqslant 0^-$ la tension $v_1=0$.

3º La fuente $V_1$ siempre es igual a $\dst \frac{s+1}{(s+1)^2 + 1 }$ para todo $t \geqslant 0$, por lo menos en este problema.

Luego el siguiente paso para resolver el ejercicio creo que seria ir planteando analisis nodal para obtener ecuaciones que me permitan obtener una expresion de $\dst V_0(s)$ y como V_1(s) ya la tengo como dato. Finalmente obtener la H(s) que me piden no?

Correcto, teniendo en cuenta como dijiste los principios de corto virtual y circuito abierto.

Hasta acá llego por hoy, espero no haber puesto ninguna burrada.
Seria bueno que otro forero confirmara o no lo que trate de explicar, para estar los dos mas seguros.

Si lo anterior esta bien y lo entendiste podremos seguir con el resto del problema.

s.e.u.o.

Suerte

[LauraLopez]

Re: dominio s y funcion de transferencia

Mil gracias Breogan, comparto todo lo que decis, a decir verdad la gran dificultad del ejercicio radicaba en que no sabia el comportamiento para t<0 y tambien me habia llamado la atencion que la V_1 no estaba multiplicada por u(t),ya que en los demas ejemplos del libro siempre la entrada la multiplican por u(t).

Asi que asumiendo que por un "error" del enunciado no esta esa u(t) de forma tal que v_1 = 0 para los t negativos todo se vuelvemas sencillo ya que en el circuito que dibuje en el dominio s los generadores de condiciones iniciales serian nulos.

Una nueva duda que me surge que aprovecho a preguntar es : ¿Cual es la razon por la cual la transformada de f(t) se define para los t>0 ? porque no se puede definir para los negativos?

Volviendo al ejercicio creo que pude plantear las ecuaciones , decime si te parecen correctas:

Por principio de C.A virtual:

$\dst \frac{V_1 - V_2}{0,5 } = \frac{V_2 - V_3}{2 } + \frac{V_2 - V_0}{1/s }$ (1)

$\dst \frac{V_2 - V_3}{2 } = \frac{V_3}{ 2/s}$ (2)

Por principio de corto virtual:

$\dst V_3 = V_4$(3)

Por divisor de tension:

$\dst V_4 = \frac{V_0}{2 }$ (4)

Usando estas ecuaciones resolvi el sistema y llego a : (no te pongo todos los pasos intermedios por si ya tengo errores en esas ecuaciones y entonces no escribir un desarrollo que pueda estar mal)

$\dst V_0 =\frac{8}{2 s^2 + 3s + 4 } V_1$

Con lo cual tendria que la funcion de transferencia es :

$\dst H(s)= \frac{8}{2 s^2 + 3s + 4 }$

Esta bien? No te pido que resuelvas el sistema de ecuaciones, solo que me digas si mis ecuaciones te parecen correctas y bueno asumiendo que no cometi errores de cuentas si luego hago bien lo demas.

Por utimo me piden la respuesta forzada,para esto tendria que anti transformar $\dst V_0(s)$ no?

Aqui necesitaria algo de ayuda ya que me queda una funcion media fea para anti tranformar como veras...

$\dst V_0(s) =\frac{8 (s+1)}{(2 s^2 + 3 s+ 4) ( (s+1)^1 +1) }$

Me da a sospechar de que puedo estar teniendo errores porque anti transformar eso parece muuuy complicado

[Breogan]

Re: dominio s y funcion de transferencia

Hola:

Me tome el atrevimiento (y el trabajo ja!) de hacer un nuevo dibujo del circuito, ya que me costaba mucho trabajar con el que posteaste (la definición es bastante mala para un chicato)

Volviendo al ejercicio creo que pude plantear las ecuaciones , decime si te parecen correctas:

Por principio de C.A virtual:

$\dst \frac{V_1 - V_2}{0,5 } = \frac{V_2 - V_3}{2 } + \frac{V_2 - V_0}{1/s }$ (1)

$\dst \frac{V_2 - V_3}{2 } = \frac{V_3}{ 2/s}$ (2)

Por principio de corto virtual:

$\dst V_3 = V_4$(3)

Por divisor de tension:

$\dst V_4 = \frac{V_0}{2 }$ (4)

Hasta acá, si no estamos equivocados con el circuito transformado, las ecuaciones están bien.

Usando estas ecuaciones resolvi el sistema y llego a : (no te pongo todos los pasos intermedios por si ya tengo errores en esas ecuaciones y entonces no escribir un desarrollo que pueda estar mal)

$\dst V_0 =\frac{8}{2 s^2 + 3s + 4 } V_1$

Con lo cual tendria que la funcion de transferencia es :

$\dst H(s)= \frac{8}{2 s^2 + 3s + 4 }$

Esta bien? No te pido que resuelvas el sistema de ecuaciones, solo que me digas si mis ecuaciones te parecen correctas y bueno asumiendo que no cometi errores de cuentas si luego hago bien lo demas.

No lo comprobé todavía, pero no parece tener nada extraño en su forma (por lo menos para un lego)

Por utimo me piden la respuesta forzada,para esto tendria que anti transformar $\dst V_0(s)$ no?

Aqui necesitaria algo de ayuda ya que me queda una funcion media fea para anti tranformar como veras...

