1r ciclo Hilo Semi-Infinito de Carga

[MoiLeiva]

Campo eléctrico generado por una línea semi-infinto de carga y densidad lineal de carga λ constante

[gdonoso94]

Re: Hilo Semi-Infinito de Carga

Esto está resuelto en cualquier libro de física general... ¿Te has molestado en leer alguno?

Saludos.

[MoiLeiva]

Re: Hilo Semi-Infinito de Carga

He encontrado el infinito y el finito, pero el semi-infinito no se como se resuelve, logicamente. Sino no pediria ayuda. Muchas Gracias.

[[Beto]]

Re: Hilo Semi-Infinito de Carga

He encontrado el infinito y el finito, pero el semi-infinito no se como se resuelve, logicamente. Sino no pediria ayuda. Muchas Gracias.

Si tienes esos modelos de ejercicios, lo único que tienes que hacer es cambiar el límite de integración, e intenta hacer un cambio de variable de modo que te quede una integral trigonométrica.

PISTA: Puedes usar el ángulo que forma el vector diferencial de campo con la horizontal para facilitar la solución del ejercicio.

... inténtalo y si no sale cuéntanos que hiciste y te damos una mano.

[MoiLeiva]

Re: Hilo Semi-Infinito de Carga

No me sale, el infinito y el finito si, pero este no. Muchas Gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Hilo Semi-Infinito de Carga

Si ha mirado y entendido como se calcula el campo de un hilo finito este es exactamente lo mismo con solo cambiar los límites de la integración como te ha dicho ya Beto
Sobre la figura siguiente...

Para calcular el campo en un punto como el de la figura, a una distancia a del hilo cargado, empezamos tomando sobre el hilo un elemento de carga $dq$ y calculamos su campo $d\vec{E}$. Para tener el campo debido a todo el hilo habrá que sumar (principio de superposición) el campo creado en dicho punto por cada uno de los elementos dq de carga, es decir habrá que hacer la suma integral:
El campo creado por un elemento de carga, se calcula lo mismo que para una carga puntual:

$\dst d\vec{E} =\frac{1}{4\pi.\varepsilon_0 }.\frac{dq}{r^2 }.\vec {u}_r$

Para sumar vectores, se suman las componentes de esos vectores; por lo tanto, para hacer la suma integral de estos campos, habrá que descomponer el vector $d\vec{E}$.

Por la figura es fácil de ver que: $\dst dE_x = dE.cos \theta$ y $\dst dE_y = -dE.sen \theta$

Empezamos por hacer la suma integral de $dE_x$:

$\dst E_x = \int dE_x = \int dE.cos \theta = \int\frac{1}{4\pi.\varepsilon_0 }.\frac{dq}{r^2 }.cos \theta$ (1)

Para resolver esta integral, habrá que poner todas las variables en función de solo una de ellas y elegimos como variable el ángulo $\theta$

variable r: $r. cos \theta = a$, de donde $\dst \frac{1}{r } = \frac{cos \theta}{a}$ e $\dst \frac{1}{r^2}= \frac{cos^2\theta}{a^2}$

variable dq: $dq = \lambda. dy$

variable y: $y = a.tan \theta$, de donde $\dst dy = \frac{a}{cos^2 \theta }.d\theta$

Con estos cambios de variable, la suma integral (1) queda:

$\dst E_x = \frac{\lambda}{4\pi.\varepsilon_0}\int \frac{cos^2\theta}{a^2}.\frac{a}{cos^2\theta}.cos \theta. d\theta =\frac{\lambda}{4\pi.\varepsilon_0}\int \frac{cos\theta}{a}.d \theta = \frac{\lambda}{4\pi.\varepsilon_0. a}\int cos\theta.d \theta$

Esta integración es inmediata

$\dst E_x = \frac{\lambda}{4\pi.\varepsilon_0. a}. [sen \theta]$

y solo quedará poner los límites de la integración para que la suma se extienda a todo este hilo semiinfinito. Es fácil ver que para extender la suma desde $y = - \infty$ hasta $y = L$ el ángulo $\theta$ habrá de empezar en $\theta = \pi/2$ y acabar en $\dst sen \theta = \frac{L}{\sqrt{a^2 + L^2} }$


Y finalmente,

$\dst E_x = \frac{\lambda}{4\pi.\varepsilon_0. a}\left(\frac{L}{\sqrt{L^2 + a^2} } + 1 \right)$


Creo que con este desarrollo detallado, tu mismo puedes afrontar sin problema alguno la integración de $dE_y$ para obtener $E_y$

Animo

[MoiLeiva]

Re: Hilo Semi-Infinito de Carga

dEy no seria cero, ya que en el punto P el campo solo depende en el eje ?

[oscarmuinhos]

Re: Hilo Semi-Infinito de Carga

No es cero porque la distribución de carga de este hilo semiinfinito no es simétrica respecto al punto en que calculas el campo

[MoiLeiva]

Re: Hilo Semi-Infinito de Carga

Entonces si que no me sale, como seria, me la podrias explicar como la anterior. Muchas Gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Hilo Semi-Infinito de Carga

NOTA INICIAL: SE ME HA ESCAPADO ESCRIBIR $\lambda$ EN EL POST ANTERIOR. Ya lo he corregido

El procedimiento es el mismo

$\dst E_y = -\int dE_y = -\int dE.sen \theta = -\int \frac{1}{4\pi.\varepsilon_0 }\frac{dq}{r^2}.sen \theta$

Con los mismos cambios de variable que utilizamos antes.

$\dst E_y = -\frac{1}{4\pi.\varepsilon_0 }\int \frac{dq}{r^2}.sen \theta= -\frac{1}{4\pi.\varepsilon_0 }\int \frac{\lambda.dy}{r^2 }.sen \theta = -\frac{\lambda}{4\pi.\varepsilon_0 }\int \frac{a}{cos^2 \theta}.\frac{cos^2 \theta}{a^2 }.sen \theta.d \theta$ =$\dst -\frac{\lambda}{4\pi.\varepsilon_0.a } \int sen \theta . d\theta$

Esta integral es también inmediata y queda finalmente:

$\dst E_y = \frac{\lambda}{4\pi.\varepsilon_0.a }[ cos \theta]$ en la que hay que introducir los mismos límites de integración de antes: desde $\theta = -\pi/2$ hasta $\dst cos \theta = \frac{a}{\sqrt{L^2 + a^2} }$

Con estos límites el campo $E_y$ queda definitivamente:

$E_y = \dst \frac{\lambda}{4\pi. \varepsilon_0. a }\frac{a}{\sqrt{L^2 + a^2} }= \frac{\lambda}{4\pi. \varepsilon_0.} \frac{1}{\sqrt{L^2 + a^2} }$

Y tienes ya las dos componentes del campo electrostático que se te pide.