Ganancia y bode

[Rodri]

Re: Ganancia y bode

Ah, conque era eso.

Bueno, yo más que "gráfica corregida" la llamaría gráfica "exacta", mientras que la gráfica hecha con tramos rectos es, como bien dices, una aproximación.
Dicha aproximación es sin embargo muy útil porque presenta toda la información relevante de la respuesta en frecuencia del sistema. Como te decía en uno de mis mensajes, las líneas rectas son en realidad asíntotas de la curva exacta de cada cero y polo.
Al usar una escala logarítmica, sucede que en cuanto nos alejamos más de una década en frecuencia, el efecto de un polo o un cero prácticamente se puede representar con el tramo recto, sin apenas error.

Te recomiendo que practiques hacer diagramas de Bode para funciones con un solo polo o un solo cero. Por ejemplo un filtro RC paso bajo, o paso alto. Representa la función exacta y luego la aproximación. Verás que efectivamente donde más difieren es justamente en el punto de frecuencia donde está el cero o el polo en cuestión, donde la diferencia es como dices 3 dB.
Cuando estudies los filtros podrás ver todo esto más en profundidad.

¿Usas Matlab? Es un programa muy adecuado para representar estas cosas y adquirir el "feeling" adecuado y ver porqué la escala logarítmica es tan útil en estos casos.

Un saludo
Rodri

[LauraLopez]

Re: Ganancia y bode

gracias por la respuesta pero lamentablemente sigo con la misma duda.....capaz no quedo clara mi duda, pero mi duda es como hago para dibujar ahora la grfica exacta en mi dibujo, o sea tengo que sobre el mismo grafico dibujar ahora la grafica exacta.....efectivamente ocurro eso de que en los polos y ceros tengo que desplazarme 3 dB? No me sale poder dibujar la grafica exacta....no se me ocurre bien como hacer la forma de la curva para que pase por esos puntos

Gracias

[Rodri]

Re: Ganancia y bode

Para hacer la gráfica del módulo "corregida" o "exacta" partimos de la expresión exacta:

$H(s) = \frac{s(s+4,0e3)}{(s+586)(s+3,41e3) }$

Entonces el módulo es

$|H(s)| = \frac{|s||s+4,0e3|}{|s+586||s+3,41e3| }$

Sustituyendo s=jw,

$|H(jw)| = \frac{|jw||jw+4,0e3|}{|jw+586||jw+3,41e3| } = |w|\times \sqrt{{w}^{2}+{4,0e3}^{2}} \times \frac{1}{ \sqrt{{w}^{2}+{586}^{2}} } \times \frac{1}{ \sqrt{{w}^{2}+{3,41e3}^{2}} }$

Ahora, para un valor dado de la frecuencia w, calcula cada uno de los cuatro factores y al producto de los cuatro le aplicas 20 log₁₀(). El resultado es el valor exacto en dB para ese punto de la frecuencia.

Otra forma de hacer lo mismo es tomar 20 log₁₀() de cada uno de los cuatro factores y luego sumarlos.

Como se trata de una curva y no un conjunto de rectas tendrás que tomar unos cuantos puntos. Los más adecuados serían los de los polos y ceros (exceptuando w=0, claro) y algunos puntos más. Tendrás que calcularlos con calculadora o con un programa adecuado (Excel, Matlab, etc.) y luego dibujarlos en el papel con escala logarítmica en el eje horizontal de la frecuencia y lineal en el eje vertical (dB). Aquí tienes uno para imprimirte:

http://commons.wikimedia.org/wiki/Fi...25_italien.svg


Saludos
Rodri

[LauraLopez]

Re: Ganancia y bode

Hola Rodri perdoname pero me parece que me volvi a expresar mal porque sigo sin obtener la respuesta a la duda que yo tengo, tratare una vez mas de explicar cual es mi duda lo mas clara posible a ver si entendes a que me refiero....

Mi objetivo es lograr armar esta grafica : http://i.imgur.com/CXjBnUK.jpg para el ejercicio que estamos tratando.