$\dst V_0(s) =\frac{8 (s+1)}{(2 s^2 + 3 s+ 4) ( (s+1)^1 +1) }$

Me da a sospechar de que puedo estar teniendo errores porque anti transformar eso parece muuuy complicado

Con la anti-transformada creo que poco te voy a poder ayudar, no hice nunca una (que me acuerde).

Una nueva duda que me surge que aprovecho a preguntar es : ¿Cual es la razon por la cual la transformada de f(t) se define para los t>0 ? porque no se puede definir para los negativos?

Hay dos definiciones para la transformada de Laplace:

Transformada bilateral:

$\dst \mathcal{L} [f(t)]=\int_{- \infty}^{\infty} f(t) \ \ee^{-st} \ dt$

Si se usa esta definición el dominio de f(t) es el conjunto de todos los valores posibles de t, tanto positivos como negativos, por que se integra f(t) para todos los valores de t.

Transformada unilateral:

$\dst \mathcal{L} [f(t)]=\int_{0}^{\infty} f(t) \ \ee^{-st} \ dt$

Si se usa esta definición el dominio de f(t) es el conjunto de todos los valores de t positivos y están excluidos los valores negativos, por que se integra f(t) solo para los valores de t mayores o iguales a cero.

En análisis de circuitos y en teoría del control se usa la transformada unilateral. Antes de que preguntes, no tengo idea del porque.

En base al uso de está definición se debe tener cuidado al hallar las transformadas de funciones que son distintas de cero para algún/algunos valores de t negativos.

P.e. supone que te dan una f(t) definida de la siguiente manera:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\ con \ a>0$

o

$\dst f(t)=f_1(t)\ u(t+a)$

Si vos aplicas la definición anterior de transformada tendrías:

$\dst \mathcal{L} [f(t)]=\int_0^{\infty} f(t) \ \ee^{-st} \ dt=\int_0^{\infty} f_1(t) \ u(t+a) \ \ee^{-st} \ dt$

pero como t=-a esta fuera del recinto de integración resulta que dentro de este u(t+a) siempre es igual a uno, por esto la transformada de la función dada queda:

$\dst \mathcal{L} [f(t)]=\int_0^{\infty} f_1(t) \ \ee^{-st} \ dt$

hecho esto se nota que estamos dejando fuera de la integral un pedazo de la función como se indica en la Figura 1, donde la superficie rayada es la parte de la función que se usa efectivamente en la transformada.

Ahora si hacemos el siguiente cambio de variable:

$t=\tau - a$

la ecuacion de f(t) se transforma en:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\ con \ a>0$

o

$\dst f(\tau)=f_1(\tau - a)\ u(\tau)$

entonces te olvidas de la variable t y se hace la transformada con la nueva variable:

$\dst \mathcal{L} [f(\tau)]=\int_0^{\infty} f(\tau) \ \ee^{-s \tau} \ d\tau=\int_0^{\infty} f_1(\tau - a)\ u(\tau) \ \ee^{-s \tau} \ d\tau$

pero como $u(\tau)$ es igual a uno en todo el recinto de integración se ve que:

$\dst \mathcal{L} [f(\tau)]=\int_0^{\infty} f_1(\tau - a)\ \ee^{-s \tau} \ d\tau$

y ahora se ve que estamos transformando toda la f(t) dada, como se ve en la Figura 2 donde la superficie rayada es la parte de la función que se usa efectivamente en la transformada.

Lo ultimo que hay que tener en cuenta es que cuando hagas la anti-transformada volves al espacio de variable $\tau$ y después tenes que hacer el cambio de variable inverso para volver al dominio del tiempo.

Gráficamente los pasos para transformar una función con una parte distinta de cero para t<0 serían:

$\dst Dominio \ en \ t \ \xrightarrow{C. \ var.} \ Dominio \ en \ \tau \ \xrightarrow{Transf.} \ Dominio \ en \ s \ \xrightarrow{Operaciones \ en \ s }$$\ Dominio \ en \ s \ \xrightarrow{Anti-transf.}\ Dominio \ en \ \tau \ \xrightarrow{C. \ var.} \ Dominio \ en \ t$


Disculpa que se me hizo muy largo el post, sobretodo con algo que no esta precisamente referido al problema. Mañana trato de ver mas temprano los otros hilos.

Lo que puse es la interpretación de lo poco que leí, así que no te sorprenda que pueda haber algún error. Espero que se entienda.

s.e.u.o.

Suerte

[LauraLopez]

Re: dominio s y funcion de transferencia

Gracias Breogan , excelente explicacion. Paraciera entonces que la expresion de V_0(s) que encontramos es correcta, el tema es que no se antitransformarla podre la ecucion en el foro de metodos matematicos a ver si alguien me ayuda a resolverla. El hecho de que quede una anti transformada tan compleja me da a pensar que puede haber errores pero a decir verdad no los encuentro en caso que los haya.

Esperare anciosa respuestas en algun otro hilo, en especial el de convolucion .

Saludos!

[Breogan]

Re: dominio s y funcion de transferencia

Hola:

Hice el calculo de la función de transferencia y me da lo mismo que a vos, o está bien o los dos nos equivocamos en lo mismo.
En cuanto a la anti-transformada de V0 se me ocurrió algo (no se si nos puede llevar al resultado) pero te lo digo en el otro hilo que abriste.

Suerte