Carga inducida encerrada por superficie gausiana

[JCB]

Hola a tod@s.

Agradezco la respuesta Richard, pero las condiciones del ejercicio las definiste tú, y de forma inequívoca, al abrir el hilo: conductor plano, infinito y neutro, a potencial no nulo.

He llegado a la conclusión de que por el método de las imágenes, no sé resolver el ejercicio considerando un potencial no nulo. El caso es que si consideramos dos cargas del mismo módulo pero de signo opuesto, situadas simétricamente respecto del plano conductor derecho, el potencial en un punto del plano resulta ser nulo, igual que la componente tangencial (paralela al plano) del campo eléctrico. Esto último es necesario, pues en el conductor no hay corriente, al estar en equilibrio electrostático.

Por el contrario, si queremos obtener un potencial no nulo, tenemos dos alternativas: la primera considerar cargas diferentes en módulo y la segunda, cargas iguales en módulo pero situadas asimétricamente. De esta forma el potencial en el plano ya no es nulo. Lo que ocurre, también, y por desgracia, es que en cualquiera de estos dos supuestos, el campo eléctrico tangencial, resulta ser no nulo, y por tanto el conductor ya no puede estar en equilibrio electrostático.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB, te doy mi respuesta , fijate si convence, sino aguarda mejores opiniones, que para eso la doy , si derrapo me gustaría me corrijan así, confirmo o aprendo..

Primero imagino que hablas de un plano infinito , y que en un punto cercano a ese plano es donde quieres calcular el campo.
Segundo para que el plano se cargue debes aportarle carga infinita.. porque? porque tiene superficie infinita , y como su densidad es finita y esta debe surgir de la relación entre ambos infinitos el de la carga sobre el de la superficie (es una relación entre los límites).
Tercero el potencial es el trabajo de llevar una carga desde el infinito hasta la posición que quieres evaluar. Si el campo es constante en todo el semiespacio y la distancia es infinita $(\infty-l)$ el trabajo es infinito luego el potencial en la superficie es infinito, por lo que siempre usamos diferencias de potencial, tomando ese punto como 0 de referencia. Por eso es más fácil poner a tierra el plano, para asignarle seguro potencial 0 o bien considerarlo aislado y sin carga, como originamos el hilo.

Como la diferencias de trabajos entre dos posiciones diferentes.. es la diferencia de potencial , la diferencia de potencial entre un punto y la superficie es directamente proporcional a la distancia.

$\Delta V =\dst \int_0^{\Delta l}E\cdot dl=E \cdot \Delta l=\dfrac{\sigma \Delta l}{2\epsilon_0}$

para que sirve lo del plano infinito, para empezar a ver capacitancia, si desprecias el efecto de borde ,entonces la carga sobre una placa finita tiene una densidad superficial de $\sigma=\dfrac{Q}{S}$ y el campo se lo puede considerar constante entre las placas del condensador...

Sobre tu pregunta final .. los potenciales que nos interesan son las diferencias relativas, y no los valores absolutos, porque puedes fijar 0 donde se te ocurra , y tener distintos potenciales en función de donde has puesto el 0. Pero la diferencia de potencial será la misma escojas donde escojas el cero.Te dejo en mejores manos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Me cuesta entender que la expresión del campo eléctrico en la superficie del conductor, sea independiente del potencial a que está el conductor. De hecho, todos los ejercicios sobre el método de las imágenes que he visto, son con el conductor a potencial . ¿ La explicación podría ser que $\vec{E}=-\vec{\nabla}V$ ?.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Estoy de acuerdo con lo que planteas tanto en 1) como en 2).

Hice el intento de calcular el campo en un punto en el interior del plano, pero no pude concluir nada definitivo. El software que tengo no se defiende muy bien evaluando la integral doble con límites infinitos y aun tomando límites finitos la solución diverge cuando considero el plano moderadamente grande.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Fíjate Richard, que estoy, todavía, en la fase preliminar de cargas. Aún no he abordado ni densidad de carga, ni campo eléctrico.

[Richard R Richard]

Coincido , así que, si no es así, los dos estamos equivocados, cuando Al2000 pase por aquí, por ahí si da el visto bueno ...o sino me pone el tiro de gracia a la expectativa de volver a entender algo del electromagnetismo, también ya van 30 años en que lo estudie y se me resiste lo obvio...

[JCB]

Hola a tod@s.

Richard: aunque vas muy rápido para mí, intento responderte. Suponiendo una carga de prueba $Q (+)$:

1) Caso presente, de conductor no conectado a tierra (conductor aislado y descargado). Como el conductor no tiene carga inicial, si la carga inducida en el lado derecho es $Q (-)$, la inducida en el lado izquierdo debe ser $Q (+)$. La carga total del conductor sigue siendo .

2) Caso alternativo, de conductor conectado a tierra. La carga inducida en el lado derecho sigue siendo $Q (-)$, pero en este caso, en el lado izquierdo no habría carga inducida, porque ya no haría falta que los electrones saliesen del propio material conductor (podrían venir a través de la toma de tierra). El conductor tendría una carga total igual a $Q (-)$.