La " no corregida" es la que ya logramos hacer ahora faltaria dibujar la "corregida" . Para dibujar la corregida siemplemente tengo que hacerlo como muestra esa imagen, o sea no hacer ningun calculo ni utilizar ningun software simplemente "corregir" a mano la "no corregida" o sea dibujar esa curva aproximada.

Se entiende lo que tengo que hacer? o sea mi libro no apunta a que dibuje la corregida haciendo calculos y demas solo dice que la corregida seria una curva con forma como mostre en esa imagen donde lo unico que debo tener en cuenta es que en las frecuencias de corte el valor en dB diferira en 3 dB con respecto a la curva no corregida.

Entonces si por ejemplo en esta imagen : http://i.imgur.com/CXjBnUK.jpg yo solamente tendria dibujada la grafica de bode no corregida y para la frecuenca w=a digamos que el valor en dB es por ejemplo 9 dB. Para dibujar la corregida bastaria con marcar un punto en w=a que se corresponda con 12 dB y luego simplemente dibujar la curva que es asintotica hacia los extremos.....

Espero se entienda a lo que apunto....

Entonces mi duda es como sobre esta grafica : http://i.imgur.com/5CftXdC.jpg puedo trazar esa curva? En este caso tengo 2 frecuencias de corte, ademas las pendientes son distintas a la otra imagen entonces me cuesta / no se como trazar la grafica corregida sobre esta imagen.....creo que lo que deberia hacer es marcar en los w de frecuencia de corte un punto que este 3 dB por encima o por debajo de lo que esta la grafica no corregida pero luego no me queda claro como continuar la forma de la curva para lograr algo similar al ejemplo que muestro al principio.

Perdon por expresarme tan mal espero que esta vez si se comprenda mi duda, o sea no tengo que usar ninguna formula ni ningun programa para graficar la grafica exacta sino que tengo que "corregir" a ojo a la grafica que ya tenia de bode no corregida. Lo unico a tener en cuenta es esto de la diferencia de 3 dB en las frecuencias de corte

Gracias

[Rodri]

Re: Ganancia y bode

La gráfica corregida es como la no corregida pero "suavizando" el trazado de las esquinas. Así, cuando se trata de un cero, el punto por el que pasa está 3 dB por encima de la no corregida y cuando se trata de un polo, el punto por el que pasa está 3dB por debajo de la no corregida. Tienes que trazar a lápiz una curva que pase por esos puntos y que luego se aproxime suavemente hasta "empalmar" con los tramos rectos de la no corregida.

Saludos
Rodri

[LauraLopez]

Re: Ganancia y bode

Mil gracias Rodri! bueno intente hacer esto ultimo que me decis , la grafica seria : http://i.imgur.com/vbPkTe4.jpg

como veras en w=585 marque el punto 3 dB debajo de lo que estaba la grafica no corregida, que segun mi escala esa seria la ubicacion del punto ( las lineas punteadas convergen a ese punto) luego intente hacer eso de suavizar hacia las esquinas, esta bien?

Para w= 4000 marque el punto 3dB por encima y hacia la derecha como veras dibuje esa curva suavizada que empalma con la no corregida, pero hacia la izquierda no se me ocurre como terminar la grafica. Como tengo que hacer?
Lo que hice hasta aca esta bien? o tiene errores?

Gracias!

[Rodri]

Re: Ganancia y bode

Me he dado cuenta de que hay que hacer una aclaración importante a este mensaje mío anterior:

La gráfica corregida es como la no corregida pero "suavizando" el trazado de las esquinas. Así, cuando se trata de un cero, el punto por el que pasa está 3 dB por encima de la no corregida y cuando se trata de un polo, el punto por el que pasa está 3dB por debajo de la no corregida. Tienes que trazar a lápiz una curva que pase por esos puntos y que luego se aproxime suavemente hasta "empalmar" con los tramos rectos de la no corregida.

