1r ciclo Duda sobre la ley de Gauss

[Egroj]

Hola, tengo una duda sobre la ley de Gauss en la forma

$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_o}$

Entiendo la deducción. Pero el resultado no me cuadra. Supongo que $\vec{\nabla} \cdot \vec{E}$ queda como una función escalar dependiente de la posición. Y supongo que $\rho$ es una función de la posición también. Pero me parece imposible que la igualdad se pueda cumplir en cualquier punto del espacio. Porque en un punto del espacio puede haber un campo pero no haber carga. De forma que la segunda parte de la igualdad valdría 0.

Además, si pongo por ejemplo una carga Q en un punto del espacio, puedo calcular el campo que esa carga produce y su divergencia en cualquier punto del espacio. Si no he metido la pata, obtengo:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^{3}}$

Y obviamente esta expresión no es igual a $\frac{\rho}{\epsilon_o}$ en cualquier punto del espacio.

¿Dónde me estoy equivocando? Tanto tiempo que llevo utilizando la ley de Gauss y cuando me he puesto a intentar comprenderla bien vaya lío...

[[Beto]]

Re: Duda sobre la ley de Gauss

Entiendo la deducción. Pero el resultado no me cuadra. Supongo que $\vec{\nabla} \cdot \vec{E}$ queda como una función escalar dependiente de la posición. Y supongo que $\rho$ es una función de la posición también. Pero me parece imposible que la igualdad se pueda cumplir en cualquier punto del espacio. Porque en un punto del espacio puede haber un campo pero no haber carga. De forma que la segunda parte de la igualdad valdría 0.

Olvidas que esa expresión es válida en un contorno no en un punto, y la densidad de carga que aparece en la ley de Gauss es justamente la asociada a la carga que se encuentra contenida en el interior del contorno.

Y sobre lo otro que indicas debes de tener algún error ya que

$$\nabla\cdot \left(\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec r}{r^3}\right)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\nabla\cdot\left(\frac{\vec r}{r^3}\right)=\frac{q}{\cancel{4\pi}\epsilon_0}\cancel{4\pi}\delta(\vec r)=\frac{q\delta(\vec r)}{\epsilon_0}=\frac{\rho(\vec r)}{\epsilon_0}$$

[Egroj]

Re: Duda sobre la ley de Gauss

Vale, ya entendí el error. Bastante obvio... Y el otro problema era que me estaba dejando la delta de Dirac.

Muchas gracias