1r ciclo Esfera cargada

[meisimo]

Buenas gente!
Tengo un problema con un ejercicio queintente hacer. La cosa es la siguiente:
Encuentra la fuerza neta que el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada ejerce sobre el hemisferio norte. Expresa tu respuesta en terminos de el radio R y de la crga total Q.
Esto es del griffith de introduccion a la electrodinamica problema 2.43.

Lo que yo intente fue calcular el campo del hemisferio sur (separado) para despues calcular la fuerza con el dq de la otra mitad de la esfera. Pero al no haber simetria la primera integral me quedaba horrible!. Por lo que revise el solucionario....

Lo que muestran ahi, es que toman el campo demtro de la esfera

$\vec{E}=\frac{Q}{4 \pi {R}^{3}}r$

y de ahi calculan la fuerza, integrando con dq en la otra mitad de la esfera.

Lo que no me parce, es que tomando ese $\vec{E}$ se toma la contribucion de toda la esfera en un solo punto y no el de el "hemisferio sur", que es como lo plantea el problema en un principio.

Si alguien me puede aclarar esta duda le doy las gracias de antemano

[M_Odes]

Re: Esfera cargada

Lo que muestran ahi, es que toman el campo demtro de la esfera

$\vec{E}=\frac{Q}{4 \pi {R}^{3}}r$

y de ahi calculan la fuerza, integrando con dq en la otra mitad de la esfera.
Lo que no me parce, es que tomando ese $\vec{E}$ se toma la contribucion de toda la esfera en un solo punto y no el de el "hemisferio sur", que es como lo plantea el problema en un principio.

Hola meisimo,

Me has contagiado de dudas y trataré de resolverlas o, al menos, intentarlo

Se me ocurre que la razón por la cual toman esa expresión, es porque si divides la esfera uniformemente cargada la densidad de carga permanece constante.
Para llegar a la expresión de campo que consideras, se requiere construir dentro de la esfera de interés una superficie Gaussiana esférica, digamos que su radio es $s$.
Si la cantidad de carga encerrada en la Guassiana es $q_{s}$, en términos del volumen encerrado, $V_{encerrado}$ y de la densidad uniforme $\rho=\frac{Q}{\frac{4 \pi}{3}{R}^{3}}$ (donde $Q$ es carga total en la esfera)

$\displaystyle{q_{s}=\rho V_{encerrado}=\frac{Q}{\frac{4 \pi}{3}{R}^{3}}\times\frac{4 \pi {s}^{3}}{3}=\frac{Q {s}^{3}}{{R}^{3}}}$.

Por esta razón,

$\displaystyle{E_{s}=\frac{k_{e} q_{s}}{{s}^{2}}=k_{e}\frac{Q {s}^{3}}{{R}^{3}{s}^{2}}=k_{e}\frac{Q}{{R}^{3}}s}$.

Tomando en cuenta que mi $s$ es tu $r$

$\displaystyle{E_{s}=k_{e}\frac{Q}{{R}^{3}}r}$, Donde $k_{e}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}$.

Lo que me inquieta aquí, es que, dentro de la superficie Gaussiana de radio s, solo hay un aporte de carga debido a la porción encerrada del medio hemisferio. De ser así, la carga total encerrada debería ser

$\displaystyle{q_{s}=\rho V_{encerrado}=\frac{Q}{\frac{4 \pi}{3}{R}^{3}}\times \frac{\frac{4 \pi {s}^{3}}{3}}{2}=\frac{Q {s}^{3}}{2{R}^{3}}}$.

De manera que el campo debería ser algo así como

$\displaystyle{E_{s}=k_{e}\frac{Q}{2{R}^{3}}r}$, Donde $k_{e}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}$.

Yendo un poco más allá, uno podría decir que juntando ambos hemisferios, cada uno con un aporte $E_{s}^{\text{hemisferio 1}}$ y $E_{s}^{\text{hemisferio 2}}$

$\displaystyle{E_{s}^{\text{esfera}}=E_{s}^{\text{hemisferio 1}}+E_{s}^{\text{hemisferio 2}}=k_{e}\frac{Q}{2{R}^{3}}r+k_{e}\frac{Q}{2{R}^{3}}r=k_{e}\frac{Q}{{R}^{3}}r}$.

Como es de esperarse debido al cálculo inicial y al principio de superposición.

Que piensan los demás?

P.D. Di por sentado que en la expresión que pusiste en el post tenía un error de escritura y le hacía falta un $\epsilon_{0}$.