Problema Circuito Corriente Alterna

[Myke]

Tras solucionar los errores mencionados anteriormente he obteniddo los siguientes valores:
$I_2= \dfrac{38.424\:-\:j1.74280(-j12)}{\left(j12\right)\left(-j12\right)} = 1.45233-3.202j A$

$I_2 = \sqrt{1.45233^2+(-3.202)^2} = 3.51597 A$

$\phi=arctan \dfrac{1.45233}{-3.202} = -0.42581 rad$


$I_3 = \frac{38.424\:-\:j17.4280(20+j20)}{\left(20-j20\right)\left(20+j20\right)} = 0.5249+1.3963j A$

$I_3 = \sqrt{1.3963^2+0.5249^2} = 1.49170 A$

$\phi=arctan \dfrac{0.5249}{1.3963} = 0.35957 rad$

A continuación, solo tendría dudas con los dos últimos apartados.

[Alriga]

$I_2= \dfrac{38.424\cancel{-j1.74280}(-j12)}{\left(j12\right)\left(-j12\right)} = 1.45233-3.202j \cancel A$

$I_2 = \sqrt{1.45233^2+(-3.202)^2} = 3.51597 A$

$\phi=\arctan \cancel{\dfrac{1.45233}{-3.202}}$


$I_3 = \dfrac{38.424\cancel{-j1.74280}}{20-j\cancel{20}}$

$I_2= \dfrac{(38.4238+j17.4285)(-j12)}{(j12)(-j12)} = 1.4524-j 3.2020$

$I_2 = \sqrt{1.4524^2+(-3.2020)^2} = 3.5160 \ A$

$\phi_2=\arctan\dfrac{-3.2020}{1.4524}=-1.1450 \ rad=-65.60^{\circ}$

$I_2=3.5160 \ A \angle -65.60^{\circ}$

$I_3 = \dfrac{38.4238+j17.4285}{20-j 16.6667}$

Haz las operaciones.

Ahora, la tensión en cada componente has de obtenerla multiplicando la corriente que pasa por el componente, por la impedancia de ese componente. Multiplicación que has de realizar con números complejos.

Recuerda siempre que:

* Las multiplicaciones y divisiones de números complejos son más fáciles en forma polar

$M_1\angle \phi_1 \cdot M_2\angle \phi_2=(M_1\cdot M_2)\angle (\phi_1+\phi_2)$

$\dfrac{M_1\angle \phi_1}{M_2\angle \phi_2}=\left (\dfrac{M_1}{M_2}\right )\angle (\phi_1-\phi_2)$

* Mientras que obviamente las sumas y restas de números complejos son más fáciles en forma binómica

$(a_1+jb_1)+(a_2+jb_2)=(a_1+a_2)+j(b_1+b_2)$

Saludos.

[Myke]

Muchas gracias Alriga . En cuanto a las tensiones he empleado las siguientes relaciones

$I_3 = \frac{38.4238-j17.4285\left(20+j\:16.6667\right)}{\left(20-j\:16.6667\right)\left(20+j\:16.6667\right)} = 0.7052+1.4592j A$
Falta aplicar la relación módulo - argumento pero quería confirmar previamente que el resultado de dicha corriente es correcto

Para el cálculo de las tensiones, ¿son correctas las siguientes relaciones?
$V_1=I_1*Z_1 = 21.576 - j17.428$
$V_2=I_2*Z_2 = 38.424 + j17.4288$
$V_3=I_3*Z_3 = 8.571350476+6.19667906j$

Efecto Joule en R1
P = (V_s)² / R1 = 60² / 10
P = 360 W

Factor de Potencia
Bobina → Factor de Potencia = -π / 2
Factor de Potencia = cos -π / 2 = 0

Potencia Activa
$P_a=U * I * cos\alpha$
$\alpha=arctan \dfrac{X_L}{R}$

No sé si también se puede obtener como:
$P_a=R * I^2= \dfrac{U^2}{R}$
$P_a = \dfrac{(38.424+j17.4280)^2}{10}=117.2668592+133.9306944i$

Si existen errores en cálculos anteriores y me pueden orientar, así como, si en los cálculos correspondientes al cálculo de la potencia media disipada en la resistencia de la rama de la fuente y el factor de potencia del circuito y la potencia activa proporcionada por l existen fallos y me los pueden indicar para de esta forma, no extender el hilo mucho, estaría muy agradecido

