1r ciclo Campo Electrico Cascaron Esferico

[MoiLeiva]

Un cascarón esférico con radio interior a y radio exterior b con densidad volumétrica
de carga \rho=3Q/[4pi(b^3-a^3)], , contiene en su centro una carga puntual –Q’, tal y como muestra la figura

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Calcular campo electrico en r<a,a<r<b y b<r. Muchas Gracias.

[angel relativamente]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

¿Cuál es tu duda MoiLeiva?

[MoiLeiva]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

Calcular campo electrico en r<a,a<r<b y b<r. Muchas Gracias. Esa es mi duda angel relativamente.

[oscarmuinhos]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

Hola MoiLeiva
La distribución de carga tiene simetría esférica. Podrás, pues, aplicar el teorema de Gauss para calcular en campo.

$\dst \oint \vec{E}.\vec{dS} = \frac{{Q}_{encerrada }}{\varepsilon}$

Empiezas tomando unha esfera de radio r concéntrica con el cascarón y que pase por el punto donde quieres calcular el campo

Por simetría el primer miembro de la ecuación anterior es de fácil integración:

$\dst \oint \vec{E}.\vec{dS} = E.4\pi . r^2= 4 \pi . r^2 . E$

Para el segundo miembro:

Para r < a, la carga encerrada es la carga de la partícula colocada en el centro de la esfera;

Para a < r < b, la carga encerrada es la carga colocada en el centro del cascarón esférico más la parte de carga del cascarón comprendida entre r=a y r = r y que has de calcular con la integral

$Q = \dst \oint_V \rho.dV$ que siendo $\rho$= constante es de integración inmediata;

para r > b, la carga encerrada dentro de la superficie de Gauss, es la carga situada en en centro de la esfera más toda la carga del cascarón que se calcula igual que la del apartado interior.

Si algo no sale vuelve a preguntar...

En la ecuación del teorema de Gauss, tienes que tomar la constante dieléctrica $\varepsilon$ que corresponda al medio en el que estás calculando el campo.

[MoiLeiva]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

Entonces si:
Si r<a:
[FONT=Helvetica Neue]∫[/FONT][FONT=Helvetica Neue]∫E.dS=Qencerrada/[/FONT][FONT=Helvetica Neue]εo;

E.4[/FONT][FONT=arial]πr^2=-Q`/[/FONT][FONT=Helvetica Neue]εo

E=[/FONT][FONT=arial]-Q`/[/FONT][FONT=Helvetica Neue]εo[/FONT][FONT=Helvetica Neue].4[/FONT][FONT=arial]πr^2

¿Asi seria el primer caso? Gracias.[/FONT]

[oscarmuinhos]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

Efectivamente

[MoiLeiva]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

¿ Y cuanto daria el campo en la parte de a<r<b y b<r? Esas son mis dudas, si me las pudierais resolver matematicamente. Muchas Gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

solo queda, paca cada uno de los casos, calcular la carga encerrada dentro de la superficie esférica de Gauss que corresponda tomar

a <r <b:

Se toma una esfera concéntrica con el cascarón de radio r:
La carga encerrada dentr de esta esfera será la carga -Q' colocada en el centro de la esfera más la parte de carga del cascarón comprendida entre r = a y r = r:

$\dst Q = \oint_V \rho . dV = \rho \oint_V . dV = \rho . V = \frac{3Q}{4\pi.(b^3-a^3)}. \frac{4}{3 }.\pi (r^3 - a^3) = \frac{Q}{(b^3 - a^3) }. (r^3 - a^3)$

Por lo tanto, el campo E:

$\dst E =\frac{Q}{4.\pi . \varepsilon.(b^3 -a^3) }.\frac{(r^3 - a^3)}{r^2 } - \frac{Q'}{4.\pi . \varepsilon. r^2 }$

b < r:

Se toma una esfera concéntrica con el cascarón y de radio r > b.
La carga encerrada dentro de esta esfera de radio r será la carga Q' del centro de la esfera más la carga toda que hay en el cascarón:

$\dst Q = \oint_V \rho . dV = \rho \oint_V . dV = \rho . V = \frac{3Q}{4\pi.(b^3-a^3)}. \frac{4}{3 }.\pi (b^3 - a^3) = Q$

Por lo tanto el campo será:

$\dst E = \frac{Q}{4\pi.\varepsilon_0 }.\frac{1}{r^2 } -\frac{Q'}{4\pi.\varepsilon_0 }.\frac{1}{r^2}$

Entiendes los cálculos en cada paso?

