Secundaria ¿Tremendo error de mi libro? Potencial en la superficie de un conductor

[alexpglez]

Esto está bien¿? Es que, casualmente en clase la profesora no completó los cálculos, por otra parte no le cuadraban y se acababa la clase. Básicamente, para cálcular el potencial en un punto, se integra la función y después se evalúa y no al revés, no¿?
Hizo los mismos cálculos que en el libro:

En el apartado r=R.
Ahí tampoco lo explica, incluso es otro error para el tercer apartado, ya que una integral definida de 0 nunca da una constante... Sé que el potencial está definido salvo una constante, ¿el potencial es siempre una función continua, por qué?

PD: quería editarlo para que se viese vertical y ahora se ven dos imágenes, cómo lo soluciono¿?

Gracias, Un saludo

[Weip]

Re: ¿Tremendo error de mi libro? Potencial en la superficie de un conductor

Esto está bien¿? Es que, casualmente en clase la profesora no completó los cálculos porque por otra parte no le cuadraban. Básicamente, para cálcular el potencial en un punto, se integra la función y después se evalúa y no al revés, no¿?

Sí, primero se resuelve y luego se sustituye. Es aplicar la regla de Barrow.

ya que una integral definida de 0 nunca da una constante

¿Cómo que nunca? Si derivas una constante te da 0. Por lo tanto si integras 0, te da una constante. Edito: perdón, había leído integral indefinida.

Sé que el potencial está definido salvo una constante, ¿el potencial es siempre una función continua, por qué?

Bueno en última instancia es porque el campo eléctrico lo es, y se le exige de antemano. Todas estas condiciones de continuidad, derivabilidad y demás son flexibles, es decir, cuando convienen se suponen de antemano.

[angel relativamente]

Re: ¿Tremendo error de mi libro? Potencial en la superficie de un conductor

Hola alex.
1- No veo el fallo del libro para $r=R$, ¿en qué punto se supone que se equivoca? Simplemente calcula una integral definida.
2- En efecto, el potencial eléctrico es continuo. Puedes ver algunas demostraciones matemáticas de las discontinuidades del campo eléctrico y el potencial. En cualquier caso, la razón principal es física. El potencial está ligado a la energía potencial, y en un campo conservativo no puedes ir de un punto a otro variando la energía "a saltos".
3- Observa que para el caso r<R, $V=\dst \int_{-\infty}^r\; \vec E \dd \vec r =\underbrace{\int_{-\infty}^R \; \vec E \dd \vec r}_{V_r} + \underbrace{\int_{R}^r \; \vec E \dd \vec r}_0$

PD: Veo que weip se me adelantó. Solo corregirle que, aunque en este caso el campo eléctrico es continuo, en general no tiene por qué serlo mientras que el potencial sí lo sera. En particular el campo electrico presenta discontinuidades al atravesar superficies cargadas. Pero no hay que olvidar que esto es una aproximación matemática debido a que en la naturaleza no existen superficies perfectas.

Saludos,

[The Higgs Particle]

Re: ¿Tremendo error de mi libro? Potencial en la superficie de un conductor

PD: quería editarlo para que se viese vertical y ahora se ven dos imágenes, cómo lo soluciono¿?

Cuando estás en el modo avanzado, si bajas a donde pone "archivos adjuntos", encontrarás un botón con la opción "gestionar archivos adjuntos". Una vez ahí seleccionas la imagen que quieres borrar y la eliminas.

Creo que cuando ya está publicado el hilo, no las puedes quitar

[Weip]

Re: ¿Tremendo error de mi libro? Potencial en la superficie de un conductor

PD: Veo que weip se me adelantó. Solo corregirle que, aunque en este caso el campo eléctrico es continuo, en general no tiene por qué serlo mientras que el potencial sí lo sera. En particular el campo electrico presenta discontinuidades al atravesar superficies cargadas. Pero no hay que olvidar que esto es una aproximación matemática debido a que en la naturaleza no existen superficies perfectas.

Cierto. Mejor no te explico la ida de olla que tenia en mente jajaja.

[alexpglez]

Re: ¿Tremendo error de mi libro? Potencial en la superficie de un conductor

Hola alex.
1- No veo el fallo del libro para $r=R$, ¿en qué punto se supone que se equivoca? Simplemente calcula una integral definida.

$$-\int_{\infty}^R \vec E \cdot d \vec r=-\int_{\infty}^R K \frac{Q}{R^2} dr=-K \frac{Q}{R^2} \int_{\infty}^R dr$$

Y esto un calculo directo lleva a $-K \frac{Q}{R^2} \int_{\infty}^R dr=-\lim _{a \to \infty}K \frac{Q}{R^2} (R-a)$
Pero después vuelve a corregir y escribe:

$$-\int_{\infty}^R \vec E \cdot d \vec r=-\int_{\infty}^R K \frac{Q}{R^2} dr=-K \frac{Q}{R^2} \int_{\infty}^R dr= K \frac{Q}{R}$$

Lo último, la verdad que no me había fijado, gracias. Lo único que r se mueve entre: $0 \leq r < \infty$, por tanto, no se puede escribir que varía desde - infinito, no¿? En fin, te he entendido.

Saludos

[angel relativamente]

Re: ¿Tremendo error de mi libro? Potencial en la superficie de un conductor

$$-\int_{\infty}^R \vec E \cdot d \vec r=-\int_{\infty}^R K \frac{Q}{R^2} dr=-K \frac{Q}{R^2} \int_{\infty}^R dr$$

Y esto un calculo directo lleva a $-K \frac{Q}{R^2} \int_{\infty}^R dr=-\lim _{a \to \infty}K \frac{Q}{R^2} (R-a)$
Pero después vuelve a corregir y escribe:

$$-\int_{\infty}^R \vec E \cdot d \vec r=-\int_{\infty}^R K \frac{Q}{R^2} dr=-K \frac{Q}{R^2} \int_{\infty}^R dr= K \frac{Q}{R}$$

Saludos

Toda la razón para ti, hay que integrar con la $r$ que es la variable de integración igual que en el caso 1, pero variando el límite a R donde sustituirías al final aplicando Barrow como entiendo que proponías. Por la calidad de la imagen había leído que el límite inferior de la integral era y por eso me cuadraba, pero obviamente no tenía sentido.
Saludos,