1r ciclo Duda con onda, numero de onda y vector de onda

[leo_ro]

Tengo una duda teórica con respecto a la formación de la expresión para una onda, por ejemplo la del campo eléctromagnético:

$\dst E(x,y,z) = {E}_{x}{e}^{j \beta x} \hat{\imath} + {E}_{y}{e}^{j \beta y} \hat{\jmath} + {E}_{z}{e}^{j \beta z}\hat{k}$ (1)

En donde $\dst \beta = \frac{2 \pi}{\lambda }$

Ahora bien el campo eléctrico también puede ser escrito como:

$\dst \dst E (\vec{r}) = E (\vec{r}) {e}^{j \hat{k}. \vec{r} } \hat{k} = E (\vec{r}) {e}^{j \hat{k}. \vec{r} } ({k}_{x}, {k}_{y} , {k}_{z}) = E (\vec{r}) {e}^{j \hat{k}. \vec{r} } {k}_{x}+ E (\vec{r}) {e}^{j \hat{k}. \vec{r} } {k}_{y}+E (\vec{r}) {e}^{j \hat{k}. \vec{r} } {k}_{z}$ (2)

En donde $\vec{k} = \beta {\hat{k}}_{x} + \beta {\hat{k}}_{y} + \beta {\hat{k}}_{z}$

Pero la expresión (2) no estoy seguro que sea igual a la (1). En el exponente de (1) tenemos la proyección del punto donde evaluamos la onda con respecto a los vectores canónicos y en (2) tenemos la proyección del punto con respecto al vector cuya dirección es la del desplazamiento de la onda. Esto es igual, pero mi duda es en la amplitud. Porque en la (1) tenemos diferentes amplitudes para cada componente pero en la (2) tenemos la misma amplitud para cada componente.

Saludos.

[pod]

Re: Duda con onda, numero de onda y vector de onda

En efecto, las dos expresiones son diferentes. No sólo por el prefactor, sino por los exponentes. En la segunda expresión, cada componente tiene el mismo exponente (el vector $\vec k$ es el mismo en las tres componentes, por lo que el producto escalar es el mismo siempre), mientras que en el segundo tienes tres exponentes diferentes.

De hecho, tengo dudas de que la primera expresión sea una solución posible. Por las ecuaciones de Maxwell, la divergencia del campo eléctrico tiene que ser cero (en ausencia de cargas). Y a mi me parece que esta solución no lo cumple.

Por otra parte, lo que has puesto no representan ondas. No hay dependencia temporal. Supongo que estas expresiones deben ir multiplicadas por algo como $\mathrm{e}^{j \omega t}$.

[leo_ro]

Re: Duda con onda, numero de onda y vector de onda

Lo que pasa es que como el factor [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] está en todos los términos me he acostumbrado a no ponerlo hasta que transforme del dominio fasorial al temporal (creo que el Electromagnetismo y sistemas radiantes del Jordan recomienda hacerlo así)

Dejando de lado esto, tienes razón fue un error poner 3 términos en (1) porque sino habría flujo eléctrico, además el exponente debe variar según 1 dirección. Vuelvo a escribir las ecuaciones pero en el dominio temporal.

$\dst \vec{E} (z,t) = {E}_{x} sen (\beta z - \omega t) \hat{\imath} + {E}_{y} sen (\beta z - \omega t) \hat{\jmath}$ (1)


$\dst \vec{E} (\vec{r},t) = E sen (\vec{k}. \vec{r} - \omega t) \hat{k}$ (2)

Que si desarrollamos el producto escalar y el versor $\hat{k}$

$\dst \vec{E} (\vec{r},t) = E sen ( ({k}_{x}{r}_{x}+{k}_{y}{r}_{y}+{k}_{z}{r}_{z}) - \omega t) <{k}_{x} \hat{\imath} + {k}_{y} \hat{\jmath} + {k}_{z} \hat{k}>$

Y es acá donde tengo dudas. Se que "ahora" (1) está bien porque así se trabaja el campo eléctrico de la onda en el libro "Electromagnetismo y sistemas radiantes" de Jordan. Pero tambíen (2), he visto que se trabaja con esa expresión. El problema es que:

1) el módulo del campo eléctrico es el mismo para todos los términos en (2). Salvo que Dependa del espacio. Aunque en (1) (que es la expresión que conosco) no puse el término de atenuación, pero si no es un dieléctrico perfecto el módulo varía con la distancia.