La aclaración es la siguiente:

Cuando un cero o un polo de la función de transferencia está suficientemente lejos de los demás, entonces podemos considerar que en su entorno la variación de la función de transferencia sólo depende de ese polo o cero en particular y entonces se puede aplicar la regla de los 3dB anterior, es decir, que la diferencia entre el valor real de |H(jw)| y el valor aproximado por la gráfica hecha con tramos rectos es 3dB al pasar por los plos y ceros, con mucha precisión.
Sin embargo, cuando el polo o cero en cuestión está cerca de otros polos y/o ceros, entonces esto deja de ser aplicable ¿por qué? La razón es que esos otros polos o ceros también "se dejan sentir" en el valor que toma H en el polo o cero en cuestión.

Esto se ve bien con un ejemplo:

Imagina una función de transferencia con dos polos, a y b, con a<b:

$H(s) = \frac{1}{(s+a)(s+b)}$

La podemos escribir también como
$H(s) = \frac{1}{(s+a)}\times \frac{1}{(s+b)} = A(s) \times B(s)$

, donde he llamado $A(s) = \frac{1}{(s+a)}$ y $B(s) = \frac{1}{(s+b)}$, es decir, expresamos la función de transferencia como el producto de dos funciones de transferencia, cada una con uno de los polos solamente.

Si a y b están "lo bastante lejos" entonces cuando evaluemos B(jw) en el entorno de w=a o cuando evaluemos A(jw) en el entorno de w=b sucederá que se podrán aproximar por su asíntota, es decir por su gráfica "no corregida". Esto quiere decir que la gráfica corregida se obtiene aplicando individualmente la corrección a A(jw) en el entorno de w=a y la corrección a B(jw) en el entorno de w=b, ya que ambas correcciones no "interfieren", no se entremezclan. Y dichas correcciones consisten, como hemos visto, en suavizar la esquina del Bode no corregido justo en el entorno de cada polo, de manera que la curva pase 3dB por debajo de la esquina a su paso por cada polo.

Esto no es posible cuando a y b están cercanos, ya que en ese caso, en el intervalo intermedio a<w<b, A(jw) y B(jw) aún no pueden aproximarse por su asíntota por lo que el comportamiento de H en esa zona intermedia mezcla las correcciones de ambos polos. En este caso la curva corregida es algo más complicado que "suavizar" las esquinas del Bode pasando 3dB por debajo, como antes, ya que la diferencia entre el valor no corregido y el corregido, al pasar por cada polo hay que calcularlo y no es en general 3dB.

Todo esto puede parecer muy complicado, pero son simples matemáticas. Te recomiendo que te pongas un ejemplo de esto con valores de a y b en ambos casos (a y b cercanos / a y b lejanos). Como regla práctica podemos considerar que a y b están lo bastante lejos cuando están al menos una década de separación, es decir, cuando b/a > 10.

He cargado dos archivos con dos gráficas.

LauraLopez1: la gráfica solución del problema como me sale a mí.
Laura Lopez2. la gráfica para un problema en el que los ceros y los polos están todos lejos unos de otros. Aquí puedes ver que se cumple la regla de los 3dB para la gráfica corregida.


Un saludo
Rodri

[LauraLopez]

Re: Ganancia y bode

Excelentes los pdf rodri! y entendi perfectamente, no sabia eso de que esta regla de los 3 dB era solo valida para el caso en que los polos o ceros estan muy separados, ahora sabiendo eso si lo que decis parece correcto y lo comprendo millones de gracias!!

[nature]

Re: Ganancia y bode

Una acotación para Rodri. En un mensaje anterior yo me habia topado ya con esta cuestion de las graficas con y sin corrección. Solo para añadir algo a tu entendimiento del asunto, te lo coloco:

...El diagrama se basa en hallar ganancia y como sabes eso se hace así:

$\dst 20\log\left| \frac{j\omega}{z} +1 \right|$

Entonces en mi libro (Circuitos Electronicos de Norbert Malik) dicen: "cuando $\omega \ll |z|$, la función vale 0dB; cuando $\omega \gg |z|$ entonces:"

$\dst 20\log\left| \frac{j\omega}{z} +1 \right| \to 20\log\left| \frac{j\omega}{z}\right|$

Por eso creo que aqui esta el problema de tener una grafica corregida y una sin corrección, esta grafica esta mala ya que hace esta asumpción y no queda bien definida para los valores $\omega \approx |z|$ ...