Otras carreras Demostración campo electrico

[Nathan]

Veréis, quiero demostrar que el campo eléctrico creado por un dipolo formado por dos cargas puntuales de igual valor $q$(pero signo opuesto), separadas a una distacia $d$ para puntos alejados ($r>>d$) es:

$\dst E(x,y)=K\left(3(p \bar{e}_r)\frac{\bar{e}_r}{r^3}-\frac{p}{r^3}\right)$

sabiendo que $p$ es el momento dipolar y $\bar{e_r}$ es el vector unitario en la direccion del vector $\bar{r}=x\hat{e}_x+y\hat{e}_y$

Yo he realizado lo siguiente y quería saber si es correcto:

$\dst E=K\left(\frac{qr_+}{(r_+)^3}-\frac{qr_-}{(r_-)^3}\right)=\\$


$\dst = K\left(\frac{q[(r\cos{\theta}-\frac{d}{2})\hat{e}_x+(r\sin{\theta})\hat{e}_y]}{[(r\cos{\theta}-\frac{d}{2})^2+(r\sin{\theta})^2]^{3/2}}-\left(\frac{q[(r\cos{\theta}+\frac{d}{2})\hat{e}_x+(r\sin{\theta})\hat{e}_y]}{[(r\cos{\theta}-\frac{d}{2})^2+(r\sin{\theta})^2]^{3/2}}\right)\right)$

$r$ la distancia al centro del dipolo.

Pues desarrollando la serie de Taylor hasta primer orden obtengo que:

$\dst E\approx K\left(\frac{-qd}{[r^2+d^2]^{3/2}}\hat{e}_x+\frac{6qr^2d\cos{\theta}}{[r^2+d^2]^{5/2}}\hat{e}_y\right)$

Como $r>>d$. $\cos{\theta}=p\bar{e_r}$ y $p=qd$ obtengo que:

$\dst E=K\left(\frac{-p}{r^3}+\frac{3(p\bar{e}_r)\bar{e}_r}{r^3}\right)=K\left(3(p \bar{e}_r)\frac{\bar{e}_r}{r^3}-\frac{p}{r^3}\right)$

Con lo que quedaría demostrado.

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Tambien queria preguntaros si existe una manera (y cual sería) de demostrarlo a partir del potencial del dipolo, es decir:

A partir de la expresión del potencial electrico formado por un dipolo, de cargas iguales pero opuestas $q$, separadas a una distacia $d$, considerando $r>>d$ que es:

$\dst V(x,y)=Kp\frac{\bar{e}_r}{r^2}$, demostrar que:

$\dst E(x,y)=K\left(3(p \bar{e}_r)\frac{\bar{e}_r}{r^3}-\frac{p}{r^3}\right)$

[Al2000]

Re: Demostración campo electrico

Nathan, tus ecuaciones son difíciles de ver por lo chiquitas. Podrías hacer una de dos cosas: insertas el comando "\dst" al principio de tus ecuaciones, o bien, usar el modo centrado con [TEX=null] como marcador de inicio de las ecuaciones.

[Nathan]

Re: Demostración campo electrico

Ya lo arreglé usando el comando "\dst", muchas gracias, no sabía como hacer que se vieran mas grandes.