1r ciclo Conservación de energía en capacitores

[Clarck Luis]

Hola con todos, mi duda esta sobre un problema que he visto resuelto y su solución me genera una duda muy puntual. Aquí les planteo el problema con su solución a ver si pueden auxiliarme con esto.
"Se tiene un capacitor de C=8microFarad, este es cargado con una fuente de 120v y una vez cargado se desconecta de la fuente. Luego dicho capacitor se conecta en paralelo a otro capacitor decargado de C=4microFarad."
Aqui se plantean varias preguntas, pero solo llegare a la que me interesa.
Primero calculare la carga total inicial:
${Q}_{total}=8u.120v=960uC$
Y se sabe que luego de la conexión para ambos capacitores:
${Q}_{total}={Q}_{1}+{Q}_{2}$
${Q}_{1}={C}_{1}.V$
${Q}_{2}={C}_{2}.V$
De lo que extraigo que:
$V=\frac{{Q}_{total}}{{C}_{1}+{C}_{2}}$
Usando esta ultima relación calculo que la diferencia de potencial para ambos capacitores es:
$V=80v$
Aqui viene mi duda, si calculo la energía inicial del sistema es igual a:
${U}_{inicial}=\frac{1}{2}.{Q}_{total}.120=0.058J$
y la final:
${U}_{final}=\frac{1}{2}.{Q}_{total}.80=0.038J$
Como es obvio ocurrió una perdida de energía al momento de conectar ambos capacitores, mi pregunta es, ¿cual es el termino o concepto "no ideal" que genera dicha perdida? ya que eso no se aprecia en las ecuaciones que he planteado.

[Julián]

Re: Conservación de energía en capacitores

Lo bueno es que te apegas al modelo, es decir, tienes presente que la energía se aplicó en algo. Y no que desapareció. En este caso estás aplicando el modelo ideal, de la teoría de circuitos, por lo que está mal el cálculo pero si esto te pasara en la práctica profesional, te diría al 100% que la energía que se disipó fue en calor.

En el modelo de teoría de circuitos, que utiliza las leyes de kirchoft, idealmente los capacitores son elementos pasivos, junto con la bobina y el resistor, siendo este último el que disipa la energía de una manera irreversible y los demás lo hacen de una manera reversible. Y por supuesto no hay resistores en tus ecuaciones, por ende la energía tiene que mantenerse en el circuito. Claro por supuesto en un modelo ideal, los capacitores e inductores no tienen resistencia, cosa que en el mundo físico si tienen.

$\dst Q= 120 [V] 8 [\mu F] = 960 [\mu F]$

$\dst {E}_{1}' = {\int}_{0}^{960 [\mu F]} 120 [V] dq = 0.115 [J]$

(ves la diferencia), genericamente es (ahí podrás ver donde va el 1/2 resolviendo las integrales):

$\dst e= {\int}_{{q}_{1}}^{{q}_{2}} V d q = C {\int}_{{q}_{1}}^{{q}_{2}} V d V= \frac{1}{C} {\int}_{{q}_{1}}^{{q}_{2}} q d q$

Ahora los cálculos de la tensión que hiciste, en donde se aplica 80 V a los bornes de dichos cap, está bien.

${Q}_{1} = 8 [\mu F] 80 [V] = 640 [\mu C]$
${Q}_{2} = 4 [\mu F] 80 [V] = 320 [\mu C]$

Calculemos la energía del primer capacitor, hay que pensar que tenía una carga y luego disminuyó. Si calculamos la energía con los extremos como las cargas iniciales y finales lo que tendremos es una variación de energía, por lo que a dicha energía primera hay que sumarle dicha variación

$\dst {E}_{1} = {E}_{1}' + {\int}_{960 [\mu F]}^{640 [\mu F ]} 80 dq=0.0894 [J]$

Y la del segundo cap:

$\dst {E}_{2} = {\int}_{0}^{320 [\mu F]} 80 dq= 0.0256 [J]$

Ahora si suma las energías me dará la energía primera:

$0.0894+0.0256=0.115$

[Breogan]

Re: Conservación de energía en capacitores

Hola:

No voy a entrar mucho en el fondo de la cuestión, solo que este aparente problema surge de considerar juntos los modelos de conductor ideal y capacitor ideal. Te vas a encontrar en el estudio de la física muchas veces con problemáticas similares en distintas áreas de esta.
Una forma muy útil de resolverlo es abandonar alguna parte del modelo (en este caso seria lo del conductor ideal), y finalizados los calculos hacer el limite de los parametros necesarios al valor de estos en el modelo ideal.