Gracias reiteradas

[Alriga]

En la rama de I1

$Z_1=R=10+j0=10$

En la rama de I2

$\boldsymbol{f=6 \ kHz=6000 \ Hz}$

$w=2\pi f$

$Z_2=X_L=j w L=j (2\pi 6000)\left (\dfrac 1{\pi} 10^{-3} \right )=j12$

En la rama de I3

$Z_C=X_C=-\dfrac j{w C}=-\dfrac j{2\pi 6000\dfrac{10}{2\pi}10^{-6}}=-j16.6667$

$Z_3=R+R-\dfrac j{w C}=20-j16.6667$

Ahora observa que $Z_2$ y $Z_3$ están en paralelo, hay que calcular su impedancia equivalente $Z_p=Z_2 || Z_3$ calculando en números complejos:

$\dfrac 1{Z_p}=\dfrac 1{Z_2}+\dfrac 1{Z_3}$

Operando:

$Z_p=\dfrac 1{\dfrac 1{Z_2}+\dfrac 1{Z_3}}$

Que operando es lo mismo que:

$Z_p=\dfrac{Z_2 Z_3}{Z_2+Z_3}$

Finalmente para hallar la impedancia total del circuito observa que $Z_p$ queda en serie con la resistencia de la izquierda. Por lo tanto la impedancia total del circuito que te piden en el apartado (a) es:

$Z=10+Z_p$

Que es un número complejo. Cuando tengas ese valor el circuito ha quedado simplificado al generador conectado a los terminales de Z y puedes calcular, en números complejos, la corriente que suministra el generador:

$I_1=\dfrac{60}Z$

$Z_p=\dfrac{200+j240}{20-j4.6667}$

Ahora tienes que multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador para eliminar el número complejo del denominador

$Z_p=\dfrac{(200+j240)(20+j4.6667)}{(20-j4.6667)(20+j4.6667)}$

O alternativamente, pasar primero el numerador y el denominador a forma módulo-argumental para hacer la división más sencilla:

$Z_p=\dfrac{200+j240}{20-j4.6667}=\dfrac{312.41\angle 50.19^{\circ}}{20.5372\angle -13.13^{\circ}}$

Desempolva tu libro de matemáticas de bachillerato de números complejos y repasa el tema de las operaciones con números complejos. Si no operas con soltura números complejos no vas a poder avanzar. Haz las operaciones hasta que te de:

$Z_p=6.8286+j13.5933$ (forma binomial)

$Z_p=15.2119\angle 63.33^{\circ}$ (forma polar)

$Z=10+Z_p=16.8286+j13.5933$

Módulo de Z

$Z=\sqrt{16.8286^2+13.5933^2}$

Argumento de Z

$\phi=\arctan\dfrac{13.5933}{16.8286}$

Y ahora continua, mira el circuito simplificado de más a la derecha y calcula:

$I_1=\dfrac{60}Z=\dfrac{60}{16.8286+j13.5933}$

Para dar el valor de una corriente, una tensión o una impedancia es obligatorio siempre eliminar denominadores complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

$I_1=\dfrac{60(16.8286-j13.5933)}{(16.8286+j13.5933)(16.8286-j13.5933)}$

También puedes hacer la división (es más fácil) usando la forma módulo-argumental que has obtenido de Z :

$I_1=\dfrac{60}{Z\angle \phi}$

Después, mira el circuito del centro, puedes calcular U de dos maneras, (comprueba que obtienes lo mismo) :

$U=60-R I_1$

Obien:

$U=Z_p I_1$

La corriente I2, mira el circuito de la izquierda:

$I_2=\dfrac U{Z_2}$

Puedes calcular de dos formas la corriente I3 :

$I_3=\dfrac U{Z_3}$

O bien mediante la 1ª ley de Kirchhoff:

$I_3=I_1-I_2$

$Z=21.6325\angle 0.6795=21.6325 \ \Omega \angle 38.93^{\circ}$

$I_1=2.1576-j1.7429=2.7736\angle -0.6795=2.7736 \ A \angle -38.93^{\circ}$

$U=60-R I_1=60-10(2.1576-j1.7429)=38.4238+17.4285=42.1917\angle 0.4258=42.1917 \ V \angle 24.40^{\circ}$

