1r ciclo Comprobacion Matematica Ley de Coulomb

[mk2]

Buenas! Recurro nuevamente al foro en busca de ayuda

Estoy viendo un gráfico de como varia la fuerza electrostática en función de la distancia, mientras mantengo constantes las cargas de 2 esferas.

Mi duda es como a partir de este gráfico, rectificando, se llega a que la fuerza es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. $F$$\propto1/d^2$
Se que se puede rectificar usando el método de ensayo y error con, por ejemplo, ecuaciónes del tipo $F=kd^n$ o $F=kn^-d$ aplicando logaritmos a las igualdades y en la que resulta una recta, es la correcta. Pero no se bien como se hace.
Si alguien pudiera ayudarme se lo agradecería mucho.

Saludos!

[InesIncinerate]

Re: Comprobacion Matematica Ley de Coulomb

¡Hola! No conocía el origen de la determinación de la fuerza electrostática, así que he investigado un poco y he llegado a la siguiente anécdota:

Coulomb mismo inventó la balanza de torsión, con la que logró determinar las propiedades de la fuerza electrostática. Esta balanza la conforma una barra que cuelga de una cuerda capaz de torcerse. Si la barra gira, la cuerda estirará de ella con una cierta fuerza (la de torsión) para que vuelva a su posición original, y conociendo esta fuerza que la cuerda hace sobre la barra, será posible calcular la fuerza ejercida en cualquier punto de la misma barra.

Coulomb puso una pequeña esfera cargada en la barra y a continuación fue colocando otra esfera cargada a diversas distancias. Luego midió la fuerza entre ellas anotando el ángulo con el que giraba la barra.

Este experimento le permitió determinar que la fuerza entre dos cargas es proporcional a la magnitud de las mismas, y que si la distancia entre las cargas es r, al duplicarla, la fuerza de interacción disminuía en un factor de 2²; al triplicarla, disminuía en un factor de 3², y así sucesivamente. Supongo que a partir de esas pruebas fue generando el gráfico que adjuntas, y al observarlo dedujo que la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Usando la misma lógica, deberías poder llegar al resultado.

Y por el procedimiento matemático esto también es demostrable para cualquier campo central. Está claro que el campo electrostático es uno de ellos, ¿verdad? pues cuanto más te acercas a la carga en cuestión que lo genera (sea por el lado que sea), más intensidad experimentas, o mayor es la densidad de carga.

Para un espacio donde existe tal densidad de carga $\rho$ tenemos (desarrollando la ley de Gauss):

$\nabla E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Y puesto que los campos centrales por definición son conservativos, podemos reescribirlos como el gradiente de un potencial: $E=- \nabla V$

O, sustituyendo: $\nabla (- \nabla V) = -\nabla \nabla V = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

El operador $\nabla \nabla$ se llama operador Laplaciano y se escribe como $\nabla^2$

Entonces,

$\nabla^2 V = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$, y en las zonas donde no hay densidad de carga: $\nabla^2 V = 0$. Esta última es la ecuación de Laplace, y si la reescribimos en coordenadas esféricas generalizándola a un espacio de n dimensiones:

$\frac{1}{r^{n-1}} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^{n-1}\frac{\partial V(r)}{\partial r} \right) = 0$

y resolvemos la ecuación aislando V(r):

$V(r) = \frac{K Q}{r^{n-2}}$

Donde K es la constante característica del campo y Q la carga total de la fuente que origina el campo.
Como tenemos una fuerza conservativa, se cumplirá que su valor es igual al gradiente del campo escalar del que deriva, con signo negativo. Así que:

$\mathbf{F}(r)= -\mathbf{\nabla}V(r)= -\frac{K Q(n-2)}{r^{n-1}}\mathbf{\hat r}$

Y como nosotros vivimos y nos movemos en un espacio tridimensional, el campo de fuerzas vendrá dado por:

$\mathbf{F}(r)= -\mathbf{\nabla}V(r) = \frac{K Q}{r^{2}} \mathbf{\hat r} \qquad \mbox{, con} \qquad Q = \frac{1}{K} \int_{Volumen(r)} \rho dV$. Es decir, la densidad de carga total del volumen considerado.

Así concluimos que un campo central (con simetría esférica) definido por el potencial, para un espacio en 3D deberá decrecer según la ley inversa del cuadrado.

[mk2]

Re: Comprobacion Matematica Ley de Coulomb

Muchas gracias por tu respuesta!
Estuve intentando entender tu respuesta, pero carezco del concepto de gradiente y campo central.... Aunque creo fue mi problema pues puse de titulo comprobacion matematica
¿No sabrás explicarmelo de una forma mas sencilla u otro modo?

De ante mano muchas gracias!

[Breogan]

Re: Comprobacion Matematica Ley de Coulomb

Hola:

Creo interpretar que lo que preguntas es como se transforma la curva de la fuerza eléctrica en función de la distancia en una recta.

Cuando usas la balanza de torsión se obtiene una serie de puntos (F ; d) que describen la curva que vos dibujas, pero si de estos mismos puntos tomamos el logaritmo y lo que graficamos son los puntos (ln F ; ln d), lo que se obtiene es una recta con pendiente negativa y que no pasa por el origen.

De esta forma lo que se obtiene es:

$\dst log F = c_1 -c_2 \ log \ d$

donde c₁ y c₂ son constantes positivas

que se puede escribir como:

$\dst log F = log \ c'_1 -c_2 \ log \ d$ donde $c_1 = log \ c'_1$

por propiedades de los logaritmos tenemos:

$\dst log F = log \ c'_1 + \ log \ d^{-c_2}$

$\dst log F = \ log \left[\ c'_1 \ d^{-c_2} \right]$

si aplicamos antilogaritmos quedara:

$\dst F = c'_1 \ d^{-c_2}$

y así se llega a la expresión de la fuerza electrostática.

Creo!!

Suerte

[mk2]

Re: Comprobacion Matematica Ley de Coulomb

Eso era lo que yo queria! Muchisimas gracias, duda respondida (: