Otras carreras dieléctrico no homogéneo

[casz]

Buenas.

¿Alguien sabe como puedo trabajar con un dilectrico en cual su constante no es homogénea?. En mi caso tengo un capacitor cilindrico y me dicen que k es directamente proporcional a la distancia radial

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Bueno intente resolverlo por favor me corrigen si estoy equivocado. El problema más concretamente es este:

Un Capacitor cilíndrico de radios a y b (a < b) y longitud L muy grande se llena completamente con un dieléctrico no homogéneo. La superficie de radio a del capacitor posee una carga Q mientras que la superficie exterior de radio b posee carga –Q. La constante dieléctrica es directamente proporcional a la distancia radial r. Sabiendo que k es igual a k₀ en la superficie del cilindro exterior (r = b), calcule:
a) El Campo Eléctrico en la región entre las placas.
b) La función Potencial Eléctrico en la región entre las placas.
c) La capacitancia de la configuración.
d) La energía almacenada en el capacitor


Escribiendo la funcion de la constante del dieléctrico tenemos que k(r) = s r , k(b)=k0, de la condición obtengo que k(r) = (k0/b)r.

Bien ahora el punto a lo resolví con E= $\frac{E0}{k }$ , donde E0 es el campo sin el dieléctrico el cual por ley de gauss es $\frac{\lambda }{2\pi r\epsilon0}$ y k es (k0/b)r.

Los otros puntos ya son fáciles de resolver con este resultado.

[Al2000]

Re: dieléctrico no homogéneo

¿Y tu duda es...?

[casz]

Re: dieléctrico no homogéneo

¿Y tu duda es...?

¿Cómo se trabaja con constante dieléctrica variable?, ¿Lo que hice está bien?

[Breogan]

Re: dieléctrico no homogéneo

Hola:

Cuando tenes un dieléctrico, como en este caso, conviene trabajar con el vector desplazamiento eléctrico D, y con el torema de Gauss que lo relaciona con las cargas libres existentes:

$\dst \oint_S \vec D \ d \vec S = \rho_{libre}$

Esta formula siempre es aplicable en medios dieléctricos, pero se debe tener en cuenta que no siempre es apreciable a simple vista la superficie de integración a tomar debido a las condiciones de asimetrias existentes en la distribución de cargas.

En este caso en particular tenemos que la carga tiene una distribución con simetría cilíndrica, por lo anterior se puede elegir una superficie de integración cilíndrica de radio $\dst r \ \in \ (a ; b )$ donde el campo es paralelo al vector dS y es constante, y tambien la permitividad tiene la misma simetría (depende solo de la distancia al eje del cilindro) y es un escalar, con esto llegas a:

$\dst D \ 2 \ \pi \ r \ L = Q$

$\dst D = \frac Q {\ 2 \ \pi \ r \ L}$

y ahora solo te queda tener en cuenta la relación que hay entre el vector desplazamiento y el campo eléctrico:

$\dst \vec D = \varepsilon \vec E$

como ya vimos que $\varepsilon = \varepsilon_r \ \varepsilon_0$ es un escalar y solo depende de r, resulta que los vectores D y E son colineales y podemos expresar la anterior como igualdad de módulos:

$\dst D = \varepsilon E = \varepsilon_r \varepsilon_0 E$

quedando finalmente:

$\dst E = \frac Q {\ 2 \ \varepsilon_r \ \varepsilon_0 \ \pi \ r \ L}$

donde $\varepsilon_r$ (permitividad relativa) es lo que vos llamas k.

s.e.u.o.

Suerte

[casz]

Re: dieléctrico no homogéneo

Hola:

Cuando tenes un dieléctrico, como en este caso, conviene trabajar con el vector desplazamiento eléctrico D, y con el torema de Gauss que lo relaciona con las cargas libres existentes:

$\dst \oint_S \vec D \ d \vec S = \rho_{libre}$

Esta formula siempre es aplicable en medios dieléctricos, pero se debe tener en cuenta que no siempre es apreciable a simple vista la superficie de integración a tomar debido a las condiciones de asimetrias existentes en la distribución de cargas.