En este caso se verifica que la energía se conserva cuando consideras (y demostras) que existe una energía disipada en los conductores aunque estos no tengan resistencia.

El calculo que haces de la energía y las tensiones de los capacitores esta bien, aunque no revise los números.

Si se parte de un circuito C1 R C2 serie, y se hacen los cálculos se va a llegar a la conclusión de que en la resistencia R se disipa una energía total (entre t=0 e infinito) que es independiente del valor de dicha resistencia, y que esta energía sumada a la energía final almacenada en los capacitores C1 y C2 es igual a la almacenada inicialmente en el capacitor C1.

Para este calculo podes partir de la ecuacion de la corriente en el circuito serie C1 R C2, que si no me acuerdo mal es:

$\dst i(t) = \frac {v_{C0}} R \ \ee^{ \dst - \frac 1 {R \ C_p} t} \quad donde \quad \frac 1 {C_p} = \frac 1 {C_1} + \frac 1 {C_2}$

la potencia instantánea disipada en la resistencia es:

$\dst P_d(t) = \frac {dE_p}{dt} = i^2(t) \ R$

y la energía total disipada es:

$\dst E_d = \int_0^{\infty} \ P_d(t) \ dt$

que si no me equivoque da:

$\dst E_d = \frac 1 2 \ C_p \ v^2_{C0}$

que como se ve no depende del valor de la resistencia ubicada entre los capacitores.

La energía Ed así calculada sumada a las finales de ambos capacitores, te debe dar la inicial.

s.e.u.o.

Suerte

- - - - - - Actualizado - - - - - -

Hola:

Para no dejar inconcluso el problema voy a hacer la demostración de la conservación de la energía, si mayores explicaciones. Partimos de la energía final del sistema:

$\dst E_T = E_d + E_{C1} + E_{C2}$

$\dst E_T = \frac 1 2 C_p v^2_{C0} + \frac 1 2 C_1 v^2_f + \frac 1 2 C_2 v^2_f$

$\dst E_T = \frac 1 2 \frac {C_1 C_2}{C_1 + C_2} v^2_{C0} + \frac 1 2 C_1 v^2_f + \frac 1 2 C_2 v^2_f$

$\dst \left\{ \begin{aligned} q_T & = C_1 v_{C0} \\ q_1 & = C_1 v_f \\ q_2 & = C_2 v_f \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad C_1 v_{C0} = (C_1 + C_2) v_f$


$\dst E_T = \frac 1 2 \frac {C_1 C_2}{C_1 + C_2} v^2_{C0} + \frac 1 2 (C_1 + C_2) v^2_f$

$\dst E_T = \frac 1 2 \frac {C_1 C_2}{C_1 + C_2} v^2_{C0} + \frac 1 2 (C_1 + C_2) \left( \frac {C_1}{C_1 + C_2} v_{C0} \right)^2$

$\dst E_T = \frac 1 2 \frac {C_1 C_2}{C_1 + C_2} v^2_{C0} + \frac 1 2 \frac {C_1^2}{C_1 + C_2} v^2_{C0}$

$\dst E_T = \frac 1 2 \frac {C_1}{C_1 + C_2} (C_2 + C_1) v^2_{C0}$

$\dst E_T = \frac 1 2 C_1 v^2_{C0} = E_{T0}$

Por otra parte, ya que nadie lo hizo, voy a hacer uso del espíritu critico. La siguiente frase de mi mensaje:

[FONT=Verdana]..... existe una energía disipada en los conductores aunque estos no tengan resistencia.[/FONT]

ahora creo que esta parte esta totalmente equivocada, y es una conclusión que sale de un análisis superficial, por ser generoso.

La deducción hecha sobre la potencia disipada en la resistencia R es valida para todos los valores de R, incluso para valores de R tan pequeños como queramos, pero no es valida para R=0, en este punto entra en conflicto con la disipación de energía en una resistencia (P=i² R), y gana esta ultima.
Todo esto lo que nos dice es que en un conductor ideal no se disipa potencia, y que para el balance de energía son incompatibles los modelos de conductor ideal y capacitor ideal, no se pueden usar juntos.

s.e.u.o.

