ejercicio Maxwell

[jo0000se]

Este post lo abro con la intención de intentar resolver este par de ejercicios... pero sobre todo, de entenderlos!!!!!!!!! Están en catalán, que nadie se me ofenda por ello, en caso de que no se entienda lo que propone el enunciado comentadlo y lo traduzco en un momento ;D.

Tengo en mente las ecuaciones de Maxwel... más o menos, el tema es que no soy capaz de interpretar cosas como el rotacional, la divergencia o la circulación sobre un gráfico (cómo puedo saber si es positiva, negativa o 0???), si alguien tiene tiempo y ganas de tratar de explicarlo, me haría un favor enorme.


P,D: Según voy viendo y si no he entendido mal, FEM = -d flujoB/dt que a su vez es = circulacion de E a lo largo de un camino cerrado... por otra parte, si la circulación de un campo vectorial es = 0 decimos que es conservativo... de aquí se desprende de algún modo que en presencia de un campo magnético que fluctua con el tiempo aparece un campo eléctrico no conservativo? Si no es así, que alguien me saque de mi error, por favor.


Gracias!!!

[pod]

Re: ejercicio Maxwell

Tengo en mente las ecuaciones de Maxwel... más o menos, el tema es que no soy capaz de interpretar cosas como el rotacional, la divergencia o la circulación sobre un gráfico (cómo puedo saber si es positiva, negativa o 0???), si alguien tiene tiempo y ganas de tratar de explicarlo, me haría un favor enorme.

Las interpretaciones gráficas son sencillas:

Divergencia: Es el flujo de lineas de campo que salen de una superficie cerrada infinitesimal centrada en el punto donde lo calculas. Es decir, si en un punto en concreto "salen" las mismas lineas de campo que "entran", la divergencia es cero. Si "salen" más de las que "entran", es positiva; si "entran" más que "salen", es negativa.

Rotacional: Está relacionado con la circulación. Por ejemplo, la componente x de la circulación es igual a la circulación a lo largo de un camino infinitesimal pero cerrado centrado en el punto y contenido en el plano OYZ (el perpendicular al a dirección OX). El sentido de integración será el dado por la regla de la mano derecha.

Fíjate como calculas una circulación: es la integral del campo producto escalar con el diferencial de arco. Por lo tanto, será positiva si durante la mayor parte del camino por el que integras el campo es más bien perpendicular al camino, será positiva.

Así, pues, una componente del rotacional será positiva si el campo en cuestión tiende a dar vueltas al rededor del punto en cuestión, en el sentido dado por la regla de la mano derecha.

P,D: Según voy viendo y si no he entendido mal, FEM = -d flujoB/dt que a su vez es = circulacion de E a lo largo de un camino cerrado... por otra parte, si la circulación de un campo vectorial es = 0 decimos que es conservativo... de aquí se desprende de algún modo que en presencia de un campo magnético que fluctua con el tiempo aparece un campo eléctrico no conservativo? Si no es así, que alguien me saque de mi error, por favor.

La variación del flujo puede venir por dos vías (que pueden darse independientemente, o a la vez):

1.- La variación del campo magnético: En este caso es óbvio que hay un campo eléctrico inducido.

2.- La variación de la superfície. En este caso, hay una cierta parte del camino de integración (la frontera de la superficie) que se mueve; y ahí entran en juego diferentes sistemas de referencia. Al cambiar de sistema de referencia, hay cierta parte del campo magnético que se convierte en eléctrico, y es lo que produce la FEM.

No se si habrás ya estudiado esa transformación de campo magnético a eléctrico en tu nivel. Viene de lo siguiente: sabes que la fuerza total sobre una carga viene dada por

$$\vec F = q \Big( \vec E + \vec v \times \vec B \Big) \ .$$

Si cambiamos a otro sistema de referencia que se mueve a cierta velocidad $\vec u$ del primero, de forma que $\vec v' = \vec v - \vec u$ es la velocidad de la carga medida en este nuevo sistema de referencia. Usando esto, la fuerza total pasa a ser

$$\vec F = q \Big( \vec E + \vec u \times B + \vec v' \times \vec B \Big) \ .$$

Fijate que en el egundo término no aparece la velocidad de la carga medida en ese sistema de referencia, por lo que no es un término "magnético". Uno puede definir un campo eléctrico nuevo $\vec E' = \vec E + \vec u \times \vec B$, y tenemos la fuerza escrita de la forma usual

$$\vec F = q\Big( \vec E' + \vec v \times \vec B \Big) \ .$$

Esto es lo que se llama transformación de Galileo del campo electromagnético. Es una buena aproximación cuando $u \ll c$. Para velocidades cercanas a la de la luz, hay que usar la relatividad especial de Einstein, que da una fórmula algo más complicada (donde también el campo magnético varía). Pero eso es otra historia.

