1r ciclo Transitorios primer orden

[Nitroni]

Hola otra vez. Necesito que me ayudeis a resolver este ejercicio.


Lo que no se es como calcular ${i}_{1 }(t)$ e ${i}_{2 }(t)$ para t>2s . No se como determinar ${i}_{1p }({0}^{+ })$ e ${i}_{1 }({0}_{ +})$ para t >2s y lo mismo para ${i}_{ 2}$

[Marce_]

Re: Transitorios primer orden

Acordate que como son inductancias, las corrientes no pueden variar instantáneamente, ya que generarían tensiones infinitas. Esto te marca la continuidad entre $\dst t_{0}^{-}$ (justo antes de cerrar el interruptor) y $\dst t_{0}^{+}$ (justo después de cerrarlo). Entonces, la continuidad para la segunda parte sería:

$$i_{1}(t_{0}^{-})=i_{1}(t_{0}^{+})= i_{1}$$

$$i_{2}(t_{0}^{-})=i_{2}(t_{0}^{+})= 0$$

donde en este caso $\dst t_{0}= t-2$

Un abrazo.-

[Nitroni]

Re: Transitorios primer orden

Me sale este resultado:

${i}_{1 }({2}^{- })= {i}_{ 1}({2}^{+ })= \displaystyle -4 {e}^{\frac{5t}{ 3} }+ 4 = 3,85A$

$K = 3,85 - 4 =0,15$

${i}_{1 }(t) = -4 {e}^{\frac{5t}{ 3} }$ para 0<t<2s

${i}_{1 }(t) = -0,15 {e}^{\frac{5(t-2)}{ 2} } + 4$ para t>2s


${i}_{2 }(t) = 0$ 0<t<2s

${i}_{2 }(t) = -0,15{e}^{\frac{5(t-2)}{ 2} } + 0,15$ t>2s

Seria correcto este resultado?.Lo que no entiendo es esta diferencia respecto al resultado de la solucion.

[Marce_]

Re: Transitorios primer orden

No, no es correcto, y es fácil darse cuenta porque la suma de $\dst i_{1}(\infty)+ i_{2}(\infty)= 4$. Recordá también que existe un régimen permanente, en el que ambas inductancias se volverán cables (tensión nula a tiempo infinito), y la suma de ambas corrientes será la corriente que pase por la resistencia de $\dst 3\Omega$ cuando ambas ya estén cortocircuitadas ($\dst I_{R3 \Omega}= 4A$)

No entiendo bien que significa K en tu cálculo.

Un abrazo.-

PD: Ahora estoy algo corto de tiempo, pero prometo intentar resolverlo a la noche si todavía quedan dudas o si alguno de los chicos/as no lo resolvió primero.

PD2: También tené en cuenta que si bien las funciones son partidas, ambas son continuas para t=2.

[Nitroni]

Re: Transitorios primer orden

Sigo dandole vueltas y no consigo la misma solucion que la del problema. Espero que me eches una mano a resolverlo .

[Marce_]

Re: Transitorios primer orden

Bueno, a ver con que comemos esto:


Primero antes que nada, hacemos Thevenin sobre la bobina L=3H, y analizamos la situación cuando se cierra el primer interruptor. Ya sabemos además que $\dst i_{2}(t)=0 \,\, t\leq 2$ :

La solución del transitorio RL en esta configuración es más que conocida ($\dst \tau=-\frac{5}{3}$), además de que te debés haber cansado ya de hacer equivalentes de Thevenin. En este caso tenemos $\dst V_{th}=20V$ y $\dst R_{th}=5 \Omega$. Sabemos que existirá un régimen permanente en esta configuración, ya que a tiempo infinito, la bobina se convertirá en un cable, dejando pasar toda la corriente. Esbocemos las condiciones iniciales y a tiempo infinito que debe cumplir esta configuración:

$$i_{1}(t_{0}^{-})=i_{1}(t_{0}^{+})= 0 \quad , \quad i_{1}(\infty)=i_{p}=4$$

.


