1r ciclo potenciometro Rn variable

[Nitroni]

Se construye una resistencia variable RN, de ley de variación no lineal, bobinando sobre un soporte
de características geométricas constantes un primer tramo con un hilo de conductividad 1200
(Ω·cm)-1 y un segundo tramo con otro hilo del mismo diámetro pero de conductividad 200 (Ω·cm)-1.
El bobinado se realiza de manera que la resistencia del primer tramo es igual al 20% de RN.
Calcular la relación entre el número de espiras de los arrollamientos, N1/N2, y dibujar la ley de
variación de la resistencia en función del desplazamiento del cursor.

Para este ejercicio no tengo muy claro lo que tengo que hacer. Yo lo he pensao asi.

El numero de espieras que tendra el primer tramo sera , independientemente de la geometria del soporte, siempre sera la longitud del tramo del soporte e inversamente proporcional al diametro del conductor, o al menos lo veo asi. ¿Seria correcto?

$\displaystyle{N}_{1 }= \frac{{L}_{1 }}{{d}_{ 1} }$ , ${L}_{T }= {L}_{1 } + {L}_{2 }$

${l}_{1 } \to$ longitud conductor

${L}_{1 } \to$ longitud primer tramo

$\displaystyle {R}_{1 }= {\rho}_{1 }\frac{{L}_{1 }}{{S}_{1 } }$

Para el tramo 2 seria igual. Despues lo que he pensao es igualar R1 y R2 para asi sacar la relacion de espiras...

$\displaystyle\frac{{N}_{1 }}{ {N}_{2 }}= \frac{{L}_{ 1}}{{L}_{ 2} }$

[Al2000]

Re: potenciometro Rn variable

Podrías empezar hallando la relación entre la resistencia de los dos tramos:

$$R_1 = 0.2 R_N,\,\,\, R_2 = 0.8 R_N \quad \Rightarrow \quad \frac {R_1}{R_2} = \frac 1 4$$

Luego relacionar las resistencias con las vueltas de alambre. Llamando $S$ la sección común y $P$ el perímetro, tendrías

$$\frac {R_1}{R_2} = \frac {\rho_1 N_1 P/S}{\rho_2 N_2 P/S} = \frac 1 4$$

de donde puedes hallar la relación.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Nitroni]

Re: potenciometro Rn variable

Al2000 y para la obtener la resistencia en funcion del desplazamiento. Dice que la ley de variacion es no lineal, que tendria que utilizar la logaritmica positiva ?

[Al2000]

Re: potenciometro Rn variable

Me costó un poco ver la forma de obtener la dependencia, pero luego de un par de cocotazos creo haber llegado a una respuesta satisfactoria.

Como no te dan ni el perímetro del potenciómetro ni el diámetro del cable, no es posible obtener ni la resistencia $R_N$ ni la longitud del potenciómetro, de manera que la respuesta habrá que darla como la fracción de $R_N$ que corresponde a cada posición fraccional del cursor.

El procedimiento que seguí, no necesariamente el mas corto o mas elegante, fue el siguiente:

- Sabemos que $\dst \frac {R_1}{R_2} = \frac 1 4$ por condición del problema. Entonces, si $\dst R_1 + R_2 = R_N$ tendremos que $\dst R_1 = \frac 1 5 R_N$ y $\dst R_2 = \frac 4 5 R_N$.

- Pero hemos obtenido antes que $\dst \frac {N_1}{N_2} = \frac {\rho_2}{4 \rho_1}$ y habrá que asumir, a falta de mas información, que el bobinado del potenciómetro se hace manteniendo una densidad de vueltas constante a todo lo largo, es decir, que $\dst \frac {N_1}{\ell_1} = \frac {N_2}{\ell_2}$. Esto nos deja con $\dst \frac {\ell_1}{\ell_2} = \frac {N_1}{N_2} = \frac {\rho_2}{4 \rho_1}$. Si llamamos $\ell = \ell_1 + \ell_2$ la longitud del potenciómetro, eso nos lleva a que $\dst \ell_1 = \frac {\rho_2}{4 \rho_1 + \rho_2} \ell$ y $\dst \ell_2 = \frac {4 \rho_1}{4 \rho_1 + \rho_2} \ell$.

- Ahora podemos dividir miembro a miembro para obtener la resistencia por unidad de longitud en cada sección del potenciómetro:

$$\frac {R_1}{\ell_1} = \frac {4 \rho_1 + \rho_2}{5 \rho_2} \frac {R_N}{\ell }$$

$$\frac {R_2}{\ell_2} = \frac {4 \rho_1 + \rho_2}{5 \rho_1} \frac {R_N}{\ell }$$

- La ecuación de la resistencia del potenciómetro como función de la posición $x$ del cursor medida desde el extremo de $R_1$ será:

$$R_{(x)} =\left \{\begin{aligned}&\frac {R_1}{\ell_1} x, & 0 \leqslant x& \leqslant \ell_1 \\ &R_1 + \frac {R_2}{\ell_2} (x - \ell_1), & \ell_1 \leqslant x& \leqslant \ell \end{aligned}\right .$$

$$\Rightarrow \quad R_{(x)} =\left \{\begin{aligned}&\frac {4 \rho_1 + \rho_2}{5 \rho_2} \frac {R_N} \ell x, & 0 \leqslant x& \leqslant \ell_1 \\ &R_1 + \frac {4 \rho_1 + \rho_2}{5 \rho_1} \frac {R_N} \ell (x - \ell_1), & \ell_1 \leqslant x& \leqslant \ell \end{aligned}\right .$$

$$\Rightarrow \quad R_{(x)} =\left \{\begin{aligned}&\frac {4 \rho_1 + \rho_2}{5 \rho_2} \frac x \ell R_N, & 0 \leqslant \frac x \ell & \leqslant \frac {\rho_2}{4 \rho_1 + \rho_2} \\ &\left[\frac 1 5 + \frac {4 \rho_1 + \rho_2}{5 \rho_1} \left (\frac x \ell - \frac {\rho_2}{4 \rho_1 + \rho_2} \right )\right ] R_N, & \frac {\rho_2}{4 \rho_1 + \rho_2} \leqslant \frac x \ell & \leqslant 1 \end{aligned}\right .$$

$$\Rightarrow \quad \boxed {R_{(x)} =\left \{\begin{aligned}&\frac {4 \rho_1 + \rho_2}{5 \rho_2} \frac x \ell R_N, & 0 \leqslant \frac x \ell & \leqslant \frac {\rho_2}{4 \rho_1 + \rho_2} \\ &\left(\frac {\rho_1 - \rho_2} {5 \rho_1} + \frac {4 \rho_1 + \rho_2}{5 \rho_1} \frac x \ell \right ) R_N, & \frac {\rho_2}{4 \rho_1 + \rho_2} \leqslant \frac x \ell & \leqslant 1 \end{aligned}\right .}$$

Bueno, ahí te dejo eso. Si hay algo mas que se pueda hacer, pues no lo veo. Revisa todas las operaciones, por si las moscas. Yo encontré un par de errores pero podrían haber mas.

Saludos,

$\mathcal A \ell$