Problema de potencial

[China]

Buenas, respecto a este problema:
"A lo a largo del eje x se dispone de un cable de longitud L de sección despreciable y cargado uniformemente con densidad de carga c/m, se conoce el potencia en A 20 v y en B 10 v, siendo A y B dos puntos del eje x a una distancia donde 2 y 4 m de donde termina el cable. Calcular la longitud del cable"

Yo lo que he hecho es calcular el campo en cualquier punto del eje x uy me ha quedado $E=KQ/x(x-L)$ y a partir de ahí integraria para hallar el potencial, pero no me sale la integral y no si si ese campo es correcto, alguna ayuda por favor.

[Alriga]

Hola China , ¿has copiado bien el enunciado? ¿No te dan el valor de la densidad lineal de carga $\lambda$ en C/m?

Y si no te la dan, ¿no te preguntan calcular también $\lambda$ además de la longitud del cable? ¿No hay ningún dibujo que acompañe al enunciado?

Saludos.

[Abdulai]

..
"A lo a largo del eje x se dispone de un cable de longitud L de sección despreciable y cargado uniformemente con densidad de carga c/m, se conoce el potencia en A 20 v y en B 10 v, siendo A y B dos puntos del eje x a una distancia donde 2 y 4 m de donde termina el cable. Calcular la longitud del cable"
...

Hay algo mal, si el 0 potencial está en $x=\infty$ como se acostumbra esa relación entre potencial y distancia no se puede dar.
Y si el potencial de referencia está en otro lado, pues falta!.

Con datos "posibles" , dado que dan el potencial en dos puntos queda un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son la densidad de carga y la longitud.

[Al2000]

No puedo añadir un gráfico explicativo en este momento, pero la cosa es fácil de describir. Si el filamento tiene longitud $L$, el potencial en un punto a la distancia $d$ de uno de sus extremos vale

$$V = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0} \ln \left(\frac L d + 1\right)$$

que se puede obtener rápidamente dividiendo el filamento en pedacitos $dq = \lambda \, dx$ e integrando a partir del potencial de la carga puntual.

Con los datos que se dan es posible escribir $V_1$ y $V_2$ en las posiciones $d_1$ y $d_2$, respectivamente. Al tomar el cociente, la densidad de carga se cancela y la única incógnita será $L$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Yo lo hice así, para calcular el potencial eléctrico creado por el segmento uniformemente cargado en un punto del eje x situado a una distancia r del centro de la barra cargada (r > L/2) :

$dQ=\lambda dx$

$dU=K\dfrac{dQ}X$

$dU=K \dfrac{\lambda dx}{r-x}$

$\dst U(r)=K \int_{-\frac L 2}^{\frac L 2} \ \dfrac{\lambda dx}{r-x}$

$\dst U(r)=-K\lambda \Big [\ln (r-x)\Big]_{-\frac L 2}^{\frac L 2}$

$$U(r)=K\lambda \ln \dfrac{r+\frac L 2}{r-\frac L 2}$$

$$\dfrac L 2<r<\infty$$

Pero si ahora ponemos los valores del enunciado

...se conoce el potencial en A 20 V y en B 10 V, siendo A y B dos puntos del eje x a una distancia de 2 y 4 m de donde termina el cable ...

$U(L/2+2)=20$

$U(L/2+4)=10$

O sea:

$20=K\lambda \ln \dfrac{L+2}{2}$

$10=K\lambda \ln \dfrac{L+4}{4}$

Y dividimos miembro a miembro obtenemos la ecuación:

$\dfrac{\ln \dfrac{L+2}{2}}{\ln \dfrac{L+4}{4}}=2$

Para la que no existe ninguna solución L>0. Por eso no posteé y pregunté a China si había copiado bien el enunciado.

En cambio, si el valor del potencial en el punto B (situado a 4 m del extremo) fuese 11V, ó 12V ... por ejemplo, en vez de 10V como dice el enunciado, el problema sí tendría solución.

* Notad que mi ecuación (1) es equivalente a la que ha escrito Al2000 :

$\dst V(d) = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0} \ln \left(\frac L d + 1\right)$

$0<d<\infty$

Saludos.

[Richard R Richard]

Estás seguro de los denominadores en el calculo de cada potencial porque también dependen de L

[Alriga]

Los denominadores son:

(L/2+2)-L/2=2
(L/2+4)-L/2=4

Saludos.