Yo lo veo así, pero tampoco me hagas mucho caso, estoy verde en el tema, como he dicho antes.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

La expresión indicada por Al2000 para la densidad superficial en el lado derecho, está desarrollada en ambos libros mencionados, pero el conductor plano está conectado a tierra, y esto me desconcierta, pues no es el caso que nos ocupa.

Esa fue una de las preguntas que me hacía y me trajo a presentar el hilo...

Preguntate, el campo creado por la carga puntual y por la carga distribuida en el plano cambia si conectas el plano a tierra????..... no!!!, pero necesitaba autoconvencerme.

La diferencia creo esta en que al poner la tierra, el potencial de la placa entera cambia, la carga +Q del lado opuesto fluye a la tierra, la placa queda cargada con -Q, pero en el semiespacio del lado de la carga nada ocurre,la distribución no varía, luego el campo en esa región no varía. Bueno,eso me gustaría mucho creer.

[JCB]

Hola a tod@s.

Gracias Al2000, Richard y teclado por vuestros mensajes. Disculpad si no respondo con la rapidez que desearía, pero el tema de campos eléctricos no lo había vuelto a tocar desde hace mucho tiempo (unos 34 años), por lo que necesito recordar, repasar, y digerir de forma pausada y progresiva la materia. En mi época, tenía como referencia a los siguientes libros:

- Campos y ondas electromagnéticos (Lorrain – Corson).

- Electromagnetismo aplicado (Plonus).

La verdad es que los encuentro un poco crípticos para mi nivel actual. ¿ Conocéis alguno más pedagógico ?.

Dicho esto, Richard: los puntos 1) y 2) de mi mensaje # 9, no son más que lo escrito por Al2000 en su mensaje # 2. Quería aclararme un poco, fijar ideas y por eso lo he repetido en modo esquemático.

La expresión indicada por Al2000 para la densidad superficial en el lado derecho, está desarrollada en ambos libros mencionados, pero el conductor plano está conectado a tierra, y esto me desconcierta, pues no es el caso que nos ocupa.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

3) Dentro del conductor el campo eléctrico es , pues la suma de los campos creados por las cargas inducidas, más la de prueba, se anulan. Por otra parte, ¿ se puede demostrar que el campo eléctrico es , en el interior de un conductor sometido a un campo eléctrico externo ?. Al2000: quedo a la espera de otra de tus sutilezas .

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

Ahora que te han respondido, me animo, coincido en 1 y 2 , en 3 si las carga están en la superficie, haces una superficie ideal, que tenga toda la placa menos su superficie, analizas la carga encerrada y será nula, luego el campo es nulo por Gauss...

S el campo eléctrico no fuera nulo en alguna región interna del plano habría cargas en movimiento osea corriente, luego como no hay corriente, entonces el campo en el interior es nulo ...como consideramos la carga y al plano estáticos, tampoco hay corriente en su superficie.... ando errado?

[Al2000]

...
3) Dentro del conductor el campo eléctrico es , pues la suma de los campos creados por las cargas inducidas, más la de prueba, se anulan. Por otra parte, ¿ se puede demostrar que el campo eléctrico es , en el interior de un conductor sometido a un campo eléctrico externo ?...

En el cálculo del campo y de la densidad de carga se usa como primera consideración que el plano es conductor y se encuentra en condiciones electrostáticas, con todas las consecuencias que eso acarrea (campo nulo en el interior, etc.) Supongo que lo que deseas es hacer las cosas en la dirección contraria para verificar que todo cuadre... mmm, calcular el campo en un punto interior del conductor no es difícil, pero anticipo que se obtendrá una integral que no tendrá solución analítica.

Déjame jugar un rato con el Mathcad y luego te digo lo que obtuve.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Hola a tod@s.

Para aclararme las ideas y suponiendo a la carga de prueba $Q$ positiva.

1) La carga inducida en el lado izquierdo del plano es $Q (+)$. La densidad superficial es $\sigma=\dfrac{Q}{S(\infty)}=0$.

2) La carga inducida en el lado derecho del plano es $Q (-)$. La densidad superficial no es uniforme (varía radialmente) y se rige por la expresión dada por Al2000.

3) Dentro del conductor el campo eléctrico es , pues la suma de los campos creados por las cargas inducidas, más la de prueba, se anulan. Por otra parte, ¿ se puede demostrar que el campo eléctrico es , en el interior de un conductor sometido a un campo eléctrico externo ?. Al2000: quedo a la espera de otra de tus sutilezas .

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Aha! me iba a olvidar el jacobiano ,pero listo ya entiendo como es la cosa de fondo gracias Al2000

[Al2000]

$\dst \int_0^\infty \!\! \sigma_{(r)}\,(2 \pi r\, dr) \longrightarrow -Q$

[Richard R Richard]

De perogrullo Al2000, no hice cuentas , pero para evitarlas.... si integro esa densidad en toda el area, osea desde $r=0$ hasta infinito y multiplico por $2\pi$obtengo -Q ...no? si no estoy donde empece