1r ciclo Campos que se generan en onda EM

[leo_ro]

En la demostración de las ondas electromagnéticas se parte de las ecuaciones de maxwell donde:

$\oint \vec{E} dl = \frac{\partial }{\partial t} \int \int \vec{H} d S$

Como se ve en la imagen es la circulación de $\vec{E}$ a lo largo de una trayectoria y $\vec{H}$ sería perpendicular al plano de la pantalla.



También la circulación de $\vec{H}$ en una trayectoria se genera por:

$\oint \vec{H} dl = \epsilon \frac{\partial }{\partial t} \int \int \vec{E} d S$

De esa manera se van generando los campo $\vec{E}$ y $\vec{H}$.

Como mostré en la figura anterior como está dada la circulación de $\vec{E}$ por la variación de $\vec{H}$ en el tiempo, en donde $\vec{H}$ en esa figura estaría apuntando hacia tu cara, de la misma manera ese vector $\vec{H}$ se genera por la variación del flujo de $\varepsilon \vec{E}$ en el tiempo. Pero si se toma una superficie como la que se muestra en la figura dada por un plano que corta a la trayectoria roja en la que circula el campo eléctrico.



El flujo sería cero ya que $\left\vert{} {\vec{E}}_{1} \right\vert{}= \left\vert{} {\vec{E}}_{2} \right\vert{}$ por lo que no habría circulación de $\vec{H}$. Y de la misma manera el problema está viendolo desde el punto de vista de la circulación de $\vec{H}$.

Pero sin duda yo lo estoy planteando mal ya que las ondas EM existen pero no veo como plantearlo en el análisis matemático al problema. Quizás me podrían dar una ayuda. Lo único que puede pasar es que $\left\vert{} {\vec{E}}_{1} \right\vert{} \neq \left\vert{} {\vec{E}}_{2} \right\vert{}$ Pero en las ecuaciones de maxwell no está explícito eso, es más ni se lo especifica.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Lo único que se me ocurre es que la trayectoria de integración no sea una circunferencia sino de una forma diferente. El resnick vol. 2 lo plantea como un rectángulo pero no sé porqué se daría esa restricción.

[Rodri]

Re: Campos que se generan en onda EM

Lo que pasa es que estás usando las ecuaciones de Maxwell en su forma integral pero solo defines el campo eléctrico en una circunferencia concreta del espacio. Realmente tendrías que definirlo en todo el espacio para deducir el campo magnético a partir de él. Por eso lo habitual es partir de las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial, es decir, como relaciones entre rotacionales y divergencias de los campos E, H y sus derivadas temporales para cada punto del espacio.

Saludos
Rodri

[leo_ro]

Re: Campos que se generan en onda EM

Pero fijate que aunque escribí las ecuaciones de maxwell en forma integral, a los gráficos los representé en su forma diferencial porque

$\dst \nabla \times \vec{H} . \hat {n}= \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \hat{n} =\displaystyle\lim_{A \to 0}{} \frac{1}{A } {\oint}_{C} \vec{H} d l$

En donde $\hat{n}$es el vector normal al plano de $\vec{H}$,$C$ es la curva frontera de la superficie $A$. Teniendo en cuenta que el área de la superficie tiende a cero. Graficamente sería



Eso es lo que es una circulación de $\vec{H}$ sobre $C$, que es el contorno de una región cuya área tiende a cero. Tomando un espacio mayor sería un conjunto de estas circunferencia, cada una con mayor radio pero en donde los vectores disminuyen con la distancia al centro (que es relativo según donde tomes el centro.

Pero al parecer para la onda EM tiene esta forma



En donde la superficie sería rectangular, porque en un semiciclo todos los vectores $\vec{H}$apuntan en la misma dirección a diferencia de lo que sería una trayectoria circula. En los lados menores del rectángulo no dibujé los campos porque como son de sentido opuestos y tomando un recorrido de $C$ positivo se anulan, Y en los lados mayores $\left\vert{} {\vec{H}}_{1} \right\vert{}>\left\vert{} {\vec{H}}_{2} \right\vert{}$ Por lo que no se cancelan sino que la circulación sería:

${\oint}_{C} \vec{H} d l = {{\oint}_{C1} \vec{H}}_{1} dl - {\oint}_{C} {\vec{H}}_{2} d l>0$

Ahora si el flujo de $\vec{H}$ sobre la superficie $S$ como se muestra en la figura es diferente de cero.



Y al variar $\vec{H}$ no solo en el espacio sino también en el tiempo la variación del flujo de este es diferente de cero y genera al vector $\vec{E}$ en la dirección como está en los dos gráficos anteriores.

Pero en las ecuaciones de maxwell como dije antes no está explicito que la región de integración es de una forma determinada. Aunque pudiendo ser que los vectores $\vec{H}$ en la circunferencia del primer gráfico tengan diferentes módulos. ¿Es así? ¿hay alguna razón de porque la circulación tenga una forma rectangular o cuadrada y no una circulación circular?
Por ejemplo en el video de las ecuaciones de maxwell del universo mecánico (min 16 y minuto 21:46) cuando se define la circulación o la generación de un campo por la variación del flujo del otro, a esa circulación se la toma como circular. http://www.youtube.com/watch?v=_ry2wNgY3Oo