[Richard R Richard]

Yo intuitivamente no le veo solución, si se trata de un cable conductor, porque en el interior del cable el campo eléctrico es nulo, como la solución es estática es decir a corriente nula, no puede haber cambio de potencial a lo largo del cable. Si lo hubiera ese potencial crea corriente en función de la resistividad del material del cable, dato que no está ni tampoco su sección para calcularle una resistencia por unidad de longitud.
Tampoco se informa de un campo externo que pueda redistribuir las cargas asimétricamente y se asegura distribución constante de la carga interna.

Había pensado creo equivocadamente que A y B estaban en el interior del cable. Lo sigo pensando.

[Al2000]

Yo hice el cálculo numérico con la ecuación que indiqué en mi mensaje anterior y obtuve que L = 0. Revisé y volví a revisar y me siguió dando cero. Abofeteado por el resultado, miré los datos de nuevo y caí en cuenta de que el potencial disminuye con el inverso de la distancia (duplicas la distancia, reduces el potencial a la mitad) lo cual es el comportamiento de una carga puntual. ¿Error de datos? ¿Concha de mango? Cada quien saque sus conclusiones...

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Aver escribes

$\dst U(r)=-K\lambda \Big [\ln (r-x)\Big]_{-\frac L 2}^{\frac L 2}$

Que me lleva a
$2=\dfrac{ \ln \dfrac{2+\frac L 2}{2-\frac L 2}}{\ln \dfrac{4+\frac L 2}{4-\frac L 2}}$

De allí
$\left(\dfrac{2+\frac L 2}{2-\frac L 2}\right)^2=\dfrac{4+\frac L 2}{4-\frac L 2}$

$\left(\dfrac{4+L }{4- L}\right)^2=\dfrac{8+L }{8- L }$

De allí una cuadrática con la que se despeja L

[Abdulai]

Los puntos A y B están a 2m y 4m del extremo del cable, o sea $2+\frac{L}{2}$ y $4+\frac{L}{2}$

Aun asi, al sacar los logaritmos el miembro que queda al cuadrado es el del punto B

[Alriga]

$\dst U(r)=K \int_{-\frac L 2}^{\frac L 2} \ \dfrac{\lambda dx}{r-x}$

$\dst U(r)=-K\lambda \Big [\ln (r-x)\Big]_{-\frac L 2}^{\frac L 2}$

$U(r)=K\lambda \ln \dfrac{r+\frac L 2}{r-\frac L 2}$

$\dfrac L 2<r<\infty$

Pero si ahora ponemos los valores del enunciado

$\boldsymbol{U(L/2+2)=20}$

$\boldsymbol{U(L/2+4)=10}$

$\dst U(r)=-K\lambda \Big [\ln (r-x)\Big]_{-\frac L 2}^{\frac L 2}$

Que me lleva a

$$\cancel{2=\dfrac{ \ln \dfrac{2+\frac L 2}{2-\frac L 2}}{\ln \dfrac{4+\frac L 2}{4-\frac L 2}}}$$

Observa que, como te dice Abdulai , y yo también en un comentario de más arriba, sustituyes mal. Hay que hacer:

... se conoce el potencial en A 20 V y en B 10 V, siendo A y B dos puntos del eje x a una distancia de 2 y 4 m de donde termina el cable ...

$U(r)=K\lambda \ln \dfrac{r+\frac L 2}{r-\frac L 2}$

Punto A $\longrightarrow r=\dfrac L 2 +2$

Punto B $\longrightarrow r=\dfrac L 2 +4$

Que lleva a la ecuación:

$$2=\dfrac{\ln \dfrac{L+2}{2}}{\ln \dfrac{L+4}{4}}$$

Que puedes simplificar a:

$\left ( \dfrac{L+4}{4} \right )^2=\dfrac{L+2}{2}$

Cuya única solución es L=0 . Por eso dije:

Si dividimos miembro a miembro obtenemos la ecuación:

$\dfrac{\ln \dfrac{L+2}{2}}{\ln \dfrac{L+4}{4}}=2$

Para la que no existe ninguna solución L>0

Ya que L=0 no es una solución física del problema. Si la densidad lineal de carga tiene un valor físico, es decir es un número real mayor o igual que cero, a una longitud de segmento cargado L=0 le corresponde una carga total $Q=\lambda L=\lambda \cdot 0=0$ . Pero si la carga es cero, no puede originar ningún potencial, ni de 20V a 2m de ella ni de 10V a 4m de ella.

El problema, tal como ha redactado China el enunciado, no tiene solución. Por eso le pregunté en el post#2 si había copiado bien el enunciado.

Saludos.

[Richard R Richard]

Si si x=L/2+2 y +4 en en otro extremo , recien ahora lo veo.

