Secundaria Diferencia de potencial creada por un plano infinito y cargado

[Lorentz]

Saludos

Para una carga puntual, sabemos que la diferencia de potencial entre dos puntos es:


$\Delta{V}=-\int_{\infty}^{r} \! \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{r}$


Mi pregunta es si esta misma fórmula se puede usar para un plano cargado de manera uniforme quedando:

$\Delta{V}=-\int_{\infty}^{r} \! \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{r}=\frac{\sigma{r}}{ 2\varepsilon}$

(siendo r la distancia entre esos dos puntos pertenecientes a una recta perpendicular al plano, y suponiendo una $\sigma>0$), dado que no sé si también afectaría a la diferencia de potencial el resto de carga del plano.

[Julián]

Re: Diferencia de potencial creada por un plano infinito y cargado

Si está bien. Pero ten en cuenta lo que que estás calculando es el potencial eléctrico, ya que estás tomando el infinito como el pto de referencia. Si tomas 2 ptos. en la que ninguno es el infinito (donde el campo eléctrico es cero) ahí sí es la diferencia de potencial, es decir,:

$\dst \Delta V = {V}_{b} - {V}_{a} = {\int}_{a}^{b} \vec{E}. d \vec{l}$

[Lorentz]

Re: Diferencia de potencial creada por un plano infinito y cargado

Ah, entiendo, yo lo que he calculado ha sido tomando uno de los puntos en el infinito, gracias

[alexpglez]

Re: Diferencia de potencial creada por un plano infinito y cargado

Ya lo discutimos en su día, la diferencia de potencial electróstatico es (cuando el campo es conservativo):

$$\Delta{V}=-\int_{r_0}^{r_f} \vec{E} \cdot \dd \vec{r}=V(r_f)-V(r_0)$$

Entonces el valor del potencial en un punto se define como:

$$V(r)=-\int^{r}\vec E \cdot \dd \vec r$$

Da como casualidad que para una carga puntual el valor de esa energía en el infinito da 0, por lo que el valor del potencial también es como la diferencia de energía en traer una carga desde el infinito al punto dado.

$$\vec E=\frac{kQ}{r^2}\hat r$$

$$\Delta V=-\int^{r}_{\infty}\vec E \cdot \dd \vec r=-\int^{r}_{\infty}\frac{kQ}{r^2}\hat r \cdot \dd \vec r=-\int^{r}_{\infty}\frac{kQ}{r^2} \dd r=\frac{kQ}{r}\vert^{r}_{\infty}=\frac{kQ}{r}-\frac{kQ}{\infty}=\frac{kQ}{r}$$

Pero no es general, para una placa cargada uniformemente infinitamente no lo es, la fórmula daría, simbolizando con K al término constante del campo:

$$K=E=\frac{\sigma}{ 2\varepsilon}$$

$$\Delta V=-\int^{r}_{\infty}K\dd r=-Kr\vert^{r}_{\infty}=-k(r-\infty)=\infty$$

Saludos

PD: mejor que te responda otro si no te fías de mí,
PD: veo que ya respondieron

[Weip]

Re: Diferencia de potencial creada por un plano infinito y cargado

$$\Delta V=-\int^{r}_{\infty}\vec E \cdot \dd \vec r=-\int^{r}_{\infty}\frac{kQ}{r^2}\hat r \cdot \dd \vec r=-\int^{r}_{\infty}\frac{kQ}{r^2} \dd r=\frac{kQ}{r}\vert^{r}_{\infty}=\frac{kQ}{r}-\frac{kQ}{\infty}=\frac{kQ}{r}$$

Pero no es general, para una placa cargada uniformemente infinitamente no lo es, la fórmula daría, simbolizando con K al término constante del campo:

$$K=E=\frac{\sigma}{ 2\varepsilon}$$

$$\Delta V=-\int^{r}_{\infty}K\dd r=-Kr\vert^{r}_{\infty}=-k(r-\infty)=\infty$$

Aquí te la has jugado jajaja. Una integral impropia se calcula haciendo un límite de una integral de Riemann. Vamos, que lo de dividir entre infinito... Lo has de resolver así:

$\Delta V=- \dst\int^{r}_{\infty}\vec E \cdot \dd \vec r= -\dst\lim_{c \to \infty} \dst\int^{r}_{c}\frac{kQ}{r^2} \dd r$

Lo mismo para la integral de abajo.

Sé que desde tu punto de vista la diferencia no es grande. Pero te aseguro que si no fuera así iríamos muy mal tanto en física como en matemáticas.

[Julián]

Re: Diferencia de potencial creada por un plano infinito y cargado

Solamente una acotación, el tema del signo. En general cuando verán la definición del potencial o de la energía potencial la variación es igual al negativo del trabajo. Pero por definición es el trabajo de la fuerza o del campo eléctrico en llevar desde un pto. en cuestión al pto. de referencia. Es decir:

$\dst \Delta V = { \int} _{r}^{\infty} \vec{E}. d \vec{l}= - { \int} _{\infty}^{r} \vec{E}. d \vec{l}$

Donde hay referencia, es potencial y donde hay 2 ptos. en general es diferencia de potencial. Por ejemplo para calcular la energía potencial gravitatoria en la tierra se toma como referencia el suelo. En cambio para la energía potencial que hay entre 2 planetas, lo mejor es tomar como referencia el infinito.

[alexpglez]

Re: Diferencia de potencial creada por un plano infinito y cargado

Aquí te la has jugado jajaja. Una integral impropia se calcula haciendo un límite de una integral de Riemann. Vamos, que lo de dividir entre infinito... Lo has de resolver así:

$\Delta V=- \dst\int^{r}_{\infty}\vec E \cdot \dd \vec r= -\dst\lim_{c \to \infty} \dst\int^{r}_{c}\frac{kQ}{r^2} \dd r$

Lo mismo para la integral de abajo.

Sé que desde tu punto de vista la diferencia no es grande. Pero te aseguro que si no fuera así iríamos muy mal tanto en física como en matemáticas.

Si, lo sé, ya que si algún otro factor fuese en este caso función de c (la letra que tú designaste), puede que ya no diese el resultado infinito. En fin, no me puedo dejar una jaj, además que queda muy feo tal y como lo escribí, porque no existe el infinito como un número como tal, si no como límite. En fin, como Lorentz ya lo empezó a escribir así, pues por vagueza (o algo así), se me pasaría escribir el límite. Intentaré no olvidarme la próxima vez.

[Weip]

Re: Diferencia de potencial creada por un plano infinito y cargado

Si, lo sé, ya que si algún otro factor fuese en este caso función de c (la letra que tú designaste), puede que ya no diese el resultado infinito.

Ah no si el resultado está bien y siempre te dará lo mismo independientemente de $c$. La $c$ es solo un auxiliar que me invento yo. Si la función tuviera una $c$ como variable de por medio, me inventaría una $b$ real que hiciera el papel y solucionado.