Otras carreras ganancia y fase

[LauraLopez]

Encujentre la funcion de ganancia y desplazamiento de fase. Grafique usando escalas lineales.

$\dst H(s)= \frac{s+1}{s+2 }$

Reempazo s por jw y tengo :

$\dst H(jw) = \frac{jw +1}{jw+2 }$

La ganancia seria :

$\dst \left\vert{} H(jw)\right\vert{} = \sqrt{\frac{w^2+1}{w^2+4 }}$

Y el desplazamiento de fase seria : $\dst \left( {tan}^{-1 } w - {tan}^{-1 } w/2\right) = \left( {tan}^{-1 } w/2 \right)$

Esta bien lo que hice?

Lo que si necesito ayuda con las graficas no se como hacerlas.....

Gracias

[Breogan]

Re: ganancia y fase

Hola:

Encujentre la funcion de ganancia y desplazamiento de fase. Grafique usando escalas lineales.

$\dst H(s)= \frac{s+1}{s+2 }$

Reempazo s por jw y tengo :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La ganancia seria :

$\dst \left\vert{} H(jw)\right\vert{} = \sqrt{\frac{w^2+1}{w^2+4 }}$

Correcto.

Y el desplazamiento de fase seria : $\dst \left( {tan}^{-1 } w - {tan}^{-1 } w/2\right) = \left( {tan}^{-1 } w/2 \right)$

Esto me parece que está mal.

Si vos llamas:

$\dst \phi_1 = \tan^{-1} \omega \quad \Rightarrow \quad \tan \phi_1 = \omega$ (1)

y

$\dst \phi_2 = \tan^{-1} \frac {\omega} 2 \quad \Rightarrow \quad \tan \phi_2 = \frac {\omega} 2$ (2)

resulta que:

$\phi = \phi_1 - \phi_2$

tomando la tangente a ambos lados:

$\tan \phi = \tan (\phi_1 - \phi_2)$

por trigonométrica:

$\dst \tan \phi = \frac {\tan \phi_1 - \tan \phi_2}{1+\tan \phi_1 \tan \phi_2}$

reemplazando en la ultima las expresiones (1) y (2) queda:

$\dst \tan \phi = \frac {\omega - \dst \frac {\omega} 2}{1+\omega \ \dst \frac {\omega} 2}$

esto lo podes simplificar un poco mas y tomar la inversa de la tangente para hallar la $\phi (\omega)$.

s.e.u.o.

Suerte

PD: de los gráficos no se nada, aunque supongo que como te piden escalas lineales no diferirá de como se gráfica cualquier función.

Suerte

[LauraLopez]

Re: ganancia y fase

mmm con respecto a el desplazamiento de fase no me doy cuenta porque lo que hice esta mal.....

O sea seria : desplazamiento de fase = $\dst \frac{{tan}^{-1 } (w)}{{tan}^{-1 } (w/2) }$

Y como esta la division de la fase de fasores no es simplemente hacer la resta? y asi obtener $\dst {tan}^{-1 } w/2$??

Loa graficos coincido que se deberian graficar como cualquier funcion pero nose como hacerlo....conque forma unir los puntos... el de desplazamiento de fase menos idea aun

[Breogan]

Re: ganancia y fase

Hola:

De tu primer mensaje:

Y el desplazamiento de fase seria :

Con respecto a esto dos cosas:

Y el desplazamiento de fase seria : $tan^{-1} \omega-tan^{-1} \omega / 2$

, esto es totalmente correcto.

Pero:

$tan^{-1} \omega-tan^{-1} \omega / 2=tan^{-1} \omega / 2$

no es correcto, y que no se cumpla esta igualdad es solo una cuestión estrictamente geométrica.

Te adelanto un principio de una demostración (que en rigor es la misma que la de mi post anterior).

Como bien decis el desplazamiento de fase, que llamaremos $\phi$, es:

$\phi=tan^{-1} \omega-tan^{-1} \omega / 2$

Si tomamos la $tan \phi$, y sabiendo que por trigonometria $tan^{-1} \omega \ y \quad tan^{-1} \omega / 2$ son ángulos, tenemos:

$tan \phi=tan \left[ tan^{-1} \omega-tan^{-1} \omega / 2 \right]$

Acá aplicas la identidad (o teorema) de la tangente de una diferencia de ángulos, simplificas, y por ultimo haces la inversa de la $tan \phi$, y así obtenes el angulo $\phi$

Cuando llegues al desfasaje y ganancia en función de $\omega$ hablamos de las graficas.

Espero se entienda.

Suerte

[LauraLopez]

Re: ganancia y fase

creo que ahi entendi eso que decis , el desplazamiento de fase entonces es $\dst \phi = {tan}^{-1 } \left( \frac{w}{w^2 + 2 } \right)$ no?

Te adjunto un ejemplo que trae mi libro de como hace estas graficas de escala lineales y espero me puedas ayudar a hacer los 2 graficos?

[Breogan]

Re: ganancia y fase

Hola:

Estamos de acuerdo que el modulo de la ganancia es:

$\dst \left\vert{} H(jw)\right\vert{} = {\frac{\sqrt{w^2+1}}{\sqrt{w^2+4} }}$

La que podemos escribir como:

$\dst \left\vert{} H(jw)\right\vert{} = \frac{ \left\vert{} H_1(jw)\right\vert{}}{ \left\vert{} H_2(jw)\right\vert{} }$

donde:

$\dst \left\vert{} H_1(jw)\right\vert{} = \sqrt{\omega^2+1^2}$

y

$\dst \left\vert{} H_2(jw)\right\vert{} = \sqrt{\omega^2+2^2}$

Ahora vamos a gtraficar $\left\vert{} H_1(jw)\right\vert{} \quad y \quad \left\vert{} H_2(jw)\right\vert{}$ en forma independiente cada una, tomemos como ejemplo la primera:

Lo primero que se puede ver es que $\left\vert{} H_1(jw)\right\vert{}$ (dibujada en rojo en la gráfica) se trata de una parábola con el vértice sobre el eje vertical y abierta hacia arriba.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
El mismo análisis es valido para $\left\vert{} H_2(jw)\right\vert{}$ (dibujada en azul en la gráfica) .

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Para el gráfico de $\left\vert{} H(jw)\right\vert{}$ primero tenemos que ver los valores extremos de la función. Podemos ver de las dos gráficas anteriores (o de (1) y (2)) que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
La pendiente de la tangente a una curva en un punto es igual a la derivada de ella en dicho punto. Para el caso nuestro:

$\dst \left| H(jw)\right| = \frac{ \left| H_1(jw)\right|}{ \left| H_2(jw)\right|} \quad \Rightarrow \quad .$ $\dst \left[ \left| H(jw)\right| \right]' = \frac{ \left[ \left| H_1(jw)\right| \right]' \left| H_2(jw)\right| - \left| H_1(jw)\right| \left[ \left| H_2(jw)\right| \right]'}{ \left\vert{} H_2(jw)\right\vert{}^2 }$

Con esto se puede ver que:

$\dst \omega =0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \left| H(j \omega) \right| \right]' = 0$

y

$\dst \omega \gg 2 \quad \Rightarrow \quad \left[ \left| H(j \omega) \right| \right]' = 0$

por lo cual las tangentes a la curva $\left| H(j \omega) \right|$ en $\omega = 0$ y $\omega \gg 2$ son horizontales; el análisis mas detallado te lo dejo a vos.

Creo que con esto ya podemos dibujar en forma aproximada las tres gráficas.

A continuación te dejo lo que me dio a mi para que lo veas.

Como ya te dije mucho no se del tema, y seria bueno que revises todo desde el punto de vista de lo que estas estudiando. Si hay algo que no esta de acuerdo con lo que estas estudiando, o directamente esta mal, decime y lo vemos juntos.

s.e.u.o.

