Secundaria Dos cargas eléctricas sobre el eje de abscisas, consideraciones de campo y potencial

[Marcos Castillo]

Hola, LWdF
Dentro del cuestionario para determinar conocimientos previos antes de matricularse en el Grado en Física, aconsejado por la Uned, está esta pregunta (la decimoctava de ventinueve, que hasta ahora estoy resolviendo con vuestra ayuda, forer@s) Bueno, creo haberla solucionado, y me gustaría contar con vuestra ayuda para confirmarlo.
Este es el enunciado: "En el origen de coordenadas hay una carga $Q_1$, y en el punto de coordenadas $(d,0)$ hay una segunda carga $Q_2<Q_1$. En el punto del eje $X$ de abscisa $x=d/(1+[Q_2/Q_1]^{1/2})$
a) el potencial eléctrico es nulo;
b) el campo eléctrico es nulo;
c) el potencial eléctrico tiene un mínimo;
d) el campo eléctrico tiene un máximo.
Mi solución: he asignado valores a $Q_1=4\;C$, $Q_2=1\;C$, $d=1\;m$; en base a ésto, $x=d/(1+[Q_2/Q_1]^{1/2})=1\;m/(1+1/2)=1\;m/1,5=0,\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{6}}\approx{0,67\;m}$.
a) $\cancel{k}\dfrac{4\;C}{0,67\;m}\neq{\cancel{k}\dfrac{1\;C}{0,33\;m}}\Rightarrow{V_1\neq{V_2}}$
b) $\cancel{k}\dfrac{4\;C}{0,45\;m^2}\neq{\cancel{k}\dfrac{1\;C}{0,11\;m^2}}\Rightarrow{E_1\neq{E_2}}$
c) ¿$V_1+V_2=0$?: $\dfrac{4}{0,67}\;V+\dfrac{1}{0,33}\;V\neq{0}$
d) ¿$E_1+E_2\neq{0}$?: $\dfrac{4}{0,45}\;N/C+\dfrac{1}{0,33}\;N/C\neq{0}$
En mi opinión, la respuesta correcta es la d) ¿Correcto?.
Un saludo cordial
Marcos Castillo

[Alriga]

Las dos cargas han de ser del mismo signo para que exista $\sqrt{Q_2/Q_1}$ Entonces el campo eléctrico es:

$E=k\left ( \dfrac{Q_1}{x^2}-\dfrac{Q_2}{(d-x)^2} \right )$

Marcos observa que en tu ejemplo $Q_1=4 \quad Q_2=1 \quad d=1 \longrightarrow x=2/3 \sim 0.6667 \quad d-x=1/3 \sim 0.3333$ :

$\dfrac 4{(2/3)^2}=9=\dfrac 1{(1/3)^2}$

Por lo tanto la correcta es b) El campo eléctrico es nulo.

Puedes demostrarlo matemáticamente para cualesquiera valores de $Q_1 \ , \ Q_2$ y $d$ haciendo:

$E=0$

$\dfrac{Q_1}{x^2}-\dfrac{Q_2}{(d-x)^2}=0$

$Q_1 \ (d-x)^2-Q_2 \ x^2=0$

Resuelve la ecuación de segundo grado en "$x$" y obtendrás que una solución es:

$x=\dfrac d{1+\sqrt{\dfrac{Q_2}{Q_1}}}$

Saludos.

[Al2000]

Solo para puntualizar que el potencial tiene un mínimo local, puesto que el campo es nulo.

El enunciado es asqueroso. Yo no se como algunos profesores pretenden que sus estudiantes manejen los vectores y luego les endilgan en un problema algo como "el campo eléctrico tiene un máximo"

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

... El enunciado es asqueroso ...

No puedo estar más de acuerdo

Solo para puntualizar que el potencial tiene un mínimo local, puesto que el campo es nulo ...

Correcto, una manera alternativa de ver que hay ahí un mínimo local del potencial sería, calcular el potencial:

$U=k\left ( \dfrac{Q_1}{x}+\dfrac{Q_2}{(d-x)} \right )$

Aplicar que en un extremo relativo la derivada ha de ser nula, calculamos:

$\dfrac{dU}{dx}=k\left ( -\dfrac{Q_1}{x^2}+\dfrac{Q_2}{(d-x)^2} \right )$

Si hacemos

$\dfrac{dU}{dx}=0$

Obtenemos

$-\dfrac{Q_1}{x^2}+\dfrac{Q_2}{(d-x)^2}=0$

Que es exactamente la misma ecuación de segundo grado que hemos resuelto en el post#2 y que nos ha dado como resultado:

$x=\dfrac d{1+\sqrt{\dfrac{Q_2}{Q_1}}}$

Algo absolutamente lógico puesto que el campo es el gradiente del potencial cambiado de signo

$\boldsymbol E=-\boldsymbol{\nabla} U$

Para este caso unidimensional:

$E=-\dfrac{dU}{dx}$

Cuando el campo es cero el potencial tiene un extremo relativo, como bien ha dicho arriba Al2000.