$I_2= \dfrac{(38.4238+j17.4285)(-j12)}{(j12)(-j12)} = 1.4524-j 3.2020$

$I_2 = \sqrt{1.4524^2+(-3.2020)^2} = 3.5160 \ A$

$\phi_2=\arctan\dfrac{-3.2020}{1.4524}=-1.1450 \ rad=-65.60^{\circ}$

$I_2=3.5160 \ A \angle -65.60^{\circ}$

$I_3 = \dfrac{38.4238+j17.4285}{20-j 16.6667}$

Haz las operaciones.

Ahora, la tensión en cada componente has de obtenerla multiplicando la corriente que pasa por el componente, por la impedancia de ese componente. Multiplicación que has de realizar con números complejos.

Recuerda siempre que:

* Las multiplicaciones y divisiones de números complejos son más fáciles en forma polar

$M_1\angle \phi_1 \cdot M_2\angle \phi_2=(M_1\cdot M_2)\angle (\phi_1+\phi_2)$

$\dfrac{M_1\angle \phi_1}{M_2\angle \phi_2}=\left (\dfrac{M_1}{M_2}\right )\angle (\phi_1-\phi_2)$

* Mientras que obviamente las sumas y restas de números complejos son más fáciles en forma binómica

$(a_1+jb_1)+(a_2+jb_2)=(a_1+a_2)+j(b_1+b_2)$

$I_3=0.7052+j1.4591=1.6206\angle 1.1206=1.6206 \ A \angle 64.20^{\circ}$

c) La tensión en cada componente

El circuito tiene 6 componentes: 1 generador, 3 resistencias, 1 inductancia y 1 condensador.

$U_g=60 \ V \angle 0$ Ya que lo hemos definido como fasor de referencia

$U_{R_g}=R I_1=10 (2.7736 \angle -38.93^{\circ})= 27.7360 \ V \angle -38.93^{\circ}$

$U_L=U=42.1917 \ V \angle 24.40^{\circ}$

$U_{R_{31}}=R I_3=10(1.6206 \angle 64.20^{\circ})=16.2063 \angle 64.20^{\circ}$

$U_{R_{32}}=R I_3=10(1.6206 \angle 64.20^{\circ})=16.2063 \angle 64.20^{\circ}$

$Z_C=-j16.6667=16.6667\angle -90^{\circ}$

$U_C=Z_C I_3=(16.6667\angle -90^{\circ})(1.6206 \angle 64.20^{\circ})=27.0105 \ V \angle -25.80^{\circ}$

d) La potencia media disipada en la resistencia de la rama de la fuente

$P_{R_g}=R I_1^2=10 \cdot 2.7736^2=76.9286 \ W$

O alternativamente:

$P_{R_g}=\dfrac{U_{R_g}^2}R=\dfrac{27.7360^2}{10}=76.9286 \ W$

No lo piden, pero la potencia disipada por las otras 2 resistencias que están en serie con el condensador es:

$P_{R3}=2 R \ I_3^2=20 \cdot 1.6206^2=52.5287 \ W$

e) El factor de potencia del circuito y la potencia activa proporcionada por la fuente

Recordemos que nos ha salido como impedancia total del circuito:

$Z=21.6325\angle 0.6795=21.6325 \ \Omega \angle 38.93^{\circ}$

$\cos \phi= \cos 38.93^{\circ}=0.7779$

$P_g=U_g I_1 \cos \phi=60\cdot 2.7736 \cdot 0.7779=129.4573 \ W$

Sumemos las potencias disipadas por las 3 resistencias del circuito:

$P_R=76.9286+52.5287=129.4573 \ W$

Nos sale que la potencia suministrada por el generador es igual a las consumida por las resistencias, como debe ser.

Saludos.

[Myke]

Muchas gracias Alriga. Tenía una pequeña duda y es que no termino de visualizar el valor de $U_L=U=42.1917 \ V \angle 24.40^{\circ}$

[Alriga]

Muchas gracias Alriga. Tenía una pequeña duda y es que no termino de visualizar el valor de $U_L=U=42.1917 \ V \angle 24.40^{\circ}$

Es evidente, mira el dibujo del circuito, (el de la izquierda): le hemos llamado "U" precisamente a la tensión de la bobina.

