1r ciclo Problema dos cilindros

[davinci]

¡Buenas forer@s!

El apartado de un problema dice: Sea una distribución de carga de densidad constante $\dst\rho$ contenida en un cilindro indefinido de radio $\dst{R}_{1}$ que tiene una cavidad cilíndrica, también indefinida, de radio $\dst{R}_{2}$. Los ejes del primer cilindro y del segundo distan $\dst d$. Calcular el campo eléctrico en el interior de la cavidad.

Lo que hice:

Aplicamos teorema de Gauss y superposición: Primero se calcula el campo del primer cilindro: $\dst\iint\vec{E}\vec{ds}={\iint}_{lateral}E ds \cos0 + {\iint}_{base}E ds \cos90$$\dst=E 2 \pi {{R}_{1}}^{2}$*

$\dst\frac{q}{{\varepsilon}_{0} } =\frac{\rho 4 \pi {{R}_{1}}^{3}}{3 {\varepsilon}_{0} }$ ; $\dst {E}_{cilindro} = \frac{\rho 2 {{R}_{1}}^{3}}{3 {{R}_{1}}^{2} {\varepsilon}_{0} }$$=\dst\frac{2 \rho {R}_{1}}{3 {\varepsilon}_{0} }$

Ahora en la cavidad (donde tengo dudas de si lo planteé bien): Seguí el mismo desarrollo que en el interior, salvo que al final en lugar de ser el radio sub 1 el elevado al cuadrado, puse el radio sub 2 (el de la cavidad).

$\dst \frac{q}{{\varepsilon}_{0} } = \frac{\rho 4 \pi ({R}_{1}-d)^3}{3 {\varepsilon}_{0} }$ ; $\dst {E}_{cavidad} = \frac{2 \rho ({R}_{1}-d)^3}{3 {\varepsilon}_{0} {{R}_{2}}^{2} }$

Por superposición sumo ambos campos y obtengo: $\dst {E}_{total} = \frac{2 \rho}{3 {\varepsilon}_{0} } [{R}_{1} + \frac{({R}_{1}-d)^3}{{{R}_{2}}^{2} }]$

¿Cómo lo veis?

*La primera doble integral, sé que es sobre una superficie cerrada, y por tanto debería tener el circulito.

[Al2000]

Re: Problema dos cilindros

Te puntualizo algunos errores que cometes:

...
Aplicamos teorema de Gauss y superposición: Primero se calcula el campo del primer cilindro: $\dst\iint\vec{E}\vec{ds}={\iint}_{lateral}E ds \cos0 + {\iint}_{base}E ds \cos90$$\dst=E 2 \pi {{R}_{1}}^{2}$*
...

El área lateral de la superficie gaussiana es $2 \pi r h$, donde $0 < r < R_1$ es el radio de la superficie gaussiana y $h$ es su altura. La idea es poder determinar el campo en puntos interiores al cilindro de carga para su uso posterior en el cálculo.

...
$\dst\frac{q}{{\varepsilon}_{0} } =\frac{\rho 4 \pi {{R}_{1}}^{3}}{3 {\varepsilon}_{0} }$ ; $\dst {E}_{cilindro} = \frac{\rho 2 {{R}_{1}}^{3}}{3 {{R}_{1}}^{2} {\varepsilon}_{0} }$$=\dst\frac{2 \rho {R}_{1}}{3 {\varepsilon}_{0} }$
...

Estás usando el volumen de una esfera y no quiero ni preguntarte cómo se te ocurrió eso. El volumen a usar es el volumen encerrado por el cilindro gaussiano, $\pi r^2 h$. Al hacer las operaciones deberás obtener que el campo en el interior del cilindro vale $\dst E = \frac {\rho r}{2 \epsilon_0}$. Este campo es radial y es preferible manejarlo en forma vectorial para el cálculo posterior: $\dst \boldsymbol E = \frac {\rho r}{2 \epsilon_0}\, \boldsymbol u_r = \frac {\rho \boldsymbol r}{2 \epsilon_0}$.

...
Ahora en la cavidad (donde tengo dudas de si lo planteé bien): Seguí el mismo desarrollo que en el interior, salvo que al final en lugar de ser el radio sub 1 el elevado al cuadrado, puse el radio sub 2 (el de la cavidad).

$\dst \frac{q}{{\varepsilon}_{0} } = \frac{\rho 4 \pi ({R}_{1}-d)^3}{3 {\varepsilon}_{0} }$ ; $\dst {E}_{cavidad} = \frac{2 \rho ({R}_{1}-d)^3}{3 {\varepsilon}_{0} {{R}_{2}}^{2} }$

Por superposición sumo ambos campos y obtengo: $\dst {E}_{total} = \frac{2 \rho}{3 {\varepsilon}_{0} } [{R}_{1} + \frac{({R}_{1}-d)^3}{{{R}_{2}}^{2} }]$
...

El campo en la cavidad lo obtienes restando al campo del cilindro macizo el campo que produce el cilindro removido para hacer la cavidad. La idea es que, por superposición:

Campo_del_cilindro_macizo = Campo_del_cilindro_con_un_hueco + Campo_producido_por_la_carga_removida

De manera que el campo en un punto en el interior del hueco, a la distancia $\boldsymbol r$ respecto del eje del cilindro macizo y a la distancia $\boldsymbol r'$ del hueco, vale:

$$\boldsymbol E = \frac {\rho \boldsymbol r}{2 \epsilon_0} - \frac {\rho \boldsymbol r'}{2 \epsilon_0} = \frac {\rho \boldsymbol d}{2 \epsilon_0}$$

Revisa aquí en el foro hacia atrás, que el problema aparece recurrentemente.

Saludos,

Al

[davinci]

Re: Problema dos cilindros

Lo del volumen de la esfera me salió de forma mecánica (llevaba varios ejercicios con esferas hechos), y lo puse sin darme cuenta completamente distraído. El problema sí que aparecía recurrentemente en el foro, sí... Pero lo cierto es que me extrañaba que no me diese lo mismo.

- - - Actualizado - - -

En otro problema me dicen que dos distribuciones de cargas esfericas y concentricas, una maciza de R y densidad rho positiva (que es la interior) y otra hueca de densidad rho negativa y de radios R1:1,5R y R2:2R (que supongo son el espesor de la esfera hueca. Me piden hallar el campo en todos los puntos y cuando me pongo a hallar el campo cuando r esta comprendida entre R1 y R2 pongo que el radio del volumen de la carga total es (r-R1)^3 donde r determina donde calculo el campo. Aun asi me dicen que seria (r^3-R1^3) y no acabo de decidirme cual esta bien. Gracias de antemano