Otras carreras Ganancia en grafico de Bode

[LauraLopez]

Hola, les comento una duda que tengo. Basicamente la duda esta en el grafico que adjunto que es un grafico de Bode. La duda radica en que en un momento dice :

"El error maximo ocurre en la frecuencia de corte y es de 3 dB"


Mi duda es ¿ Porque es 3dB ?

Para el que no tenga conocimiento en este tema igualmente a continuacion agrego un resumen de lo que menciona mi libro para concluir en ese grafico, tal vez alguien logre interpretarlo y me pueda explicar.

En la forma estandar, la funcion de transferencia es la proporcion de los productos

$\dst H(s) = \frac{K N_1(s) .. {N}_{\mu }(s)}{ D_1(s)...D_n(s)}$

Sustituyendo s por jw y tomando magnitudes , la ganancia es :

$\dst \left\vert{} H(jw)\right\vert{} = \frac{\left\vert{} K\right\vert{} \left\vert{} N_1(jw)\right\vert{}...\left\vert{} N_\mu (jw)\right\vert{}}{\left\vert{} D_1(jw)\right\vert{} ...\left\vert{}D_n(jw) \right\vert{}}$

Sabemos que el valor en decibeles de un producto es el producto de los valores en decibeles, de forma que :

$\dst \left\vert{} H(jw)\right\vert{} (dB) = \left\vert{} K\right\vert{} (dB) + \sum_{i = 1}^{\mu} \left(\left\vert{} N_i(jw)\right\vert{} (dB)\right) - \sum_{i = 1}^{n} \left( \left\vert{} D_i(jw)\right\vert{} (dB)\right)$

La estrategia para graficar la ganancia $\dst \left\vert{} H(jw)\right\vert{}$ en decibeles, sera la de graficar cada termino a la derecha de esta ultima ecuacion, y luego sumar graficamente estas graficas componentes. El resultado sera la ganancia deseada en decibeles.

Concentremonos primero en el caso de raices reales, supongamos por un momento que este termino esta en el numerador . Por consiguiente :

$\dst \left\vert{} N_i(jw)\right\vert{} (dB) = 20 {Log}_{10 } \left\vert{} N_i(jw)\right\vert{} = 20 {Log}_{10 } \left\vert{} jw +a\right\vert{}^r$

donde r es la multiplicidad del cero real -a. Esto puede simlificarse a :

$\dst \left\vert{} N_i(jw)\right\vert{} (dB) = 20 r {Log}_{10 } \left\vert{} jw +a\right\vert{}$ (1)

para w << a, $\dst \left\vert{} jw + a \right\vert{}$ puede , con un error pequeño ser reemplazado por $\dst \left\vert{} a\right\vert{}$. La ganancia de este termino es entonces :

$\dst \left\vert{} N_i(jw)\right\vert{} (dB) \cong 20 r {Log}_{10 } \left\vert{} a\right\vert{}$ w <<a (2)

De este modo, para w << a , la grafica sera una recta plata al nivel $\dst 20 r {Log}_{10 } \left\vert{} a\right\vert{}$.

De manera similar para w >> a tenemos :

$\dst \left\vert{} N_i(jw)\right\vert{} (dB) \cong 20 r {Log}_{10 } \left\vert{} jw\right\vert{} = 20 r {Log}_{10 } w$ , w >> a (3)

Examinando esta ultima, la grafica para w >> a cobrara una forma particularmente simple si elegimos graficar la ganancia no contra w, sino contra $\dst {Log}_{10 } w$. En este caso (3) nos indica que tenemos una ecuacion de la forma y =mx , donde y es la ganancia en decibeles y $\dst x = {Log}_{10 } w$, es decir, una relacion lineal entre estas variables.

Los 2 segmentos de la linea recta para w << a y w >> a se interceptan en$\dst w= \left\vert{} a\right\vert{}$ (frecuencia de corte)

Una grafica de la aproximacion lineal por tramos a la curva de ganancia que determinamos, un par de rectas que se intersectan en la frecuencia de corte, se conoce como grafica de ganancia de bode no corregida.

La grafica de ganancia de bode corregida o exacta se obtiene evaluando (1).

Notese que el error maximo ocurre en la frecuencia de corte y es de 3 dB


Espero alguna ayuda si alguien entiende de donde sale ese numero 3.

Gracias

PD: por si no se aprecia bien en la imagen los 2 valores que se muestran en el eje vertical son :

$\dst \left\vert{} a\right\vert{} (dB)$ que se corresponde con $\dst \left\vert{} a\right\vert{}$ en el eje horizontal. ( Que aca tampoco comprendo porque ese valor se mapea con ese....)

Y el otro valor es $\dst \left\vert{} a\right\vert{} (db) + 3r$ que tambien se mapea con [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y no se el porque

[arivasm]

Re: Ganancia en grafico de Bode

Como en otras ocasiones, trataré de ayudar, a pesar de mis muuuy limitados conocimientos. Antes de nada, una corrección:

Sabemos que el valor en decibeles de un producto es el producto de los valores en decibeles

El valor en dB de un producto es la suma de los valores en dB, pues la escala de Bell es una escala logarítmica, y el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. De todos modos, debe ser un lapsus, pues a continuación está correctamente aplicado.

Sobre el origen del error de 3dB, sería del siguiente modo. El módulo de $j\omega+a$ es $\sqrt{\omega^2+a^2}$, de manera que $\log|j\omega+a|=\log\sqrt{\omega^2+a^2}$. El punto de corte de ambas rectas corresponde a $\omega=a$, luego el valor exacto sería, usando dB, $20r\log_{10}\sqrt{2a^2}=20r\log_{10}\sqrt{2}+20r\log_{10}|a|$ Como la recta horizontal es, en dB, $20r\log_{10}|a|$, la diferencia entre ambas será $20 r\log_{10}\sqrt{2}=10r \log_{10}2=3,0103\,r\,\rm dB$

[LauraLopez]

Re: Ganancia en grafico de Bode

Gracias! lo entendi.

Con respecto a lo del producto, debe ser un error del libro como decis.

Con respecto al grafico para cuando el eje horizontal el valor es $\dst \left\vert{} a\right\vert{}$ porque marque que en el eje vertical el valor es $\dst \left\vert{}a \right\vert{}(dB) + 3r$ sera un error del libro? porque deberia ser ese 3 sin el r no? o sea $\dst \left\vert{}a \right\vert{}(dB) + 3$

[arivasm]

Re: Ganancia en grafico de Bode

Fíjate que en el desarrollo que hice finalmente queda 3,0103*r. El motivo por el que aparece r multiplicando es porque el logaritmo de una potencia es el exponente (r, en este caso) multiplicado por el logaritmo de la base, aquí |jw+a|.

[LauraLopez]

Re: Ganancia en grafico de Bode

claro!! no me habia percatado del r tenes toda la razon!