Otras carreras Flujo campo vectorial

[Nathan]

Hola, soy nuevo por aquí y quería solventar un problema.
No sé cómo resolver lo siguiente:

Dado un campo vectorial $F=\frac{k}{r^2}e_r$ (coordenadas esféricas, $e_r$ vector de la base), calcular el flujo a través de la superficie cerrada en forma de corteza esférica centrada en el origen y de radio $R=1$.

Disculpen las molestias y gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Flujo campo vectorial

Entiendo que basta con la definición de fujo, $\oint \vec F\dd\vec S$. Ten en cuenta que en la superficie que indicas $\dd\vec S=\dd S\, \vec e_r$. El resultado es $4\pi k$

[Alriga]

Re: Flujo campo vectorial

Hola Nathan, bienvenido. Si vas a ser un usuario habitual de La Web de Física te puede ser útil echarle un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva
Y en este ejercicio en concreto, ¿como lo has planteado? ¿dónde te encallas?
Saludos.

EDITADO. Vaya, me he superpuesto con arivasm mientras escribía la respuesta, saludos arivasm

[Nathan]

Re: Flujo campo vectorial

Justo ahora leo vuestras respuestas y lo acababa de resolver:

$\int F dS= \int \frac{k}{r^2}dS=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{k}{r^2}r^2\sin({\theta})\partial{\theta}\partial{\varphi}$

Y ya resolviendo esa integral, como bien dices resulta $4k\pi$.

Ahora quiero calcular el flujo a través de una superficie abierta con forma de círculo de radio $R=1$ y centro $(0,0,1)$ pero eso sí que no logro hacerlo ya que no se como calcular el vector normal a la superficie.

El anterior llegué a completarlo, porque el vector normal a la superficie era el propio $e_r$, ¿tendría que hacer aqui un producto vectorial para hallar el normal? Si es así, no se entre que vectores hacerlo.

Por cierto, gracias por vuestra pronta respuesta!

Gracias a vosotros ahora sé que mi planteamiento era correcto, antes no estaba del todo seguro.

[Alriga]

Re: Flujo campo vectorial

... Ahora quiero calcular el flujo a través de una superficie abierta con forma de círculo de radio $R=1$ y centro $(0,0,1)$ pero eso sí que no logro hacerlo ya que no se como calcular el vector normal a la superficie...

Aquí creo que te falta algo para definir bien el problema, porque hay infinitos círculos de radio R=1 y centro en (0, 0, 1)
Saludos.

[Nathan]

Re: Flujo campo vectorial

No entiendo lo de los infinitos circulos, creo que ya lo he resuelto.
Pasé $\vec{F}=\frac{k}{r^2}e_r$ a coordenadas cartesianas, donde:
$\vec{F}=\frac{k}{r^2}(\cos(\varphi)\sin(\theta)\hat{i}+(\sin(\varphi)\sin(\theta))\hat{j}+(\cos(\theta))\hat{k})$

Multiplico y divido por $r$ y tengo que

$\vec{F}=\frac{k}{r^3}(r(\cos\\varphi)\sin(\theta)\hat{i}+r(\sin(\varphi)\sin(\theta))\hat{j}+r(\cos(\theta))\hat{k})$
y de ahí, por la deficion de $x, y, z$ tengo que:

$\vec{F}=\frac{k}{r^2}(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})$ como $P=(0,0,1)=(x,y,z)$ tengo que:

$\vec{F}=\frac{k}{r^3}\hat{k}$ y $d\vec{S}=\partial y\partial x\hat{k}$

Luego:

$\int\vec{F}d\vec{S}=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{k}{r^3}z\partial y\partial x$ donde además $r=1$ y $z=1$

luego: $\int\vec{F}d\vec{S}=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}k\partial y\partial x=k\pi$

No sé como hacer para que las integrales queden grandes, no sé si está bien este razonamiento.

[arivasm]

Re: Flujo campo vectorial

Ahora quiero calcular el flujo a través de una superficie abierta con forma de círculo de radio $R=1$ y centro $(0,0,1)$

Superficie en forma de círculo no tiene mucho sentido. Imagino que quieres decir que la superficie es una esfera con centro en (0,0,1).

$\vec{F}=\frac{k}{r^3}(r(\cos\varphi)\sin(\theta)\hat{i}+r(\sin(\varphi)\sin(\theta))\hat{j}+r(\cos(\theta))\hat{k})$
y de ahí, por la deficion de $x, y, z$ tengo que:

$\vec{F}=\frac{k}{r^2}(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})$ como $P=(0,0,1)=(x,y,z)$ tengo que:

Lo que pones de que (0,0,1)=(x,y,z) no es correcto. Por lo tanto, el desarrollo no es correcto.

Me temo que el cálculo directo es más complejo.

Si se trata de la esfera a la que me he referido antes el ángulo entre $\dd\vec S$ y $\vec e_r$ es $\theta$ y los puntos de la superficie satisfacen la ecuación $r=2\cos\theta$. Entiendo que lo más sencillo es tomar en consideración la simetría respecto del eje Z que tiene el problema.

[Nathan]

Re: Flujo campo vectorial

Mirare así, gracias

[arivasm]

Re: Flujo campo vectorial

Me he equivocado: el ángulo entre $\dd\vec S$ y $\vec e_r$ es $\theta$ y la ecuación de la esfera es $r=2\cos\theta$ (ya he corregido el post)

- - - Actualizado - - -

El resultado que obtengo es $\frac{4}{3}\pi k$.

[Nathan]

Re: Flujo campo vectorial

Muchas gracias por vuestra ayuda

[CARLIN]

Re: Flujo campo vectorial

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