Otras carreras Problema propuesto.

[Wolkuz]

Hay un disco con un espesor pequeño de un radio R, este está cargado uniformemente con una densidad de carga $\sigma( \frac{C}{{m}^{2 } })$. Se pide calcular el potencial escalar V en un punto de la periferia del disco.

Saludos.

[Al2000]

Re: Problema propuesto.

Intenta lo siguiente... Haciendo centro en un punto en el borde del disco de radio $R$, traza un arco circular de radio $r$ y grosor $dr$. El potencial que produce este arco en el punto de interés es $\dst dV = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {dq} r$, expresión que puedes integrar para cubrir todo el disco una vez que halles la relación entre $dq$ y $r$.

He sacado unas cuentas aquí rapidito y si no me he equivocado (cuestión mas frecuente de lo que desearía), el resultado es $\dst V = \frac {\sigma R}{2 \pi \epsilon_0}$. Yo lo resolví usando el semi-ángulo que subtiende el arco del diferencial de carga.

Saludos,

Al

[pod]

Re: Problema propuesto.

Para hacer lo que dice Al quizá te ayude saber que el triángulo cuyo lado más largo es el diámetro de una circunferencia (longitud 2R) y su tercer vértice está sobre la circunferencia siempre es rectángulo (y el ángulo recto es justamente el del tercer vértice). Eso te ayudará a sacar la relación entre el semi ángulo que subtiende el arco y su radio. Te debería salir algo como $\cos\theta = r / 2R$.

[Wolkuz]

Re: Problema propuesto.

Me queda $\frac{\sigma R}{2{\varepsilon}_{0 } }$

Me tome un $ds = 2 r \cos(\theta) d\theta dr$ siendo $\cos(\theta) = \frac{r}{2R }$

¿No se si estoy en lo correcto?

[pod]

Re: Problema propuesto.

Me queda $\frac{\sigma R}{2{\varepsilon}_{0 } }$

Me tome un $ds = 2 r \cos(\theta) d\theta dr$ siendo $\cos(\theta) = \frac{r}{2R }$

¿No se si estoy en lo correcto?

Yo diría que el asunto va así:

$$V = \frac1{4\pi\epsilon_0} \int_0^{2R}\!\!\dd r\ r\ 2\int_0^{\arccos(r/2R)}\!\!\! \dd\theta\ \frac{\sigma}{r} .$$

El dos ante la segunda integral viene de la parte inferior de la región de integración (alternativamente, podíamos haber puesto un límite inferior negativo sin separar el dos explícitamente, sería lo mismo). La integral angular es inmediata. La integral radial se puede hacer por partes (integrando el $\dd r$ y derivando el arcocoseno, por ejemplo). A mi me sale $V = \sigma R / \pi \epsilon_0$. Es decir, lo mismo que Al excepto un factor 2.

[Wolkuz]

Re: Problema propuesto.

Muchas gracias a los dos.


Saludos.

[Al2000]

Re: Problema propuesto.

A diferencia del cálculo de pod haciendo una integral doble, mi planteamiento fue una integral simple, dividiendo el disco en arcos circulares. Al hacer el cálculo olvidé que el ángulo que usaba era el semiángulo de arco y escribí que $dq = \sigma (r \theta\, dr)$ en lugar de lo correcto, $dq = \sigma (2 r \theta\, dr)$. De allí la discrepancia en el factor 2 entre ambos resultados. De todas maneras, y por si te resulta de interés, te pongo el cálculo:

$$r = 2 R \cos \theta \quad \Rightarrow \quad dr = - 2 R \, \mathrm {sen} \, \theta \, d \theta$$

$$dq = \sigma \, dA = \sigma \cdot 2 r \theta \, dr = - 8 \sigma R^2 \theta \, \mathrm {sen} \, \theta \cos \theta \, d \theta$$

$$V = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int \frac {dq} r = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{\pi /2}^{0}\!\! \frac {- 8 \sigma R^2 \theta \, \mathrm {sen} \, \theta \cos \theta \, d \theta}{2 R \cos \theta} = \frac {\sigma R}{\pi \epsilon_0} \int_{0}^{\pi/2}\!\! \theta \, \mathrm {sen} \, \theta \, d \theta = \frac {\sigma R}{\pi \epsilon_0}$$

Saludos,

Al