Otras carreras Problema con capacitores y dielectricos

[Wskywalker]

Hola, buenas tardes. Soy estudiante de ingeniería y en mi curso de física debo realizar el siguiente ejercicio.

Un capacitor de placas paralelas de área A separadas a una distancia d puede cargarse a un voltaje máximo de 30 kV cuando el material entre las placas es el aire (permitividad ε ₀). Un voltaje mayor produce la ruptura del aire. Cuando este mismo capacitor se llena con una sustancia dieléctrica de permitividad ε ₁=6 ε ₀ el voltaje máximo al cual se puede cargar es 150 kV. ¿Cuál es el voltaje máximo que se puede aplicar a cada uno de los capacitores de la figura?
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Lo que he intentado hacer, tanto para 1 como para 2, es separar el problema en cómo si fueran dos capacitores en serie (en 1) y dos capacitores en paralelo(en 2) y hallar la capacitancia equivalente. Para hallar el voltaje entre las placas necesito hallar la carga de estas.

Mi problema surge al intentar hallar la carga. Cuando están en serie, la carga es la misma para ambos capacitores pero no estoy seguro de si puedo usar la carga que se almacena en el capacitor sin dieléctrico (usando la distancia igual a d, ya que es el único caso donde conozco el voltaje (30kV)) y usarla para hallar el voltaje máximo de la configuración tal cuál se encuentra en (1). No sé si está mal mi razonamiento o si existe alguna otra manera de hallar la carga que se almacena en esta configuración usando los valores iniciales del problema.

Gracias.

[Al2000]

El caso (2) es simple y no requiere ningún cálculo. La tensión máxima será la del aire, 30 kV.

El caso (1) es más elaborado. Tienes un divisor de voltaje de condensadores y tienes que determinar cómo se "repartiría" un voltaje aplicado. Si tienes dos condensadores en serie a los cuales se aplica una tensión $V$, la tensión en cada condensador será:

$$V_1 = \frac {C_\text {eq}}{C_1} V, \quad V_2 = \frac {C_\text {eq}}{C_2} V$$

que sale inmediatamente de la igualdad de cargas para la conexión en serie ($Q = C_1 V_1 = C_2 V_2 = C_\text {eq} V$).

En este caso los dos condensadores son idénticos en sus dimensiones pero uno no tiene dieléctrico (lo llamo $C_1$) y el otro si ($C_2$). Se cumple que

$$C_2 = k C_1 \quad \Rightarrow \quad C_\text {eq} = \frac {C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac k {k+1} C_1 = \frac 1 {k+1} C_2$$

Entonces, al aplicar un voltaje $V$, los voltajes en cada uno de los condensadores serán:

$$V_1 = \frac k {k+1} V, \quad V_2 = \frac 1{k+1} V$$

Ahora ya podemos establecer las desigualdades. La tensión en cada condensador no debe superar la tensión máxima conocida para aire ($V_a$) y dieléctrico ($V_d$):

$$V_1 = \frac k {k+1} V < \frac 1 2 V_a, \quad V_2 = \frac 1{k+1} V < \frac 1 2 V_d$$

Entonces

$$\boxed {V = \frac 1 2 \mathrm {min} \left(\frac {k+1} k V_a, (k+1) V_d\right)}$$

Sustituye valores y listo. Si te queda alguna duda, pues pregunta.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

EDITO para corregir un error: La tensión máxima que soportan cada uno de los dos condensadores es la mitad de la indicada en el enunciado, pues la separación de placas es la mitad de la original. Lo importante es que el campo eléctrico (E = V/d) de ruptura no sea alcanzado en ninguno de los dos condensadores.

[Wskywalker]

Sí, a mi tampoco me quedaba muy claro la relación entre el voltaje máximo sin diélectrico y con diélectrico por la proporción. Anteriormente había intentado encontrar una relación como la que nombras en (1) pero no estaba totalmente seguro de si eso era correcto. Ahora me queda muchísimo más claro. Muchas gracias!

[Al2000]

Si tu comentario es debido a que alcanzaste a leer el párrafo que luego borré, permíteme aclarar que no fue más que un pensamiento sin fundamento, probablemente inducido por la cercanía de las dos relaciones, 5 ó 6. Pensándolo después con calma me percaté de que hasta donde yo conozco no existe una relación directa entre la constante dieléctrica y la rigidez dieléctrica. De hecho, en cualquier libro de Física a nivel universitario conseguirás que el autor cita tablas de valores de ambas propiedades para distintos materiales y podrás apreciar que no parece haber una relación entre ellas.

Por eso cuando hagas los cálculos numéricos, toma $V_a = 30\,\mathrm{kV}, \,\, V_d = 150\,\mathrm{kV},\, k = 6$ (asumiendo eso sea lo que aparece en el enunciado ).

Saludos,

$\mathcal A \ell$