¿Energía de una esfera o de un capacitor? Serway v2 10ed problema 23

[german153]

Problema: Considere dos esferas conductoras de radio R1 y R2, separadas una distancia mucho mayor que cualquiera de sus radios. La carga total compartida entre las esferas es Q. Se desea demostrar que cuando la energía potencial del sistema tiene un mínimo, la diferencia de potencial entre las esferas es cero. La carga total Q es igual a q1 + q2, donde q1 representa la carga de la primera esfera y q2 la de la segunda. Ya que las esferas están muy alejadas entre sí, puede suponer que la carga de cada una está distribuida de manera uniforme en su superficie. (a) Demuestre que la energía asociada a una única esfera conductora de radio R y carga q rodeada de un vacío es $U_E = k_eq^2/2R$ (b)...

Duda: Si no me equivoco, la energía de un capacitor formado por dos conductores con igual V es la mitad que la energía de los conductores individuales. Ya que la energía de un capacitor es
$U=QV/2$, que en el caso de un capacitor formado por dos esferas (¿iguales?) sería $k_eQ^2/2R$. Esta es la ecuación a la que el ejercicio nos pide llegar. Pero nos pide la energía de una sola esfera, que es el doble, ya que $U=QV=k_eQ^2/R$. ¿Me estoy equivocando en algo?

[Al2000]

La energía potencial de una carga puntual $q$ en un campo de potencial eléctrico $V$ es $U = q V$.

La energía eléctrica "almacenada" en un capacitor de capacidad $C$, carga $Q$ y diferencia de potencial entre armaduras $V$ vale $\dst U = \frac 1 2 Q V = \frac 1 2 C V^2 = \frac 1 2 \frac {Q^2} C$.

La capacidad de una esfera aislada de radio $R$ en el vacío es $C = 4 \pi \epsilon_0 R$.Si combinas con lo anterior, la energía "almacenada" en una esfera cargada con carga $Q$ será $\dst U = \frac 1 2 \frac {Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[german153]

La energía potencial de una carga puntual $q$ en un campo de potencial eléctrico $V$ es $U = q V$.

Me has descompaginado con lo que pusiste en cursiva. ¿Lo de U=qV no aplica para el caso de una esfera o cualquier otra figura? :/

La energía eléctrica "almacenada" en un capacitor de capacidad $C$, carga $Q$ y diferencia de potencial entre armaduras $V$ vale $\dst U = \frac 1 2 Q V = \frac 1 2 C V^2 = \frac 1 2 \frac {Q^2} C$.

La capacidad de una esfera aislada de radio $R$ en el vacío es $C = 4 \pi \epsilon_0 R$.Si combinas con lo anterior, la energía "almacenada" en una esfera cargada con carga $Q$ será $\dst U = \frac 1 2 \frac {Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R}$.

Ahí me confunde el hecho de que la primera ecuación es para capacitores (y entre armaduras), pero luego se la reemplaza por el potencial de una esfera aislada (y en cualquier dirección).

[Al2000]

$U = q V$ solo es válida para una carga puntual.

Respecto a tu segunda pregunta, en realidad lo que hice fue sustituir la capacidad de la esfera en la última expresión aunque el resultado es el mismo.

Todo conductor tiene capacidad. La capacidad es la propiedad de un conductor de "almacenar" una carga que es proporcional al potencial del conductor. Esa constante de proporcionalidad la definimos como el cociente de la carga del conductor entre su potencial, $C = Q/V$. Esta capacidad depende únicamente de factores geométricos (forma y tamaño) del conductor.

En el caso de tener varios conductores cargados, la cosa se complica un poco pues cada conductor afecta a (y es afectado por) los conductores vecinos. La relación entre las cargas y los potenciales de los distintos conductores viene expresada por una matriz llamada matriz de capacidad.

En el caso de dos conductores cargados con cargas de la misma magnitud y diferentes signos, el formalismo matricial es innecesario y se puede expresar la relación entre la carga (valor absoluto de la carga de cualquiera de los conductores) y la diferencia de potencial (tomada positiva) entre ellos con la simple expresión usada para la capacidad de un conductor aislado, $C = Q/V$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Si lo deseas, puedes imaginar que una esfera aislada es un condensador esférico en el cual la armadura externa es de radio infinito

[german153]

Ahh bueno eso aclara muchas cosas.
¿Entonces cada vez que necesite la energía potencial de un conductor hago U=QV/2, excepto cuando es una carga puntual que es U=QV? Eso todavía me parece confuso, no entiendo porqué

[Al2000]