Suerte

[Clarck Luis]

Re: Conservación de energía en capacitores

Gracias a ambos, en prin[FONT=arial]cipio t[/FONT]enia una idea parecida a la que Breogan plantea sobre el enunciado "existe una energía disipada en los conductores aunque estos no tengan resistencia" pero como podría pasar algo así xD. Por otro lado Julián ha resuelto el problema con un balance exacto de energías, pero con resultados algo distintos a los míos, lo cual me ha dejado bastante sorprendido. Usare las ecuaciones de la energia inicial para explicar mi punto.
Julián hizo:
$E = {\int}_{0}^{960 [\mu F]} 120 [V] dq =120x960 [\mu F] = 0.115 [J]$
Y yo hice:
$E =\frac{1}{C} {\int}_{0}^{960 [\mu F]} q dq=\frac{1}{2}Q.120=0.058 [J]$
Pues parece que tengo un problema matemático xD, ¿no se supone que son las mismas ecuaciones? En la primera supongo que se considera al "V" cte y sale de la integral obteniendo una simple multiplicación. En la segunda se expresa al "V" en función de la carga y la capacitancia, para luego en la solución reemplazar "Q/C" por "V" y realizar la operación. ¿Entonces cual es el error?
O para plantear mejor mi pregunta, si alguien me preguntara cual es la energía inicial del sistema ¿cual de las dos respuestas debería dar? y si las dos son igual de correctas que explicación debo dar para justificar dicha diferencia. Gracias de antemano.

[Julián]

Re: Conservación de energía en capacitores

Como el hilo era largo, realmente lo escribí sin pensar. Las ecuaciones que escribí están mal. Si te fijas la tensión (en el integrando) no es constante sino que depende de la carga, es por esto que:

$\dst {\int}_{{q}_{0}}^{{q}_{1}} V dq = {\int}_{{q}_{0}}^{{q}_{1}} \frac{Q}{C} dq$

Tal cual como tu lo has escrito.

Luego con respecto a la diferencia de energías que da, como dije anteriormente, se consideran capacitores ideales por ende no disipan energía en forma irreversible (en calor) sino de una manera reversible y conductores ideales, con conductividad infinita. Al parecer los modelos matemáticos son incompatibles, en la teoría de circuitos (que es una simplificación de la teoría de maxwell). Por ende, hay que seguir con las ecuaciones de maxwell.

Y por supuesto, al conectar los terminales de los capacitores (donde uno esta descargado), y al haber una elevada conductividad, las cargas son aceleradas y como son aceleradas irradian potencia en forma electromagnética a su vez también irradian debido a la doble variación de los campos eléctricos en el interior de los conductores.

Esto está describido en el teorema de poynting.

$\dst \nabla . \vec{S} = -\frac{\partial U}{\partial t} - \vec{J} . \vec{E}$

$\dst {\int}_{S} \vec{S}. d \vec{S}= -\frac{\partial}{ \partial t}{\int}_{V} (\frac{ {B}^{2}}{2 \mu} + \frac{ \varepsilon {E}^{2}}{2})d V - {\int}_{V} \vec{J}. \vec{E} d V$

Si el flujo de $\vec{S}$ es negativo, la potencia es entrante y si es positivo saliente. Sin duda como hay menos energía, una parte se fue, y por supuesto se fue en radiación electromagnética, en donde el vector de poynting $\vec{S}$ es la potencia por unidad de superficie.

Ahora bien, como no hay resistividad en los conductores, $\vec{E} \to 0$ lo que implica que $\vec{J}.\vec{E} \to 0$.

Por ende, la energía que falta, la irradiada implica una disminución en la energía de los campos, es este caso, al haber capacitores una disminución de la energía del campo eléctrico.

$\dst {E}_{raidada}=- {\int}_{V} (\frac{\partial}{\partial t}\frac{ \varepsilon {E}^{2}}{2})d V$


Hay energía irradiada porque, existe una variación en la densidad de corriente de conducción y desplazamiento:

$\dst \nabla \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \mu \frac{\partial \vec{J}}{\partial t} + \varepsilon \mu \frac{{\partial}^{2} \vec{E}}{{\partial t}^{2}}$

$\dst - \nabla \times \nabla \times \vec{E} = \mu \frac{\partial \vec{J}}{\partial t} + \varepsilon \mu \frac{{\partial}^{2} \vec{E}}{{\partial t}^{2}}$

$\dst {\nabla}^{2} \vec{E} = \mu \frac{\partial \vec{J}}{\partial t} + \varepsilon \mu \frac{{\partial}^{2} \vec{E}}{{\partial t}^{2}}$

En donde $\dst \vec{J} = \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ por ende : $\dst \frac{\partial \vec{J}}{\partial t} = \varepsilon \frac{{\partial}^{2} \vec{E}}{{\partial t}^{2}}$

Como no hay conductividad en los terminales de los capacitores, la variación en la corriente es un pulso, por lo tanto la onda electromagnética irradiada es un pulso.

[yansua]

Hola! Como calcularias la energía irradiada en este caso utilizando la integral qué propones para ello? Quisiera poder calcular la energía disipada de una forma que pueda justificar que pasó con ella. Saludos.