Suerte

[LauraLopez]

Re: ganancia y fase

Excelente tu respuesta Breogan!! me parece que esta perfecto lo que hiciste, y que es acorde a lo que deberia hacer. Ahora el siguiente paso seria hacer la grafica del desplazamiento de fase , habria que hacer algo similar supongo si me podes dar una ayudita...

[Breogan]

Re: ganancia y fase

Hola:

Creo que en este caso para el análisis debemos partir de la siguiente:

$\phi=tan^{-1} \omega-tan^{-1} \omega / 2$

ya que me parece que siempre es mas fácil (y en el fondo creo que es el método que se aplica en los libros) trabajar con las graficas de funciones elementales y luego sumarlas, restarlas, multiplicarlas, ect (lo que corresponda) entre ellas.

Yo hasta la noche estoy medio corto de tiempo, por eso te recomiendo que empieces graficando en un mismo gráfico $\phi=tan^{-1} \omega$ y $tan^{-1} \omega / 2$, mas o menos en escala para luego restarlas entre ellas, parecido a lo que hicimos con la ganancia.

Después seguimos.

Suerte

[LauraLopez]

Re: ganancia y fase

Me cuesta mucho lograr hacerlo, no me doy cuenta cual es el tipo de curva que seguira....

Empecemos por lo mas basico tratando de graficar $\dst \phi = {tan}^{-1 } w$

Mi primer duda es en el eje vertical las unidades serian grados no? porque asi aparece en la imagen que adjunte del ejemplo de mi libro. y el eje horizontal que corresponde a la frecuencia que unidades tendra?

Para $\dst \phi = {tan}^{-1 } w$ veo que si w=0 entonces $\dst \phi = 0$ y por ejemplo si w=1 entonces $\dst \phi = 45\°$ pero estos 2 puntos por ejemplo nose como unirlos.....no creo que deba unirlos con una recta...

Ademas observo que a medida que aumento w el resultado tiende a 90° pero no se como armar la grafica para saber con que "forma" de curva quedara finalmente

[nature]

Re: ganancia y fase

Mi primer duda es en el eje vertical las unidades serian grados no? porque asi aparece en la imagen que adjunte del ejemplo de mi libro. y el eje horizontal que corresponde a la frecuencia que unidades tendra?

Si el eje vertical estará en grados o radianes (ambas unidades son equivalentes mediante $\frac{pi}{180}$) y el eje horizontal es el de la variable independiente en la función, en este caso $\omega$ así que tiene unidades de rad/s.

Pues yo que tu usaria una graficadora para tener una idea de como es la curva, simplemente metes la funcion de ganancia y de fase y graficas para cada una, eso te ayudará a entender mejor, luego puedes hacer una estimación evaluando en puntos criticos como 0, 1 e infinito.

[LauraLopez]

Re: ganancia y fase

No conozco o se usar ningun programa de esos de graficadores....y ademas creo que deberia de poder hacerla a mano en papel, a eso apunta el ejercicio segun creo...

Vos sabrias como seria la forma de la curva? para asi poder ver como es la solucion....supongo ( auqnue no lo se) que conociendo coo es la forma de la solucion en futuros ejercicios la curva de una fase siempretendra la misma forma pero pasando por distintos puntos no?

Por otro lado no me queda claro si debo graficar los 2 terminos de la fase y luego la resta de ambo es la grafica final no? Esto de restarlas tampoco sabria como hacerlo

[nature]

Re: ganancia y fase

Si que puedes graficar a mano pero siempre será solo un aproximado, ya que depende de cuantos puntos quieras evaluar para que la curva sea mas suave. Pero no está de mas recurrir a una graficadora con fines didacticos, yo ya grafiqué ambas funciones (ganancia y fase) no lo adjunto por que no estoy en mi pc en estos momentos. Puedes hacerlo tu misma, usa winplot, es una excelente graficadora gratuita y portable para windows.

la curva de una fase siempretendra la misma forma pero pasando por distintos puntos no?

