Problema de condensadores.

[Visitante]

Hola muy buenas solicito ayuda para realizar el siguiente problema ya que no lo entiendo muy bien o mejor dicho nada:

Se dispone de dos condensadores plano-paralelos idénticos que se cargan mediante una conexión en paralelo a una batería que suministra una diferencia de potencial V. Una vez cargados se aísla el paralelo de la batería y se rellena el espacio entre las placas de uno de los condensadores con un dieléctrico de permitividad relativa εr. Cuando se alcanza el equilibrio de nuevo, se observa que el condensador al que no se le ha insertado dieléctrico almacena una carga igual a la mitad de la que tenía inicialmente (antes de insertarle el dieléctrico al otro condensador). Calcular:
a) La nueva diferencia de potencial V’ entre los extremos del paralelo. Exprese este resultado en función de V.
b) El valor de la permitividad relativa del dieléctrico εr.

Gracias.
y que tengan un buen dia .

[Alriga]

Observa que el ejercicio se razona de forma muy sencilla sin necesidad de alardes algebraicos:

En la situación inicial ambos condensadores al ser mecánica y materialmente iguales tienen la misma capacidad, que vamos a llamar $Ca$

Como están en paralelo, ambos están sometidos a la misma tensión V

Como la carga almacenada se calcula mediante $Q=C_a V$ la carga ha de ser la misma Q para ambos. Y la carga total de la pareja de condensadores es Q+Q=2Q

Según el enunciado, en la situación final, el condensador inalterado tiene una carga Q/2. Como la capacidad no se ha alterado la tensión ha de ser V/2 para que se cumpla que:

$C_a=\dfrac{Q/2}{V/2}=\dfrac Q V$ permanece inalterada.

Si se conserva la carga de la pareja y el condensador inalterado ahora tiene una carga Q/2 el otro ha de tener 2Q-Q/2=3Q/2

Como están en paralelo la tensión después de la alteración ha de ser V/2 para ambos. Eso significa que al introducir el dieléctrico en el condensador que hemos alterado, su capacidad necesariamente ha variado y ahora debe ser:

$C_b=\dfrac{3Q/2}{V/2}=3\dfrac Q V=3C_a$

Si la capacidad se ha multiplicado por 3 sin que hayamos alterado la geometría del condensador, eso significa que la permitividad relativa del dieléctrico introducido es 3.

Saludos.

muchas gracias

[Trisko]

Bueno lo primero que hay que aclarar es que si tienes cualquier elemento electrónico en paralelo eso significa que están a la misma diferencia de potencial esto se puede demostrar por la segunda ley de Kirchoff, además disponemos de otro dato importante que es la conservación de la carga, ambos se pueden demostrar aunque no lo haré a no ser que me lo pidas por no desviarme de la pregunta. Entonces con estas dos premisas atemos cabos, inicialmente tenemos que:
$C=\dfrac{Q}{V} \hspace{1cm} C=\dfrac{Q}{V}$
No diferenciamos los condensadores ya que se nos dice que ambos son idénticos y tendrán por tanto la misma carga al inicio. Una vez desconectamos la batería y metemos el dieléctrico en cualquiera de los dos condensadores y al que llamaremos $C_{d}$ se tiene que:
$Q+Q=q_{1}+q_{2}=\dfrac{Q}{2}+q_{2} \rightarrow q_{2}=\dfrac{3Q}{2}$
Hemos llamado $q_{1}$ a la carga del condensador sin dieléctrico que se nos dice que es la mitad de la que tenía inicialmente, y $q_{2}$ sería la carga que tendrá el condensador con dieléctrico. Para obtener el nuevo potencial en función del inicial haremos lo siguiente:
$C=\dfrac{q_{1}}{V^{'}}=\dfrac{Q}{2V^{'}}=\dfrac{Q}{V} \rightarrow V^{'}=\dfrac{V}{2}$
Aquí hemos igualado la capacidad del condensador ya que sabemos que es constante debido a que es un término puramente geométrico aunque puedes obviar este comentario y dar por hecho que la capacidad de un condensador siempre es la misma.
De aquí sacaremos entonces la permitividad relativa de forma que:
$C_{d}=\dfrac{q_{2}}{V^{'}}=\dfrac{\varepsilon A}{d} \rightarrow \varepsilon=\dfrac{3dQ}{VA}$
$\varepsilon_{r}=\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}} \rightarrow \varepsilon_{r}=\dfrac{3dQ}{VA\varepsilon_{0}}$
Dónde hemos tenido en cuenta que un condensador plano-paralelo totalmente rellenado tiene una capacidad $C=\dfrac{\varepsilon A}{d}$ sabiendo que A es el área del condensador y d es la distancia entre planos (puedo demostrarlo también si me lo pides).

hola muchas gracias por contestar mi pregunta y agradecia una demostracion ya que eso me ayudara a entender un poco mas el ejercicio

[Trisko]

¿Sobre que en concreto de lo que te propuse quieres la demostración? Y antes de hacerlo ¿Tienes nivel básico (1º de carrera) de cálculo diferencial e integral? Lo digo porque sino no entenderás ninguna de las demostraciones.

si me puedes enviar la demostración sin problema, gracias.

