2o ciclo Armónicos esféricos

[PedroAAI]

Hola, he estado unos días estudiando ondas electromagnéticas esféricas y en resumen, ¡no me entero de nada! En seguida os pongo lo que vi y os planteo lo que no entiendo.

Una onda electromagnética cumple la ecuación de Helmholtz

$$(\nabla^2 + k^2) \vec{F} = 0$$

Donde F puede ser tanto el campo magnético como eléctrico.
Si $\vec{F}=\vec{r} \times (\nabla \psi )$ con $\psi\in\Re$ y $\vec{r}$ el vector de posición. Haciendo un poco de álgebra llegamos a que

$$(\nabla^2 + k^2) \psi = 0$$

La solución de esta ecuación diferencial en coordenadas esféricas es

$$\psi (r,\theta,\varphi)=\sum_{l = 0}^\infty \sum_{m = -l}^{l} \left[ A_{lm}j_l (kr) + B_{lm} h_l^{(2)} (r)\right] Y_{lm} (\theta,\varphi)$$

Donde A y B son constantes arbitrarias, j y h son funciones esféricas de Bessel y $Y_{lm} (\theta,\varphi)= \sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4 \pi (l+m)!}} P_{lm} (\cos (\theta) )e^{im\varphi}$ es la función armónica esférica .

Por lo tanto

$$\vec{H_{lm}}=\vec{r} \times (\nabla \psi{lm} )$$

$$\vec{E_{lm}}=-\frac{Z_0}{ k r}\left[ l(l+1)R_l Y_{lm} \hat{r} +\frac{d}{ dr} (rR_l) r \nabla Y_{lm} \right]$$

Esto último se consigue realizando más álgebra.

Mis dudas son: ¿Cuál es la utilidad de este formalismo? ¿Qué pinta tienen los campos y en que casos suelen aparecer campos de este tipo? ¿En qué consiste el desarrollo multipolar de los campos?

Por último agradecería que me recomendasen algún libro donde explique bien este tema, he estado leyendo el Griffiths, Wangness y Jackson y ninguno me aclaró bien las dudas.

Un saludo y gracias por vuestro tiempo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Armónicos esféricos

Primero, En la utilidad de este formalismo, se dice que se habla de función de funciones, es decir que se utilizan funciones simples para obtener funciones complejas que muestran de alguna forma aproximada el campo eléctrico. Segundo, dependiendo de la forma geométrica, se usa armónicos esféricos u otro tipo de funciones que reunan ciertas caractéristicas. Tercero, el desarrollo multipolar es otra herramienta en el que se usar series las cuales se trucan hasta donde uno quiera aproximar el campo.

Saludos

[carroza]

Re: Armónicos esféricos

Los armónicos esféricos aparecen en la solución de cualquier ecuación diferencial de tipo

$(\nabla^2 + F(r)) \psi(\vec r) = 0$

Son especialmente útiles en cuántica. De hecho, los orbitales atómicos tienen forma de armónicos esféricos.

Saludos