No. Aunque la mayoria de los circuitos tienden a desfasar 90° al aumentar $\omega$ las curvas pueden ser muy diferentes.

Por otro lado no me queda claro si debo graficar los 2 terminos de la fase y luego la resta de ambo es la grafica final no? Esto de restarlas tampoco sabria como hacerlo

Si claro, puedes evaluar ambas funciones en un punto y luego restar una de otra y graficar dicha resta.

[LauraLopez]

Re: ganancia y fase

Bueno ahi intento usar esa herramienta y veo si me sale hacer la grafica, pero insisto que en un examen no tengo opcion de utilizar la herramienta por eso quiero saber como se hace para graficarlas....

la primera duda que tengo es que debo graficar?

Debo graficar $\dst \phi = {\tan}^{ -1} w - {\tan}^{-1 } w/2$ no?

Porque tambien la expresion que habia obtenido de la fase es : $\dst \phi = {\tan}^{-1 } \frac{w}{w^2 + 2 }$

O tambien hablabamos que de esta expresion : $\dst \phi = {\tan}^{ -1} w - {\tan}^{-1 } w/2$ debo graficar ambos terminos por separada y luego "restarlos"....

Cual de todas las opciones es la mas sencilla? asi intento hacer esa forma y perdona que insista pero lo tengo que hacer sin un programa y la verdad que nose me ocurre como hacerlo o como poder adivinar la forma de la curva.

PD: el eje vertical creo que debo usar grados porque eso es lo que usa mi teoria. y en caso de usar el metodo de la resta deberia obtener 3 graficas segun entiendo no? donde la tercera seria la grafica pedida

PD2: con el programa no tuve suerte, no se como poner que el eje x sea w (frecuencia) y el eje vertical se corresponda a grados. Y donde ingreso la funcion todavia nose bien que funcion debe ir pero no me deja poner una inversa de tangente , o no se como se hace

[nature]

Re: ganancia y fase

En el programa debes usar x como variable independiente, por ejemplo, para ${\tan}^{ -1} w$ debes introducir arctan(x). En internet hay tutoriales del mismo incluso el usuario natanael ha subido unos videotutoriales a youtube de esa graficadora.

Por otro lado no creo que sea util hacer 3 graficas, solo evaluas $\dst \phi = {\tan}^{ -1} w - {\tan}^{-1 } w/2$ en tantos puntos arbitrarios como desees, y grafica. La verdad no se si exista mejor forma de hacerse esto, como determinar la forma exacta de una curva sin usar una herramienta informatica, ni idea. Solo que mientras mas puntos evalues mas cercana es tu grafica a la real.

[LauraLopez]

Re: ganancia y fase

Perdoname que sea tan cerrada pero me sigue costando.

Comprendo que decis que no me conviene hacer las 3 graficas , entonces en caso de hacer una sola cual me conviene hacer?

Esta $\dst {tan}^{ -1} \frac{w}{w^2 + 2 }$ ?? o esta otra: $\dst {tan}^{-1 } w - {tan}^{-1 } w/2$ ? yo opte por usar la segunda aunque nose si es la que debo usar

Por otro lado el eje vertical deberia estar en grados y no encontre forma de hacer eso con el programa.....
El eje horizontal hice como decis de dejarlo como X aunque yo creo que estaria mal eso.....no deberia representar la frecuencia ese eje? no pareciera que por defecto la X represente la frecuencia...

Creo que en la grafica deberia de poder saber cuanto vale para algunos valores particulares como ser 45 0 90 ....o decis que no se hace eso?

Por ultimo si en un examen me toman un ejercicio asi no sabrias explicarme como hacerlo? porque como dije no tengo un programa informatico a la hora de rendir y entonces no sabria como resolver el ejercicio, no se como adivinar la forma de la curva....