Saludos.

[inakigarber]

Buenas tardes;

Interesante problema. Llevaba más de 30 años sin enfrentarme a un problema de estos, y no se si he sabido hacer bien los resultados que me han salido. No he visto los vuestros.
A mi me sale;

$$Z_t=15-15j=21.213202 \angle {-\pi/4}$$

$$I_t=2+2j=2.8228 \angle{\pi/4}$$

$$\cos {\phi}=0.7071$$

No he podido llegar de momento más lejos. Seguiré intentándolo.

[Alriga]

A mi me sale;

$$Z_t=15-15j=21.213202 \angle {-\pi/4}$$

$$I_t=2+2j=2.8228 \angle{\pi/4}$$

$$\cos {\phi}=0.7071$$

Kaixo Iñaki. Revisa tus cálculos, yo obtengo para la impedancia total del circuito, vista por el generador:

$Z=16.8286+j13.5933=21.6325\angle 0.6795=21.6325 \ \Omega \angle 38.93^{\circ}$

La corriente que suministra el generador:

$I_1=\dfrac{60}Z=\dfrac{60}{16.8286+j13.5933}=2.1576-j1.7429=2.7736\angle -0.6795=2.7736 \ A \angle -38.93^{\circ}$

Los cálculos están detallados más arriba, post#20

Saludos.

EDITADO: Acabo de ver que en todo el hilo he usado que la frecuencia es 6 kHz. Ahora acabo de darme cuenta que en realidad el enunciado dice f=5 kHz. ¡Vaya despiste! Bueno, rehaciendo los cálculos para esa frecuencia sale:

$Z=14+j12$

$I_1=3.2540\angle -40.60^{\circ}$

Naturalmente, el resto de parámetros también será diferente para 5 kHz que para 6 kHz como yo había calculado. Será un buen ejercicio de repaso para Myke rehacer los cálculos a partir de esta Z y esta I1 a 5 kHz.

Saludos.

[inakigarber]

Bueno, vamos a ver. Seguro que estoy muy oxidado después de tantos años.

$$X_c=\dfrac{1}{2 \pi f c}=20 \Omega \angle {-\pi /2}$$

$$X_l=2\pi f l=10 \Omega \angle {\pi /2}$$

$$X_{RC}=10-20j$$

Impedancia de el paralelo $X_l$ RC;
$X_p=\dfrac{1}{\dfrac{1}{10-20j}+\dfrac{1}{0+10j}}$. Para trabajar con los cocientes imaginarios multiplico por el conjugado y considerando que $j^2=-1$, me sale;
$X_{RC}=\dfrac{1}{0.02-0.06j}$. Repitiendo el procedimiento de nuevo;
$X_{RC}=\dfrac{0.02+0.06j}{0.004}=5+15j$, la impedancia total sería sumar la de la resistencia en serie $10 \Omega$ a este valor;
$X_{RT}=10+5+15j=15+15j$, con lo cual me sale una impedancia inductiva en el que los valores real e imaginario tienen el mismo valor $15 \Omega$. Pero después de tantos años seguro que he debido equivocarme en algo.

[Alriga]

Bueno, vamos a ver. Seguro que estoy muy oxidado después de tantos años.

$$X_c=\dfrac{1}{2 \pi f c}=20 \Omega \angle {-\pi /2}$$

$$X_l=2\pi f l=10 \Omega \angle {\pi /2}$$

$$X_{RC}=\cancel{10}-20j$$

La impedancia de la rama del condensador es 20-j20 puesto que hay 2 resistencias en serie de 10 Ohm cada una. Anoto los valores que deben salirte con f=5 kHz para que tú y Myke podáis comprobar que lo vais haciendo bien, (en unidades del SI) :

$L=\dfrac 1{\pi} 10^{-3} \ H$

$C=\dfrac{10}{2\pi}10^{-6} \ F$

$R=10 \ \Omega$

$\boldsymbol{f=5 \ kHz}$

$w=2\pi f=31415.93$ rad/s

$Z_2=Z_L=X_L=j w L=j (2\pi \boldsymbol{5000})\left (\dfrac 1{\pi} 10^{-3} \right )=j10$

