Análisis de cuadripolo con amplificador operacional

[Alriga]

Calcular los parámetros de impedancia del siguiente circuito con amplificador operacional ideal.

Procedemos a desarrollar la resolución completa (y algo más) de este antiguo hilo que ha sido consultado muchas veces por estudiantes de Cuadripolos. Utilizaremos unidades del SI. Que el OpAmp sea ideal significa que:

$I^+=0 \qquad I^-=0 \qquad V^+=V^-$

Las ecuaciones de impedancias del cuadripolo en forma matricial:

$\left( \begin{matrix} V_1 \\ V_2 \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} I_1 \\ I_2 \end{matrix}\right)$

Para calcular las impedancias:

z11)

$z_{11}=\dfrac{V_1}{I_1} \ \bigg ]_{I_2=0}$

Como $I^+=0$ aplicamos "divisor de tensión"

$I_1=\dfrac{V_1}{R_1+R_2}$

$$z_{11}=R_1+R_2$$

z12)

$z_{12}=\dfrac{V_1}{I_2} \ \bigg ]_{I_1=0}$

Como $I^+=0$ para que sea $I_1=0$ es necesario que sea $V_1=0$, por lo tanto

$$z_{12}=0$$

z21)

$z_{21}=\dfrac{V_2}{I_1} \ \bigg ]_{I_2=0}$

Como $I^+=0$ aplicamos la ley de Ohm

$I_1=\dfrac{V_1}{R_1+R_2}$

Como $I^+=0$ aplicamos "divisor de tensión"

$V^+=\dfrac{R_2}{R_1+R_2} \ V_1$

Como $I_2=0$ aplicamos "divisor de tensión"

$V^-=\dfrac{R_3}{R_3+R_4} \ V_2$

Como

$V^+=V^- \quad \Longrightarrow \quad V_1=V_2 \ \dfrac{R_3(R_1+R_2)}{R_2(R_3+R_4)}$

Sustituyendo:

$I_1=V_2 \ \dfrac{R_3}{R_2(R_3+R_4)}$

$$z_{21}=\dfrac{R_2(R_3+R_4)}{R_3}$$

Obsérvese que $z_{21} \neq z_{12}$ y por lo tanto el cuadripolo no es recíproco.

z22)

$z_{22}=\dfrac{V_2}{I_2} \ \bigg ]_{I_1=0}$

Como $I^+=0$ para que sea $I_1=0$ es necesario que sea $V_1=0$, por lo tanto

$V^+=0=V^- \ \Rightarrow I_{R_3}=0$

Como el OpAmp es ideal

$I^-=0$ conjuntamente con $I_{R_3}=0 \ \Rightarrow I_{R_4}=I_{R_3}=0 \ \Rightarrow U=0$

$I_2=\dfrac{V_2-U}{R_5}=\dfrac{V_2-0}{R_5}=\dfrac{V_2}{R_5}$

$$z_{22}=R_5$$

Sustituyendo valores numéricos obtenemos que la matriz de impedancias es:

$Z=\left( \begin{matrix} 10000 & 0 \\ 99000 & 100 \end{matrix}\right)$

Como extra, imaginemos que nos piden los parámetros de transferencia del cuadripolo. A partir de los parámetros de impedancia es muy fácil usar las fórmulas que transforman los unos en los otros, pero aquí vamos a deducirlos directamente del circuito eléctrico para seguir practicando el análisis de cuadripolos con amplificadores operacionales.

Las ecuaciones de transmisión del cuadripolo en forma matricial:

$\left( \begin{matrix} V_1 \\ I_1 \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} V_2 \\ -I_2 \end{matrix}\right)$

Para calcular los elementos de la matriz:

a11)

$a_{11}=\dfrac{V_1}{V_2} \ \bigg ]_{I_2=0}$

Aplicando "divisor de tensión"

$V^+=V_1 \ \dfrac{R_2}{R_1+R_2}$

$V^-=V_2 \ \dfrac{R_3}{R_3+R_4}$

$V^+=V^- \ \Rightarrow$

$$a_{11}=\dfrac{R_3(R_1+R_2)}{R_2(R_3+R_4)}$$

a12)

$a_{12}=-\dfrac{V_1}{I_2} \ \bigg ]_{V_2=0}$

$V^+=V_1 \ \dfrac{R_2}{R_1+R_2}$

$V^-=U \ \dfrac{R_3}{R_3+R_4}$

$U=-I_2 R_5$

$$a_{12}=\dfrac{R_3 R_5(R_1+R_2)}{R_2(R_3+R_4)}$$

a21)

$a_{21}=\dfrac{I_1}{V_2} \ \bigg ]_{I_2=0}$

$V^+=I_1 R_2$

$V^-=V_2 \ \dfrac{R_3}{R_3+R_4}$

$$a_{21}=\dfrac{R_3}{R_2(R_3+R_4)}$$

a22)

$V^+=I_1 R_2=V^-$

$\dfrac{V^-}{R_3}=\dfrac{U-V^-}{R_4}$

$U=-I_2 R_5$

Operando

$\dfrac{I_1 R_2}{R_3}=\dfrac{-I_2 R_5-I_1 R_2}{R_4}$

$$a_{22}=\dfrac{R_3 R_5}{R_2(R_3+R_4)}$$

Sustituyendo valores numéricos obtenemos que la matriz de transmisión del cuadripolo es:

$A=\left( \begin{matrix} 0.1010101 & 10.10101 \\ 0.0000101 & 0.0010101 \end{matrix}\right)$

El lector debería comprobar que si no hay errores debe satisfacerse:

$a_{11}=\dfrac{z_{11}}{z_{21}}$

$a_{12}=\dfrac{|Z|}{z_{21}}$

$a_{21}=\dfrac{1}{z_{21}}$

$a_{22}=\dfrac{z_{22}}{z_{21}}$

En donde

$|Z|=\left | \begin{matrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{matrix}\right | =z_{11} z_{22} - z_{12} z_{21}$

Saludos.

[Julián]

Re: Duda cuadripolo con operacional

Pero que lindo ejercicio, jeje

$V1= {z}_{11}{i}_{1}+{z}_{12}{i}_{2}$

$V2 = {z}_{21}{i}_{1}+{z}_{22}{i}_{2}$

Supongo que sabes como calcular cada parámetro $z$. La única diferencia que mete el operacional es una resistencia infinita entre sus entradas inversoras y no inversoras; por lo tanto no circulará corriente y la tensión entre estas entradas es la misma, ya que no hay caida de tensión. La salida del operacional, al tener una realimentación negativa será:

${V}^{+} = \frac{{V}_{0}{R}_{3}}{{R}_{4}}$

En donde ${V}^{+}$ es la tensión en la entrada no inversora.

Ten en cuenta como te van quedando las tensiones en las entradas, así como en la salida, ya que por ejemplo al calcular ${z}_{11}$, ${i}_{2}$ debe ser cero, es decir, cortocircuitar la salida.

Quizás dirás ¿cómo sé que tensión es ${V}^{+}$? , cuando calculas ${z}_{11}$ o ${z}_{21}$, es ${i}_{1} {R}_{2}$, ya que idealmente la resistencia de entrada del operacional es infinita.

Cualquier duda pregunta. Lo que si la idea es que lo hagas vos, yo te puedo ayudar nomás.

[Gigasnike95]

Alguien me da una pista de como puedo empezar este ejercicio:


Un saludo y gracias de antemano