Otras carreras Electrostática campo eléctrico en esfera

[Visitante]

He intentado este ejercicio más de una vez y no me sale por si me podéis ayudar.
Una distribución esférica (maciza) de radio R metros presenta una densidad de
carga p(r) = (A/r) ; r menor o igual a R
0; r mayor a R
donde A es una constante medida en [Cm-2] y r es la
distancia medida en metros entre cualquier punto y el centro de la distribución esférica.
a) Calcular la carga eléctrica total que contiene la distribución.
b) Calcular el módulo del campo eléctrico para un punto que cumpla r < R.
c) Calcular el módulo del campo eléctrico para un punto r > R.
d) Calcular la diferencia de potencial entre el centro y la superficie de la esfera
V(r= 0) − V(r = R).

[JCB]

Hola a tod@s.

a) El volumen de una corona esférica elemental situada a una distancia $r$ del centro de la esfera es $dV=4\pi r^2dr$. En esta corona esférica, la densidad de carga volumétrica es constante. Si integramos $dQ=\rho (r)dV$,

$Q=\dst\int_{V}\rho (r)dV=\dst\int_{0}^{R}\dfrac{A}{r}4\pi r^2dr=2\pi AR^2$.

b) De modo similar que en a), se puede concluir que la cantidad de carga eléctrica contenida en una esfera de radio $r<R$, es $Q(r)=2\pi Ar^2$. Aplicando Gauss,

$\dst\oint_{S}\vec{E}\vec{dS}=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon}=\dfrac{Q(r)}{\epsilon}$,

$E4\pi r^2=\dfrac{2\pi Ar^2}{\epsilon}$,

$E=\dfrac{A}{2\epsilon}$. Nota: para $r=0$, como la carga contenida es , entiendo que $E=0$.

c) En este apartado debemos considerar a toda la carga eléctrica. Nuevamente aplicamos Gauss, considerando una esfera gaussiana de radio $r>R$,

$E4\pi r^2=\dfrac{2\pi AR^2}{\epsilon_0}$,

$E=\dfrac{AR^2}{2\epsilon_0r^2}$.

d) El potencial en la superficie de la esfera $(r=R)$, lo considero fijando $V(\infty)=0$,

$V(R)-V(\infty)=-\dst\int_{\infty}^{R}\dfrac{AR^2}{2\epsilon_0r^2}dr=\dfrac{AR}{2\epsilon_0}=V(R)$.

El potencial en el centro de la esfera $(r=0)$, lo obtengo como la suma del trabajo por unidad de carga, para llevarla de $\infty$ hasta $R$, más de $R$ hasta el centro,

$V(0)=V(R)-\dst\int_{R}^{0}\dfrac{A}{2\epsilon}dr=\dfrac{AR}{2\epsilon_0}+\dfrac{AR}{2\epsilon}$.

Por último, la diferencia de potencial entre el centro y la superficie es

$V(0)-V(R)=\dfrac{AR}{2\epsilon}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

...
d) Según el apartado b) el campo eléctrico es constante en el interior de la esfera, luego la diferencia de potencial entre un punto muy próximo al centro $(r\approx0)$ y la superficie $(r=R)$ de la esfera es ...

Pasando por alto la dificultad conceptual de tener una densidad infinita en el centro de la esfera, un campo constante no implica un potencial nulo, sino más bien un potencial que varía linealmente con la distancia.

Saludos,

$\mathcal A \ell$.

[Al2000]

Lo veo bien, aunque yo siempre prefiero hacer las cosas de la forma más simple que pueda. Si conoces es campo en el interior, ¿por qué no simplemente usar ese campo para calcular la diferencia de potencial? Bueno, no me hagas caso... cada quien se rasca a su modo

[JCB]

Gracias Al2000. Me acabo de dar cuenta de que el título del hilo es incorrecto: no puede ser una esfera conductora.

[Richard R Richard]

Cambie el titulo incorrectamente , ya que solo era un pedido de ayuda, ya esta arreglado