En este caso en particular tenemos que la carga tiene una distribución con simetría cilíndrica, por lo anterior se puede elegir una superficie de integración cilíndrica de radio $\dst r \ \in \ (a ; b )$ donde el campo es paralelo al vector dS y es constante, y tambien la permitividad tiene la misma simetría (depende solo de la distancia al eje del cilindro) y es un escalar, con esto llegas a:

$\dst D \ 2 \ \pi \ r \ L = Q$

$\dst D = \frac Q {\ 2 \ \pi \ r \ L}$

y ahora solo te queda tener en cuenta la relación que hay entre el vector desplazamiento y el campo eléctrico:

$\dst \vec D = \varepsilon \vec E$

como ya vimos que $\varepsilon = \varepsilon_r \ \varepsilon_0$ es un escalar y solo depende de r, resulta que los vectores D y E son colineales y podemos expresar la anterior como igualdad de módulos:

$\dst D = \varepsilon E = \varepsilon_r \varepsilon_0 E$

quedando finalmente:

$\dst E = \frac Q {\ 2 \ \varepsilon_r \ \varepsilon_0 \ \pi \ r \ L}$

donde $\varepsilon_r$ (permitividad relativa) es lo que vos llamas k.

s.e.u.o.

Suerte

Gracias. Entonces reemplazo $\varepsilon_r = \alpha r$ normalmente y listo

- - - Actualizado - - -

Me surge otra duda. Tengo el siguiente problema:

Considere una esfera metálica de radio a concéntrica con dos cascarones de radios b y c respectivamente (a<b<c). El espacio entre a y b está lleno de un dieléctrico de constante dieléctrica k₁ y el espacio entre b y c está lleno de un dieléctrico de constante dieléctrica k₂. La diferencia de potencial entre el cascarón exterior y la esfera es V₀. Calcule el campo electrostático en todas las regiones por ley de Gauss.

Si hago una superficie gaussiana de radio r a<r<b (región llena del dilectrico de constante k1) se como trabajarla , pero si ubico otra superficie gaussiana de radio b<r<c (región llena del dilectrico de constante k2) ¿Me olvido entonces de la constante k1? ¿Sólo tengo en cuenta k2?

[Breogan]

Re: dieléctrico no homogéneo

Hola:

Me surge otra duda. Tengo el siguiente problema:

Considere una esfera metálica de radio a concéntrica con dos cascarones de radios b y c respectivamente (a<b<c). El espacio entre a y b está lleno de un dieléctrico de constante dieléctrica k₁ y el espacio entre b y c está lleno de un dieléctrico de constante dieléctrica k₂. La diferencia de potencial entre el cascarón exterior y la esfera es V₀. Calcule el campo electrostático en todas las regiones por ley de Gauss.

Si hago una superficie gaussiana de radio r a<r<b (región llena del dilectrico de constante k1) se como trabajarla , pero si ubico otra superficie gaussiana de radio b<r<c (región llena del dilectrico de constante k2) ¿Me olvido entonces de la constante k1? ¿Sólo tengo en cuenta k2?

Por regla general no escrita (creo!!!), no conviene cargar un hilo con distintos problemas, ya que complica la búsqueda de los distintos problemas por eventuales visitantes.

Te aconsejo que habrás un nuevo hilo con este problema, para el bien del resto de los usuarios y el tuyo propio, ya que aumentaran tus probabilidades de obtener una respuesta.

Igual te dejo dos pistas, la ddp entre esferas sigue siendo la circulación del campo eléctrico, en este caso con dos dieléctricos sucesivos, lo que implica dos campos eléctricos sucesivos ; y el teorema de Gauss lo aplicas al vector desplazamiento eléctrico, que solo depende de la carga libre y es independiente de la existencia de uno o mas dieléctricos, es decir que su valor sera idéntico dentro de ambos dieléctricos.

s.e.u.o.

Suerte

[Al2000]

Re: dieléctrico no homogéneo

Vale la pena comentar también que la nueva propuesta es muy similar a la original, sólo que en lugar de una función continua $k_{(r)} = s r$ se desea trabajar con una función definida en trozos $\dst k_{(r)} = \left \{\begin{aligned} &k_1, & a<r&<b \\ &k_2, & b<r&<c \end{aligned}\right .$. El tratamiento es exactamente el mismo, pero las integrales del campo deben dividirse en dos si el rango de integración comprende las dos regiones.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[casz]

Re: dieléctrico no homogéneo

Gracias a todos, creo que me ha quedado claro