[Trisko]

Si pero en el post supuse estos hechos: segunda ley de Kirchoff, conservación de la carga y dependencia geométrica de la capacidad. Por eso te pregunto sobre que lo quieres o si quieres todos vaya jajaja.

la conservación de la carga si es posible.

[Trisko]

La conservación de la carga realmente no se puede demostrar en el sentido puramente matemático de hecho se parte de esa hipótesis que supone la base del electromagnetismo, y todas las demás teorías como la física cuántica o la relatividad también la aceptan. La "demostración" es que es una magnitud cuantizada y su conservación es un principio (de ahí que se diga principio de conservación de carga), es decir, es un punto de partida como ya comenté antes, y esto es debido a que hasta la fecha los experimentos muestran tal comportamiento en esta magnitud. Si bien es cierto que se puede deducir la conservación de la carga a partir del teorema de Noether es precisamente eso lo que lo caracteriza ya que como teorema se partió de la aceptación de este hecho.
En definitiva la conservación de la carga no puede demostrarse, como mucho se puede reprobar con hechos como que los quarks presentan cargas fraccionarias en el modelo estandard lo cual podría indicarnos que no es cierta pero como ya dije no se ha registrado tal comportamiento.

[Visitante]

Muchas gracias por su tiempo

[athox]

Hola llevo un par de dias intentando hacer este problema pero no consigo sacarlo, me podria ayudar alguien? Es para una entrega que tengo que hacer el miercoles.
El problema es el siguiente:

Se dispone de dos condensadores plano-paralelos idénticos que se cargan mediante una conexión en paralelo a una batería que suministra una diferencia de potencial V. Una vez cargados se aísla el paralelo de la batería y se rellena el espacio entre las placas de uno de los condensadores con un dieléctrico de permitividad relativa εr. Cuando se alcanza el equilibrio de nuevo, se observa que el condensador al que no se le ha insertado dieléctrico almacena una carga igual a la mitad de la que tenía inicialmente (antes de insertarle el dieléctrico al otro condensador). Calcular: a) La nueva diferencia de potencial V’ entre los extremos del paralelo. Exprese este resultado en función de V. b) El valor de la permitividad relativa del dieléctrico εr.
Gracias de antemano.

[Abdulai]

Se dispone de dos condensadores plano-paralelos idénticos que se cargan mediante una conexión en paralelo a una batería que suministra una diferencia de potencial V.

$Q_{total}=(C+C)V = 2CV$

Una vez cargados se aísla el paralelo de la batería y se rellena el espacio entre las placas de uno de los condensadores con un dieléctrico de permitividad relativa εr.

La carga total se conserva y la capacidad del condensador ahora es $\epsilon_r C$, por lo tanto: $Q_{total}=(C+\epsilon_r C)V_{final} = (1+\epsilon_r)CV_{final}$

Cuando se alcanza el equilibrio de nuevo, se observa que el condensador al que no se le ha insertado dieléctrico almacena una carga igual a la mitad de la que tenía inicialmente (antes de insertarle el dieléctrico al otro condensador).

Dado que en un condensador $Q=CV$ si $Q_{final}=\dfrac{Q}{2}\;\;\Longrightarrow\;\; V_{final} = \dfrac{V}{2}$

Calcular: a) La nueva diferencia de potencial V’ entre los extremos del paralelo. Exprese este resultado en función de V.

Es el resultado anterior.

b) El valor de la permitividad relativa del dieléctrico εr.

Con las dos primeras ecuaciones y sabiendo que $V_{final} = \dfrac{V}{2}$ , despejás $\epsilon_r$

[athox]

Muchas gracias por tu respuesta y tu tiempo me has sido de gran ayuda.

[Alriga]

Hola athox bienvenido a La web de Física, como miembro reciente lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Este mismo ejercicio también se planteó y se resolvió hace poco aquí, además de leer la respuesta de Abdulai, consulta el hilo: Problema de condensadores

Saludos.

[athox]

Es cierto que estaba ya en el foro, ni me habia fijado, gracias de todas formas y un saludo!