Campo eléctrico cilindro cargado

[Sdk]

Sea un cilindro conductor macizo de radio a y altura h, con una densidad de carga volumétrica $\rho$.

El campo eléctrico en el exterior del cilindro metálico es:

$\varepsilon {\oint}_{S} \vec{E}. d \vec{S} = {\int}_{V} \rho d V$

Tomemos la superficie del cilindro que no considera las bases:

$\varepsilon E (2 \pi a ) = \rho \pi {a}^{2} h$

$E = \frac{1}{\varepsilon} \frac{\rho a h}{(2 )}$

Si usamos las coordenadas cilíndricas, entonces:

${E}_{r} = \frac{1}{\varepsilon} \frac{\rho r z}{(2 )} \hat{r}$

¿Cómo puedo proseguir a partir de ahora? No sé como "juntar" todo para tener: $\vec{E}( r, \phi, z) = {E}_{r} \hat{r}+{E}_{\phi} \hat{\phi}+{E}_{z} \hat{z}$

En cuanto a la sección inferior y superior del cilindro, tenemos que:

$\varepsilon E (2 \pi a + 2 \pi {a}^{2}) = \rho \pi {a}^{2} h$

$\varepsilon E ( 2 \pi {a}^{2}) = \rho \pi {a}^{2} h$

$E = \frac{\rho h}{2 \varepsilon}$

${E}_{z} = \frac{\rho z}{2 \varepsilon} \hat{z}$

Entonces:

$\vec{E}( r, \phi, z) = \frac{1}{\varepsilon} \frac{\rho r z}{2 } \hat{r}+\frac{\rho z}{2 \varepsilon} \hat{z}$


$\vec{E}( r, \phi, z) = \frac{\rho}{ 2 \varepsilon} ( r z \hat{r}+ z \hat{z})$


¿Es correcto?

[Al2000]

Sea un cilindro conductor macizo de radio a y altura h, con una densidad de carga volumétrica $\rho$....

¿Cómo dices?

[Sdk]

Cilindro de r=a y altura=h, de material conductor

[Richard R Richard]

Creo que tanto a mi como a Al2000 no nos cierra que sea un "conductor" que tenga "densidad volumétrica de carga"

[JCB]

Cierto, Richard.

[JCB]

Hola a tod@s.

Mediante la ley de Gauss, no puedes obtener el campo eléctrico para un cilindro de longitud finita. La ley de Gauss, solo puede aplicarse en casos de alta simetría:

- Línea infinita.
- Plano infinito.
- Cilindro de radio R y de longitud infinita.
- Esfera de radio R.

Saludos cordiales,
JCB.

[Sdk]

Si lo entiendo, las cargas se agrupan en la parte exterior de un conductor. Pero tomando el lado derecho de la ecuación de gauss, tenemos que la integral volumetrica de la densidad de carga volumétrica nos dará igual que la integral volumétrcia de la densidad de carga superficial. Si al fin y al cabo es la carga "encerrada"

[JCB]

Primero, tienes que aclarar si se trata de un conductor o un dieléctrico. Y segundo, si el cilindro tiene longitud finita o no.

[Sdk]

Hola a tod@s.

Mediante la ley de Gauss, no puedes obtener el campo eléctrico para un cilindro de longitud finita. La ley de Gauss, solo puede aplicarse en casos de alta simetría:

- Línea infinita.
- Plano infinito.
- Cilindro de radio R y de longitud infinita.
- Esfera de radio R.

Saludos cordiales,
JCB.

Esa es mi duda. Pero, ¿si tomo una superficie gaussiana como una esfera que encierre el cilindro conductor? Mi intuición me dice que no porque el campo resultante será análogo a una carga puntual. Entonces, ¿cómo es la regla?

[JCB]

Hola a tod@s.

No puedes aplicar una superficie gaussiana esférica a un cilindro. El campo eléctrico no sería perpendicular a la superficie gaussiana, y esta es una condición para poder aplicar la ley de Gauss.

Además, el hecho de suponer que el cilindro tiene longitud infinita, es para poder considerar que el campo eléctrico es perpendicular al eje del cilindro, y por tanto, el flujo eléctrico a través de sus bases es nulo.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Solo puedes sacar fuera de la integral el módulo del campo eléctrico, cuando este es constante sobre toda la superficie, pero con un cilindro finito no lo puedes garantizar sea cual fuere la superficie, solo puedes hacerlo cuando la longitud del cilindro sea infinita y el flujo del campo eléctrico por las tapas sea nulo.

[Sdk]

No puedes aplicar una superficie gaussiana esférica a un cilindro. El campo eléctrico no sería perpendicular a la superficie gaussiana, y esta es una condición para poder aplicar la ley de Gauss.

¿Y si planteo una superficie gausiana cilíndrica? ¿Qué impide que con dicha geometría aplique la ley de Gauss? ¿Los bordes del cilindro de material conductor? Entiendo que Richard R Richard en cierta manera lo respondió pero no llego a comprender del todo.

Solo puedes sacar fuera de la integral el módulo del campo eléctrico, cuando este es constante sobre toda la superficie, pero con un cilindro finito no lo puedes garantizar sea cual fuere la superficie, solo puedes hacerlo cuando la longitud del cilindro sea infinita y el flujo del campo eléctrico por las tapas sea nulo.

¿Eso quiere decir que para obtener el campo eléctrico mediante la ley de Gauss este tiene que ser constante en toda la superficie?