$Z_C=X_C=-\dfrac j{w C}=-\dfrac j{2\pi \boldsymbol{5000}\left (\dfrac{10}{2\pi}10^{-6}\right )}=-j20$

$Z_3=20-j20$

$Z_p=4+j12$

$Z=14+j12=18.4391\angle 0.70863$

Tomamos la tensión del generador como fasor de referencia: $U_g=60+j0=60\angle 0$

$I_1=2.4706-j2.1176=3.2540\angle -0.70863$

$U=35.2941+j21.1765=41.1597\angle 0.54042$

$I_2=2.1176-j3.5294=4.1160\angle -1.03038$

$I_3=0.3529+j1.4118=1.4552\angle 1.32582$

$U_{R_g}=24.7059-j21.1765=32.5396\angle -0.70863$

$U_{R_{31}}=3.5294+j14.1176=14.5521\angle 1.32582$

$U_{R_{32}}=3.5294+j14.1176=14.5521\angle 1.32582$

$U_C=28.2353-j7.0588=29.1043\angle -0.24498$

$P_{R_g}=105.8824 \ W$

$\cos \phi =\cos 0.70863=0.7593$

$P_g=148.2353 \ W$

Saludos.

[inakigarber]

La impedancia de la rama del condensador es 20-j20 puesto que hay 2 resistencias en serie de 10 Ohm cada una. Anoto los valores que deben salirte con f=5 kHz para que tú y Myke podáis comprobar que lo vais haciendo bien, (en unidades del SI) :

Es que si me empeño en tomar los datos del enunciado mal. Coincido en los datos de la impedancia total y la intensidad total, así como el factor de potencia. Pero el valor de la tensión de la primera resistencia (la que está en serie con todo el conjunto), ya que su intensidad total es de $3,2539$ ¿no debería ser de $3.2539 *10=32.539 V$? y por tanto el valor de la tensión en bornes de la autoinducción L sería de $60-32.539=27.4604 V$. Para calcular las intensidades parciales he partido de la idea de que la intensidad total está en el origen $\angle=0$. Entonces me sale;
$I_t=3.2539\angle 0$
$U_{R1}=3.2539*10=32.539\angle 0$
Tensión en bornes de la autoinducción;
$U_l=60-32.539=27.461\angle 0$
La intensidad en dicha autoinducción me sale;
$I_l=27.461/10=2.7461\angle {-\pi/2}$ ($-\pi/2$ con respecto a la intensidad total que he considerado en el origen, el signo negativo es porque la autoinducción retrasa la intensidad respecto a la tensión dicho ángulo).
La intensidad en la rama de las dos resistencias y el condensador me sale;
$I_{2r+c}=\dfrac{27.46043}{20-20j}=0.97087\angle {0.7853 rad}$
Aunque los ángulos pudieran darnos valores distintos, los módulos deberían ser iguales y creo que no coinciden, supongo que tras tantos años debo estar un poco oxidado.
La suma de los módulos de las intensidades parciales no coincide con la intensidad total, pero esto es normal en circuitos ce C.A. con condensadores y autoinducciones (como es nuestro caso). Deberá ocurrir que la intensidad de la autoinducción y la intensidad relativa de la rama condensador resistencias deberá ser igual, como tienen ángulos de desfase opuestos se anulan. ¿es esto correcto?
Saludos y gracias.

[Alriga]

... Coincido en los datos de la impedancia total y la intensidad total, así como el factor de potencia. Pero el valor de la tensión de la primera resistencia (la que está en serie con todo el conjunto), ya que su intensidad total es de $3,2539$ ¿no debería ser de $3.2539 *10=32.539 V$?

Correcto el módulo, es lo que yo he dicho.

$I_1=2.4706-j2.1176=3.2540\angle -0.70863$

$U_{R_g}=24.7059-j21.1765=32.5396\angle -070863$

Pero $U_{R_g}$ está en fase con la corriente total, no con la tensión del generador de 60 V. No puedes hacer:

... y por tanto el valor de la tensión en bornes de la autoinducción L sería de $\cancel{60}-32.539=\cancel{27.4604} \ V$ ...