$\dst \vec{E} (z,t) = {E}_{x} {e}^{-\alpha z} sen (\beta z - \omega t) \hat{\imath} + {E}_{y} {e}^{-\alpha z} sen (\beta z - \omega t) \hat{\jmath}$ (1)

2) la expresión (2) tiene 3 componentes, no estoy seguro que sea así.

La verdad que me frustra estar siempre trabado en conceptos matemáticos que no hacen al fenómenos en sí.

Saludos.

[pod]

Re: Duda con onda, numero de onda y vector de onda

$\dst \vec{E} (\vec{r},t) = E sen (\vec{k}. \vec{r} - \omega t) \hat{k}$ (2)

Esta segunda tiene mala pinta. No parece que la divergencia de esto sea cero, porque será proporcional a $\vec k \cdot \hat k = k$ .

1) el módulo del campo eléctrico es el mismo para todos los términos en (2). Salvo que Dependa del espacio. Aunque en (1) (que es la expresión que conosco) no puse el término de atenuación, pero si no es un dieléctrico perfecto el módulo varía con la distancia.

$\dst \vec{E} (z,t) = {E}_{x} {e}^{-\alpha z} sen (\beta z - \omega t) \hat{\imath} + {E}_{y} {e}^{-\alpha z} sen (\beta z - \omega t) \hat{\jmath}$ (1)

Supongo que te refieres a que (crees que) la amplitud es la misma para las tres componentes. El módulo del vector tiene poco que ver con esto.

No es verdad que la amplitud de todas las componentes. Sólo lo seria si se diera el caso que $k_x = k_y = k_z$. Recuerda que la amplitud es todo lo que va multiplicando al seno, esté escrito delante de él o detrás de él... La multiplicación de números reales (y de complejos) es commutativa.

2) la expresión (2) tiene 3 componentes, no estoy seguro que sea así.

La verdad que me frustra estar siempre trabado en conceptos matemáticos que no hacen al fenómenos en sí.

El número de componentes no nulas depende de la base. La física es independiente de qué base utilices, así que no importa que base se utilice.



La historia genérica es la siguiente: partimos de la ecuación de ondas,

$$\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = c^2 \vec \nabla \cdot \vec E .$$

Si tomamos coordenadas cartesianas, esto dará lugar a ondas planas. La solución general es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
donde $\vec E_0$ es cualquier vector constante (básicamente una constante de integración) y $\hat k'$ es un vector unitario cualquiera. Aquí la notación es muy desafortunada, por que el vector k normalmente se toma como el vector de la base en la dirección OZ. Yo le pongo una prima para diferenciarlo, $\hat k'$ es un vector unitario cualquiera. Y lo más importante, esa $f$ es cualquier función de una variable derivable dos veces. Insisto, cualquier función. Pongas la función que pongas (derivable dos veces), tendrás una solución. Comprobarlo es un ejercicio interesante: mete esa expresión, con una función genérica y mira como realmente se cumple la ecuación sea cual sea la función.

Ahora bien, normalmente nos interesan situaciones donde las ondas son sinosoidales. Para justificarlo, recurrimos a los teoremas de Fourrier que permiten escribir cualquier función periódica mediante series de senos y cosenos; y cualquier función no periódica mediante la transformada del mismo nombre. Podemos representar la fase de una función senosoidal con una exponencial periódica (o con un seno... o con un coseno... como te guste más). Ahora bien, lo que haya dentro de la exponencial (o seno o coseno) no tiene que tener unidades. Podemos ver que lo que he puesto en el argumento de f tiene dimensiones de longitud, así que hay que dividir por una longitud (la longitud de onda). Así pues, una onda plana senosoidal se escribe en general tal que así:

$$\vec E(\vec r,\, t) = \vec E_0\ \eee{\frac {2\pi i} \lambda (\hat k' \cdot \vec r - c t)} = \vec E_0\ \eee{ i (\vec k \cdot \vec r - \omega) }.$$

El factor $2\pi$ se introduce para tener en cuenta la periodicidad de la exponencial compleja, en un instante de tiempo fijo, nos desplazamos en la dirección de $\hat k'$ una distancia $\lambda$ el argumento apumenta en $2\pi$, y eso es justa la periodicidad de las funciones trigonométricas. Además, el factor $2\pi / \lambda$ se utiliza para definir el módulo de $\vec k$ (al poner la flecha sobre la k ya no hay confusión con el vector de la base y por eso le quito la prima).

Esto es muy parecido a tu ecuación (2) excepto por el factor $\vec k$. Como ves, así en genérico, no hay nada que imponga que las amplitudes sean iguales, $\vec E_0 = E_{0,x} \hat\imath + E_{0,y} \hat\jmath + E_{0,z} \hat k$.