Además, el hecho de suponer que el cilindro tiene longitud infinita, es para poder considerar que el campo eléctrico es perpendicular al eje del cilindro, y por tanto, el flujo eléctrico a través de sus bases es nulo.

Es un cilindro finito. Estoy planteando una situación real, debido a que quiero plantear el campo eléctrico de una jabalina de puesta a tierra. Antes de plantear el campo eléctrico mediante la ley de coulomb $E = \int \frac{ d \rho}{4 \varepsilon \pi {r}^{2}} dr$ quiero comprender porqué no puedo usar la ley de gauss en este caso.

[JCB]

Hola a tod@s.

Partimos de un cilindro conductor de radio $R$ y longitud infinita. Está cargado con una densidad superficial de carga $\sigma$. Considerando una superficie cilíndrica coaxial de radio $r>R$ y de longitud $l$,

$\dst\oint_{S}\vec{E}\vec{dS}=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}$,

$E2\pi rl=\dfrac{\sigma 2\pi Rl}{\epsilon_0}$,

$E=\dfrac{\sigma R}{\epsilon_0r}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Sdk]

Partimos de un cilindro conductor de radio y longitud infinita

El inconveniente es que el cilindro al que necesito calcular el campo eléctrico no es de longitud infinita, por lo no es posible calcular el campo eléctrico en el espacio a partir de un cilindro conductor de longitud infinita. Esto es debido a que en sus extremos el campo eléctrico es relevante.

[JCB]

Totalmente de acuerdo. Por eso deberás utilizar otro método.

[Richard R Richard]

¿Y si planteo una superficie gausiana cilíndrica? ¿Qué impide que con dicha geometría aplique la ley de Gauss? ¿Los bordes del cilindro de material conductor? Entiendo que Richard R Richard en cierta manera lo respondió pero no llego a comprender del todo.

La superficie cilíndrica que rodee el conductor finito , no tiene el campo constante en toda la superficie, luego no puedes sacar factor común fuera de la integral $\int_s \vec E \vec {ds}$ al campo E como una constante,

¿Eso quiere decir que para obtener el campo eléctrico mediante la ley de Gauss este tiene que ser constante en toda la superficie?

Claro , y geométricamente hallar tal superficie es dificil, solo tienes como dato , el total de la carga encerrada, pero el campo varía de dirección cerca de los bordes en función la distancia a las tapas y la superficie curva, , por eso si bien puedes medir el campo en cualquier punto, solo sabes cuánto vale el flujo del campo a través de toda la superficie, pero eso no te asegura que sea constante ni siquiera perpendicular a toda ella en cada punto.

Es un cilindro finito. Estoy planteando una situación real, debido a que quiero plantear el campo eléctrico de una jabalina de puesta a tierra. Antes de plantear el campo eléctrico mediante la ley de coulomb $E = \int \frac{ d \rho}{4 \varepsilon \pi {r}^{2}} dr$ quiero comprender porqué no puedo usar la ley de gauss en este caso.

Cuanto más larga la varilla menor es el campo que se escapa por las tapas, luego una jabalina la puedes tratar como aproximación a jabalina infinita , mientras evalúas el campo lejos de los extremos. y aclarando la aproximación que haces

[Sdk]

Cuanto más larga la varilla menor es el campo que se escapa por las tapas, luego una jabalina la puedes tratar como aproximación a jabalina infinita , mientras evalúas el campo lejos de los extremos. y aclarando la aproximación que haces

Exelente.

Te refieres a que si h >> a, es decir, si la altura del cilindro es mucho mayor al radio. ¿Puedo aproximar el campo y obtener el valor mediante la ley de Gauss y modelizando al cilindro con longitud infinita?

Es decir:

${\int}_{S} \vec{E}.d \vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon}$

$\vec{E} 2 \pi r h = \frac{Q}{\varepsilon}$

$\vec{E} = \frac{Q}{2 \varepsilon \pi r h}$.

Por cierto una segunda pregunta. En ese caso el campo eléctrico no está en función del diferencial superficie, por lo que lo podemos sacar afuera de la integral y el diferencial superficie en cordenadas cilindricas es: $dS = d \phi d z$ y el campo solamente depende de $r$ y no de $\phi$ y $z$ ¿correcto?

[JCB]

Hola a tod@s.

Tu aproximación por Gauss en el mensaje # 14, es lo mismo que mi mensaje # 11. La aproximación por Gauss, solo te permite hallar el campo en puntos perpendiculares al eje longitudinal, no te permite calcular el campo en puntos situados en el eje longitudinal. Opino que si el cilindro tiene una longitud mucho mayor que el radio, lo correcto es hacer la aproximación mediante una carga lineal de longitud finita, integrando.

- Sitúo el “cilindro” (venido a menos) en el eje $X$, con el eje $Y$ haciendo de mediatriz. Para facilitar los cálculos y la expresión final, considero que la longitud es $2l$, en lugar de $l$. Luego, para puntos situados sobre el eje $X$, a $x=a$ del origen, obtengo

$E_x=\dfrac{kQ}{a^2-l^2}$.

- En la misma disposición que la anterior, pero para puntos situados sobre el eje $Y$, a $y=b$ del origen, obtengo

$E_y=\dfrac{kQ}{b\sqrt{b^2+l^2}}$.

Nota: $Q=2\lambda l$.

Saludos cordiales,
JCB.