Ya que de ninguna manera la tensión en el generador puede tener la misma fase que la tensión en la resistencia. El desfase entre ambas tensiones es el mismo que hay entre la tensión del generador (60V) y la intensidad total del circuito, desfase fijado por la impedancia total del circuito. Yo en mi desarrollo he usado como fasor de referencia la tensión en el generador $U_g=60\angle 0$ y la corriente que obtengo es $I_1=U_g/Z=60\angle 0 /(14+j12)=2.4706-j2.1176=3.2540\angle -0.70863$

Para calcular las intensidades parciales he partido de la idea de que la intensidad total está en el origen $\angle=0$. Entonces me sale;

$I_t=3.2539\angle 0$

$U_{R1}=3.2539*10=32.539\angle 0$

Tensión en bornes de la autoinducción;

$U_l=\cancel{60}-32.539=\cancel{27.461}\angle \cancel 0$

Si tu decides que el fasor de referencia es la corriente total que proporciona el generador al circuito, estás en tu derecho, pero entonces la tensión del generador no puede tener argumento cero, como se demuestra trivialmente:

$U_g=I_1 Z=(3.2540+j0) (14+j 12)=45.5554+j39.0475=60\angle 0.70863=60\angle 40.60^{\circ}$

La tensión en el generador y la corriente que pasa por él solo podrían estar en fase si la impedancia total del circuto "Z" nos hubiese salido con fase CERO, pero nos ha salido $Z=14+j12=18.4391\angle 0.70863$ con fase 0.70863 rad.

La tensión en la bobina con tu convenio de tomar como referencia la corriente del generador debes calcularla:

$U_L=U=U_g-R I_1=45.5554+j39.0475-10\cdot 3.2540=13.0158+j39.0475=41.1597\angle 1.24905$

Y a partir de aquí puedes continuar:

• Los valores de todos los módulos de tensiones y corrientes que calcules deben salirte iguales a los del post#26
• Los valores de todos los argumentos de tensiones y corrientes que calcules deben salirte mayores en 0.70863 rad (=40.60º) que los del post#26

Ya que la única diferencia entre considerar como referencia la tensión en el generador o la corriente del generador, es una rotación de todos los fasores en el plano complejo, rotación de centro el origen de coordenadas y ángulo 0.70863 rad = 40.60º

Saludos.

[inakigarber]

Gracias por tu ayuda, creo que me ha quedado mas claro. Veamos.

Pero $U_{R_g}$ está en fase con la corriente total, no con la tensión del generador de 60 V. No puedes hacer:

Si, me equivoqué. Eso solo sería posible si las impedancias capacitiva e inductiva se anularan, lo cual no es nuestro caso. Entonces no habría desfase y el factor de potencia seria 1. No es nuestro caso.
Lo he entendido de esta manera;

He vuelto a poner la tensión de la resistencia en serie en el origen $\angle 0$, pero eso no es mas que un sistema de referencia que he elegido simplemente porque yo lo he planteado así. La resultante (en marrón) me da un valor de $V_{ab}=41,15966\angle 1.24904 rads$,
la intensidad que circula por la autoinducción $I_l=4.1159\angle -0.3217 rads$,
y la intensidad de la rama restante $I_{2r+c}=1.45521\angle 2.0344 rads$.
Creo que en este caso los módulos de los valores si me coinciden, los ángulos no porque hemos utilizado sistemas de referencia distintos.

Siento haber liado tanto un problema que no era tan difícil.

Saludos y gracias.

[Alriga]

$V_{ab}=41,15966\angle 1.24904 rads$

la intensidad que circula por la autoinducción $I_l=4.1159\angle -0.3217 rads$,

y la intensidad de la rama restante $I_{2r+c}=1.45521\angle 2.0344 rads$.

Creo que en este caso los módulos de los valores si me coinciden, los ángulos no porque hemos utilizado sistemas de referencia distintos.

• Los valores de todos los módulos de tensiones y corrientes que calcules deben salirte iguales a los del post#26
• Los valores de todos los argumentos de tensiones y corrientes que calcules deben salirte mayores en 0.70863 rad (=40.60º) que los del post#26

Ya que la única diferencia entre considerar como referencia la tensión en el generador o la corriente del generador, es una rotación de todos los fasores en el plano complejo, rotación de centro el origen de coordenadas y ángulo 0.70863 rad = 40.60º

Saludos.