Porque para cargar un conductor no tienes que mover toda la carga (trayéndola desde el infinito) a través de un potencial V sino que el potencial va aumentando gradualmente en la medida en que mueves la carga. Un símil un tanto simplón sería preguntar cuánta energía potencial gravitacional "posee" una pila de ladrillos de masa total M y altura h. ¿Cuánto dijiste?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[german153]

Me siento un burro jaja
Podría entender si la diferencia entre la energía de la esfera o de la carga puntual dependieran de la distancia R. Pero que una sea la mitad de la otra... lo siento pero no consigo captarlo

He encontrado esto http://agrega.juntadeandalucia.es/re...elctricas.html
Como al final pone una imagen sobre el caso de las cargas puntuales y en la primera imagen pone las relaciones entre F, E y V de manera genérica, yo entiendo que está diciendo que en general U=QV

[Al2000]

Todas las expresiones donde aparecen cargas se refieren a cargas puntuales. La expresión $W_{F_e} = - \Delta E_p$ es válida en general. La expresión $\dst E = \frac {- \Delta V} d$ solo es válida para campos uniformes (como lo pone en el texto).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

AÑADO: Hice un gráfico bastante primitivo (mis herramientas gráficas y mi visión son pobres) para tratar de explicar el porqué del factor 1/2. Mover una carga puntual $q$ a través de una diferencia de potencial $V$ exige realizar un trabajo $W = q V$. Para cargar un conductor con una carga $Q$ no tienes que mover toda la carga a través de un potencial $V$, sino a través de un potencial que aumenta paulatinamente en la medida que el conductor se carga;



La pendiente de la recta q vs V es la capacidad del conductor y el área bajo la recta es el trabajo realizado para mover la carga.

[german153]

Bien, ahora si entendí. Parte de mi confusión venía de considerar que en la energía U=qV para trasladar una carga puntual, V representaba el potencial de la carga a trasladar. Ahora entendí que si una carga puntual q está rodeada de vacío infinito, el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para moverla de a a b es 0 (si estoy equivocado por favor corrígeme).

Muchas gracias Al.

[Al2000]

Solo el matiz de que si la carga está sola en el universo, entonces no hay ninguna fuerza eléctrica que haga trabajo. Por eso cuando quieres construir un sistema de partículas con una sola partícula, el trabajo necesario para llevarla hasta su destino final (si es que eso existe en un universo vacío) es cero.

Cuando quieres formar un sistema de dos partículas, el trabajo para llevar la primera hasta cierto punto del universo es cero, pero el trabajo para llevar la segunda partícula ya no será nulo. Si has de colocar la segunda partícula a la distancia $r_{12}$ de la primera, deberás atravesar el potencial $V_1$ de la primera parícula

$$V_1 = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q_1}{r_{12}}$$

y por consiguiente harás un trabajo

$$W_2 = q_2 V_1 = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q_1 q_2}{r_{12}}$$

El trabajo total realizado ($0 + W_2$) es la energía del sistema de dos cargas puntuales:

$$\boxed {U = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q_1 q_2}{r_{12}}}$$

Y así sigues. Si quieres traer una tercera carga y colocarla a la distancia $r_{13}$ de la primera y $r_{23}$ de la segunda, habrás de atravesar los potenciales producidos por las dos cargas ya presentes. La suma total de los trabajos será

$$U = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac {q_1 q_2}{r_{12}} + \frac {q_1 q_3}{r_{13}} + \frac {q_2 q_3}{r_{23}}\right)$$

donde ya se aprecia el esquema que se forma para hacer el cálculo. Si tienes una cantidad $n$ de cargas puntuales, se puede escribir que la energía vale

$$\boxed {U = \frac 1 {8 \pi \epsilon_0} \sum_{\scriptsize \begin{aligned} i,j = 1 \\ i \ne j \end{aligned}}^n \frac {q_i q_j}{r_{ij}}}$$

donde aparece un factor 1/2 que multiplica debido a que en la expresión se incluye cada par de cargas dos veces (por ejemplo $q_1 q_2$ y $q_2 q_1$).

La versión de la expresión anterior para una carga distribuida en un volumen es

$$\boxed {U = \frac 1 2 \int_{\!\!\!\scriptsize \begin{aligned} \\ \text {todo el} \\ \text {volumen}\end{aligned}} \!\!\!\!\!\! \rho V\,dv}$$

Bueno, lo dejo de ese color, ya te fastidié bastante.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[german153]

Muy claro y completo. ¡Muchísimas gracias!

Bueno, lo dejo de ese color, ya te fastidié bastante. $\mathcal A \ell$

Al contrario, yo te fastidié mucho

Saludos.