[jo0000se]

Re: ejercicio Maxwell

Mi nivel no da para tanto, a decir verdad y como puedes ver soy bastante lentito, pero bueno, a ver si poco a poco consigo entender algo.


Veamos, siguiendo las pautas del primer ejercicio que he colgado:
Creo que veo más o menos el resto de apartados, pero no acabo de entender cómo sacar el rotacional (te dice, el rotacional, puede ser igual a 0? NI IDEA!!!) y por otra parte, qué implica exactamente que un campo magnético sea estacionario (que su derivada respecto al tiempo sea 0, pero en este ejercicio como podría relacionar esta serie de conceptos?).

Primer diagrama:
- en principio la divergencia es != 0 siempre -> flujo != 0, siendo divergencia algo así como el flujo / volumen, en principio divergencia != 0.
- el rotacional sigo sin verlo claro. !!!!!!!!!!!!!!!!!!
- puede corresponder a un campo electrostático ya que la circulación es 0 (linias de campo perpendiculares a los circulitos concéntricos que tomamos como camino.
- campo magnético fijo que no, ya que incumple una de las ecuaciones de Maxwell, la divergencia es != 0.

Segundo diagrama:
- para que el ejercicio de lo que debe, supongo que estoy obligado a decir que la divergencia es 0 porque entran las mismas lineas de campo que salen...
- el rotacional ??????????????????????
- campo electrostático seguro que no, ya que la circulacion no dará 0... no se muy bien con qué superfície justificar eso, pero tiene toda la pinta.
- Un campo magnético en principio sí que podría ser ya que cumple que la divergencia es 0

[pod]

Re: ejercicio Maxwell

Creo que veo más o menos el resto de apartados, pero no acabo de entender cómo sacar el rotacional (te dice, el rotacional, puede ser igual a 0? NI IDEA!!!)

El rotacional puede ser difícil de ver a simple vista, claro. Lo mejor que puedes hacer es imaginarte diferentes curvas cerradas fáciles, y ver si puede ser cero o no.

y por otra parte, qué implica exactamente que un campo magnético sea estacionario (que su derivada respecto al tiempo sea 0, pero en este ejercicio como podría relacionar esta serie de conceptos?).

No tiene nada que ver. El rotacional, divergencia y todo esto se calculan en un instante de tiempo fijo. En cada instante de tiempo podrían ser diferentes.

Primer diagrama:
- en principio la divergencia es != 0 siempre -> flujo != 0, siendo divergencia algo así como el flujo / volumen, en principio divergencia != 0.
- el rotacional sigo sin verlo claro. !!!!!!!!!!!!!!!!!!
- puede corresponder a un campo electrostático ya que la circulación es 0 (linias de campo perpendiculares a los circulitos concéntricos que tomamos como camino.
- campo magnético fijo que no, ya que incumple una de las ecuaciones de Maxwell, la divergencia es != 0.

De hecho, la divergencia será diferente de 0 si incluye el punto central. Imagínate un circuito de integración circular dibujado a un lado del diagrama: las líneas de campo lo atraviesan por completo: no hay ninguna que "nazca" o "muera" dentro. En cambio, si el circuito contiene el centro del diagrama, las lineas de campo nacen dentro y salen de él: la divergencia será positiva.

Tiene toda la pinta de tener el rotacional cero. Si imaginas un circuito circular centrado en el centro, todas las lineas son perpendiculares al camino de integración; el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero.

El resto pareces haberlo dicho bien.

Segundo diagrama:
- para que el ejercicio de lo que debe, supongo que estoy obligado a decir que la divergencia es 0 porque entran las mismas lineas de campo que salen...
- el rotacional ??????????????????????
- campo electrostático seguro que no, ya que la circulacion no dará 0... no se muy bien con qué superfície justificar eso, pero tiene toda la pinta.
- Un campo magnético en principio sí que podría ser ya que cumple que la divergencia es 0

Para el rotacional, imaginate un circuito de integración que recorra por ejemplo las cuatro flechas centrales. Claramente, la circulación en ese circuito no es cero. Por lo tanto, el rotacional no puede ser cero.

[jo0000se]

Re: ejercicio Maxwell

Estamos de acuerdo, con la divergencia me refería a si tomábamos el punto candidato a ser "fuente" del campo tratado dentro de la superfície estudiada... me explico peor que pienso, que ya es difícil . En fin, muchísimas gracias por todo (que ya me has sacado de varios apuros en varios posts) y a ver si doy menos guerra de ahora en adelante.

Gracias!!!