[MoiLeiva]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

Esta formula como sale, ese signo negativo no lo entiendo, ¿me lo puedes explicar? Muchas Gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

a < r < b

Volvemos al teorema de Gauss:

$\dst \oint_S \vec{E}.\vec{dS} = \frac{{Q}_{encerrada }}{\varepsilon}$

Haciendo la integración del primer miembro sobre una superficie de Gauss de radio r se obtiene: $\dst \oint_S \vec{E}.\vec{dS} = 4\pi . r^2. E$.

(necesitas explicación de esta integración?)

Sabemos por lo tanto que: $\dst \oint_S \vec{E}.\vec{dS} = 4\pi . r^2. E = \frac{Q_{encerrada}}{\varepsilon }$

Se necesita calcular pues la carga encerrada dentro de esa superficie de radio a < r < b.

Por una parte tenemos la carga -Q' en el centro del cascarón esférico.

Y nos queda calcular la parte de carga contenida en el cascarón esférico que va desde r =a hasta r = r:

Para esto, es para lo que hacemos la integral

$\dst \oint_V \rho . dV = \rho .\oint_V.dV = \rho.V$ (la densidad de carga que te dan es constante por eso se saca de la integral)

Puesto que el volumen de la esfera es $\dst V_e = \frac{4}{3 }.\pi.r^3$, el volume del cascarón que va desde r= a hasta r=r será: $\dst V = \frac{4}{3 }.\pi.r^3 - \frac{4}{3 }.\pi.a^3 = \frac{4}{3 }.\pi.(r^3-a^3)$

y por lo tanto la carga contenida en esta parte del cascarón será $\dst Q_r = \rho . V = \frac{3Q}{4\pi.(b^3 - a^3)}.\frac{4}{3 }.\pi.(r^3-a^3) = \frac{Q}{(b^3 - a^3)}.(r^3-a^3 )$

La carga encerra dentro de esa superficie esférica de radio r, será por tanto $Q_{encerrada} = Q_r - Q'$ (el signo "-" de $Q'$ por ser una carga negativa), con lo cual:

$\dst 4\pi . r^2. E =\dst \frac{Q_r - Q'}{\varepsilon } =\dst \frac{\frac{Q}{(b^3 - a^3)}.(r^3-a^3 ) - Q'}{\varepsilon }$.

De esta ecuación despejando E se llega a la ecuación por la que preguntas

$\dst . E =\dst \frac{Q_r - Q'}{\varepsilon } =\dst \frac{\frac{Q}{(b^3 - a^3)}.(r^3-a^3 ) - Q'}{4\pi . r^2 \varepsilon }= \dst \frac{Q}{4.\pi . \varepsilon.(b^3 -a^3) }.\frac{(r^3 - a^3)}{r^2 } - \frac{Q'}{4.\pi . \varepsilon. r^2 }$

¿He conseguido aclarar tus dudas?

[MoiLeiva]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

Y el potencial electrico en cada punto del espacio para r<a, a<r<b y b<r. Muchas gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

Y el potencial electrico en cada punto del espacio para r<a, a<r<b y b<r. Muchas gracias.

Por la definición de potencial: $\dst \vec E = - \vec{grad}\ \phi$.
Y tratándose de una simetría esférica como la de este enunciado, al solo tener una componente radial que varia con el radio, se tiene que

$\dst E = -\frac{d \phi}{dr}.$

Así pues, solo tienes que integrar respecto al radio $r$ el campo que has obtenido para cada una de las regiones y tendrás el potencial en cada una de dichas regiones.

[MoiLeiva]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

¿Como seria las respectivas soluciones matematicamente por favor? Para r<a, a<r<b y b<r. Muchas gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

Hola MoiLeiva.
Discúlpame porque en el post anterior a pesar de escribir bien la ecuación para calcular el potencial, lo dije después mal, pues dije derivar cuando debiera haber dicho integrar.

si se tiene que $dE =- \frac{d \phi}{dr }$, de aquí resulta: $d\phi = - E.dr$ y, por lo tanto,

$\phi = - \int E .dr$

Como tienes el campo en función del radio r en cada una de las regiones, solo tienes que hacer para cada región la integración anterior.

Debe de salirte. Inténtalo un poco

[MoiLeiva]

Re: Campo Electrico Cascaron Esferico

Que va es que no me sale el resultado, y me juego 1,5 puntos en el examen de Fisica II de Ingenieria Electrica. Si pudieras exponermelo como el campo electrico, las formulas y resultados en los tres casos para r<a, a<r<b y b<r. Muchas gracias, me juego mucho de verdad, gracias.