Esto es todo lo que tenemos de la ecuación de onda. Ahora bien, la ecuación de ondas tiene tres componentes (seis, si contamos la ecuación equivalente para el campo magnético), mientras que las ecuaciones de Maxwell tienen ocho. Es decir, la ecuación de onda no tiene toda la información de las ecuaciones de Maxwell, así que aplicando por ejemplo la ley de Gauss nos sale la condición

$$\vec k \cdot \vec E_0 = 0 .$$

Es decir, la dirección en que oscila el campo eléctrico debe ser perpendicular a la dirección de propagación. Esto quiere decir que la onda electromagnética es transversal.

Hasta este punto, lo hemos hecho todo lo genérico que podemos. Ahora bien, sabemos que la Física debe ser independiente de qué ejes cartesianos utilicemos para describirla (y, de hecho, debe ser la misma incluso si elegimos ejes no cartesianos, pero eso es otra historia). Es decir, yo tengo total libertad para girar mi sistema de ejes coordenados de la forma que más me convenga para calcular de forma más cómoda. Imaginemos, por ejemplo, que giro los ejes de forma que el eje OZ coincida con la dirección del vector $\vec k$. Es decir, elijo los ejes de forma que $\vec k = (0,\ 0,\ k)$. Fíjate que la condición de onda transversal nos da ahora lo siguiente:

$$\vec k \cdot \vec E_0 = k E_{0,z} = 0 \longrightarrow E_{0,z} .$$

Eso significa que nos quedamos con $\vec E_0 = (E_{0,x},\ E_{0,y},\ 0)$ y $\vec k \cdot \vec r = k z$. Con ello,

$$\vec E = \Big( E_{0,x} \hat\imath + E_{0,y} \hat\jmath \Big) \eee{i (k z - \omega t)} .$$

Esto se corresponde exactamente con tu ecuación (1). Así es como pasamos de tu ecuación (2) (salvo por ese factor $\vec k$ que no me cuadra) a tu ecuación (1). Se trata únicamente de rotar los ejes para hacer que coincidan con la dirección de propagación.

[leo_ro]

Re: Duda con onda, numero de onda y vector de onda

Muchas gracias por la respuesta

e qué ejes cartesianos utilicemos para describirla (y, de hecho, debe ser la misma incluso si elegimos ejes no cartesianos, pero eso es otra historia). Es decir, yo tengo total libertad para girar mi sistema de ejes coordenados de la forma que más me convenga para calcular de forma más cómoda.

Supongamos que la onda se desplaza en la dirección $\vec{d}=<0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}> [m]$. Para trabajar más cómodo hago una rotación de los ejes.

$\dst {M}_{3x3} \vec{d} = \hat{z}$

De esta manera el campo eléctrico:

$\dst \vec{E} (z,t) = {E}_{x} {e}^{j (\beta z - \omega t)} \hat{i} +{E}_{y} {e}^{j (\beta z - \omega t)} \hat{j}$

Pero como estoy evaluando una interferencia entre 2 ondas hay otro campo eléctrico (de igual módulo) el cual tenía la dirección del eje z antes de hacer un cambio de base, de manera que este tiene la forma de

$\dst \vec{E} (\vec{r},t) = {E}_{x} {e}^{j ( \vec{k}. \vec{r} - \omega t)} (\vec{k} \times \hat{i}) +{E}_{y} {e}^{j ( \vec{k}. \vec{r}- \omega t)} (\vec{k} \times \hat{j})$

$\dst \vec {k} = \frac{2 \pi}{\lambda } <0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}>$

¿Es correcto la segunda ecuación de campo que escribí?

[pod]

Re: Duda con onda, numero de onda y vector de onda

Pero como estoy evaluando una interferencia entre 2 ondas hay otro campo eléctrico (de igual módulo) el cual tenía la dirección del eje z antes de hacer un cambio de base, de manera que este tiene la forma de

Creo que está bien. Sin embargo, si tienes dos ondas y una de ellas ya se propaga en la dirección OZ, entonces no ganas nada haciendo la rotación. Sólo ganas comodidad rotando los ejes cuando tienes una única dirección importante.

En tu caso, consigues una expresión más sencilla para la primera onda, pero te complicas la segunda. Si la segunda ya era cómoda, te la puedes ahorrar.

Sin embargo, si quieres hacer el cambio de ejes coordenados, puedes. En definitiva, lo único que importa es que la dirección de propagación de ambas ondas forma un angulo de $\pi/4$.