Saludos.

[Marcos Castillo]

Las dos cargas han de ser del mismo signo para que exista $\sqrt{Q_2/Q_1}$ Entonces el campo eléctrico es:

$E=k\left ( \dfrac{Q_1}{x^2}-\dfrac{Q_2}{(d-x)^2} \right )$

Marcos observa que en tu ejemplo $Q_1=4 \quad Q_2=1 \quad d=1 \longrightarrow x=2/3 \sim 0.6667 \quad d-x=1/3 \sim 0.3333$ :

$\dfrac 4{(2/3)^2}=9=\dfrac 1{(1/3)^2}$

Por lo tanto la correcta es b) El campo eléctrico es nulo.

Puedes demostrarlo matemáticamente para cualesquiera valores de $Q_1 \ , \ Q_2$ y $d$ haciendo:

$E=0$

$\dfrac{Q_1}{x^2}-\dfrac{Q_2}{(d-x)^2}=0$

$Q_1 \ (d-x)^2-Q_2 \ x^2=0$

Resuelve la ecuación de segundo grado en "$x$" y obtendrás que una solución es:

$x=\dfrac d{1+\sqrt{\dfrac{Q_2}{Q_1}}}$

Saludos.

No consigo llegar a la expresión $x=\dfrac d{1+\sqrt{\dfrac{Q_2}{Q_1}}}$. ¿Me puedes echar un cable? Si estoy pidiendo demasiado, borrad este mensaje. O ignoradlo.

¡Muchas gracias!

[Al2000]

Pasa $Q_2\; x^2$ al miembro derecho, divide la ecuación entre $Q_1$, saca la raíz cuadrada en ambos miembros y despeja $x$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Marcos Castillo]

AI2000, ¡Muchas gracias! Estoy ya supernervioso con tanto desconcierto, que ya habréis podido comprobar. ¿Vectores y máximo de un campo eléctrico? ¿Cómo es posible?

[Marcos Castillo]

Sí, si es posible,creo: $\dfrac{dE}{dx}$; pero no sé más.
¡Un saludo!

[Marcos Castillo]

¡Solucionado! Por si alguien que visite este hilo quiere saber de qué habla la alternativa d) (el campo eléctrico tiene un máximo), tiene que introducir los términos "Campo eléctrico de un anillo de carga uniforme", y a continuación "Campo máximo sobre el eje de un de un anillo". Es un ejemplo de máximo de un campo eléctrico.

[Jclucass]

En el origen de coordenadas hay una carga Q₁ y en el punto de coordenadas (d,0) hay una segunda carga Q₂ <Q₁ . En el punto del eje X de abcisa x=d/(1+[Q₂/ Q₁]^1/2)
a) el potencial eléctrico es nulo
b) el campo eléctrico es nulo
c) el potencial eléctrico tiene un mínimo
d) el campo eléctrico tiene un máximo No soy capaz de hacerlo, lo único que sé es que la respuesta a) es falsa

[Alriga]

Hola Jclucass bienvenido a La web de Física, como miembro reciente lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Observa que el ejercicio que plateas fue resuelto en este hilo: Dos cargas eléctricas sobre el eje de abscisas, consideraciones de campo y potencial

Échale un vistazo y si tienes dudas pregunta, saludos y de nuevo bienvenido.

[Jclucass]

Muchas gracias a todos, por fin he conseguido hacer el problema

[Jclucass]

Muchas gracias Alriga por tus indicaciones, me han servido mucho

[Marcos Castillo]

¿Qué problema, JClucass? ¿El del hilo, o alguno de $\vec{E}$ máximo?

[Alriga]

¿Qué problema, JClucass? ¿El del hilo, o alguno de $\vec{E}$ máximo?

El del hilo, mira Problema de cargas

Saludos.

[Jclucass]

El problema (de las cargas) que pusiste tú , también lo pregunté yo .
la respuesta es de)