Proponemos como solución:

$$i_{1}(t) = \eta \ee^{\tau t} + i_p \,\, \Rightarrow \,\, i_{1}(0)=0= \eta + 4 \,\, \Rightarrow \,\, \eta = -4$$

Finalmente:

$$\boxed{ i_{1}(t)= -4 \ee^{-\frac{5}{3} t} + 4}$$

Cuando interviene la segunda bobina, podemos pensar en el siguiente equivalente de Thevenin:

La corriente $\dst I(t)=i_{1}(t) + i_{2}(t)$. Tenemos las condiciones que debe cumplir $\dst i_{1}(t)$ y $\dst i_{2}(t)$ una vez que se cierra el segundo interruptor. Entonces, encontremos las que debe cumplir $\dst I(t)$

$$I(t_{0}^{-})=I(t_{0}^{+})= i_{1}(2) \quad , \quad I(\infty)=i_{p}=4$$

Sabiendo que ahora $\dst \tau=-\frac{5}{2}$, proponemos como solución:

$$I(t) = \eta \ee^{\tau (t-2)} + i_p \,\, \Rightarrow \,\, I(2)=3.8573= \eta + 4 \,\, \Rightarrow \,\, \eta = -0.1427$$

Finalmente:

$$\boxed{I(t)= -0.1427 \ee^{-\frac{5}{2} (t-2)} + 4}$$

Ahora, sabemos que esa corriente sera la suma de las corrientes que estamos buscando:

$$i_{1}(t) = \eta_{1} \ee^{-\frac{5}{2} (t-2)} + i_{p1} \,\, , \,\, i_{2}(t) = \eta_{2} \ee^{-\frac{5}{2} (t-2)} + i_{p2}$$

De (1) y (2) sacamos que:

$$\eta_{1} + \eta_{2} = -0.1427$$

Y acá viene el quid de la cuestión. Ni bien cerramos el segundo interruptor, la segunda bobina responde como un circuito abierto (caerá una tensión en ella, pero no circulará corriente). La tensión que caerá en ella, es la tensión de la primera bobina en t=2. Para averiguar la tensión de la primera bobina en t=2, derivamos su primera expresión de la corriente, la evaluamos en t=2 y la multiplicamos por $\dst L_{1}$, arrojando un valor de $\dst \approx 0.7135$

$$V_{L2}= L_{2}\frac{\dd i_{2}(t=2)}{\dd t}= 0.7135$$

Derivando la expresión de $\dst i_{2}(t)$ de (2) y reemplazando en (4) sacamos $\dst \eta_{2}$:

$$\eta_{2} \approx -0.0475 \quad \Rightarrow \quad \eta_{1}\approx -0.0951$$

Ahora:

$$i_{1}(t) = -0.0951 \ee^{-\frac{5}{2} (t-2}} + i_{p1} \,\, \Rightarrow \,\, i_{1}(2)= 3.8573= -0.0951 + i_{p1} \,\, \Rightarrow \,\, i_{p1} = 3.9524$$

$$i_{2}(t) = -0.0475 \ee^{-\frac{5}{2} (t-2}} + i_{p2} \,\, \Rightarrow \,\, i_{2}(2)=0= -0.0475 + i_{p2} \,\, \Rightarrow \,\, i_{p2} = 0.0475$$

Finalmente:

$$\boxed{i_{1}(t)= -0.0951 \ee^{-\frac{5}{2} (t-2)} + 3.9524}$$

$$\boxed{i_{2}(t)= -0.0475 \ee^{-\frac{5}{2} (t-2)} + 0.0475}$$

Un abrazo.-

[natanael]

Re: Transitorios primer orden

esto está completamente en chino para mí.

¿en qué libro aparece este tipo de circuitos?

[Marce_]

Re: Transitorios primer orden

esto está completamente en chino para mí.

¿en qué libro aparece este tipo de circuitos?

Son temas que aparecen en el primer curso o curso básico de electrotecnia (depende el tipo de ingeniería que uno siga). Un libro que siempre aparece como sugerido en este tipo de cursos es "Análisis de circuitos en ingeniería" de William Hayt. No es riguroso ni mucho menos, pero se supone que uno llega a esta asignatura ya habiendo tenido algún curso previo de electromagnetismo.

Un abrazo.-