[China]

Hola, lo primero muchas gracias a todos y mil disculpas, porque mi error al expresar los datos del enunciado han causado tantas dudas, el enunciado es asi, no dan ni la densidad de carga ni nada, pero me hice un lio con las distancias los puntos A y B están a: A a dos metros desde el extremo del cable y B a 4 metros de A por lo que B está a 6 m del extremo del cable y con ese dato en la ecuación del potencial obtenida tanto por Al2000 como por Alriga resultaría L=6 no??

Y entonces... no se pude hallar el potencial integrando el campo, yo hice el campo y me queda E=KQ/x(x-L) ¿es correcta esta expresión? y en ese caso ¿se puede integrar para hallar el potencial?, pregunto esto, porque normalmente cuando tenemos por ejemplo una esfera, para hallar el potencial, se halla primero el campo y luego se integra...entonces es lo primero que pensé aquí, no pensé en integrar el potencial en un punto

[Al2000]

Es usual, cuando se desea hallar el campo y el potencial de una distribución de cargas, calcular primero el potencial y obtener luego el campo. Hallar el potencial exige resolver una integral escalar y la obtención luego del campo implica una derivada (gradiente). El otro camino es resolver primero una integral vectorial y luego una integral de línea, lo cual es significativamente más complicado.

[Richard R Richard]

A mí me dió 6m.

[Alriga]

... yo hice el campo y me queda E=KQ/x(x-L) ¿es correcta esta expresión? ...

Entiendo que tu expresión para el módulo del vector campo eléctrico es:

¿ $E=\dfrac{K Q}{x(x-L)}$ ?

Pero no nos dices desde dónde mides la distancia "x"

a) Vamos a calcular primero el campo partiendo de la expresión que da Al2000 en el post#4 en donde "d" es la distancia del punto en el que se calcula el potencial (y el campo) al extremo cercano del segmento cargado.

$U(d) = K \lambda \ln \left (1+\dfrac L d \right)$

$d>0$

El campo eléctrico es el gradiente del potencial eléctrico cambiado de signo:

$\vec E=-\nabla U$

Para este caso unidimensional:

$\vec E=-\dfrac{\partial U}{\partial d} \ \hat i$

Derivando:

$\vec E=\dfrac{K\lambda L}{d^2+dL} \ \hat i$

$$E=\dfrac{K Q}{d (d+L)}$$

b) Vamos a calcular ahora el campo partiendo de mi expresión del post#5 en donde "r" es la distancia del punto en el que se calcula el potencial (y el campo) al centro del segmento cargado.

$U(r)=K\lambda \ln \dfrac{r+\frac L 2}{r-\frac L 2}$

$r>\dfrac L 2$

Para este caso unidimensional:

$\vec E=-\dfrac{\partial U}{\partial r} \ \hat i$

$\vec E=\dfrac{4K\lambda L}{4r^2+L^2} \ \hat i$

$$E=\dfrac{4K Q}{(2r+L)(2r-L)}$$

Es sencillo ver que las expresiones (1) y (2) son equivalentes. Pero ni la expresión (1) ni la (2) se parecen a la expresión del campo que tú has escrito, por lo que creo que debiste calcular el campo mal.

Saludos.

[China]

Alriga, yo creo que si me da igual, porque la x de mi expresión del campo es medida desde el origen de coordenadas, es decir x=L+d y en ese caso si coincide con la epresión1 que has deducido..

[Alriga]

… yo creo que si me da igual, porque la x de mi expresión del campo es medida desde el origen de coordenadas, es decir x=L+d y en ese caso si coincide con la epresión1 que has deducido..

• OK China entiendo, tú mides la distancia desde el extremo de la varilla cargada más alejado del punto en el que calculas el campo.
• Al2000 la mide desde el extremo de la varilla más cercana al punto de cálculo.
• Y yo mido desde el centro de la varilla cargada.

Entonces, a ti te ha salido que el módulo del campo eléctrico es:

$E(x)=\dfrac{K \lambda L}{x(x-L)}$

$\boldsymbol{x>L}$

... ¿no se pude hallar el potencial integrando el campo? ... y en ese caso ¿se puede integrar para hallar el potencial? ...

Para obtener el Potencial a partir del campo, en este caso unidimensional debes aplicar:

$E=-\dfrac{\partial U}{\partial x}$

$\partial U=-E \ \partial x$

Integrando:

$\dst U(x)=-K \lambda L \int \dfrac{dx}{x(x-L)}$

... integraría para hallar el potencial, pero no me sale la integral...

Se trata de integrar una fracción racional en la que "ya hay una parte hecha" puesto que en el denominador ya se ven las raíces, que son L y cero. Recuerda que para integrar estas fracciones, el truco era separar la fracción racional en dos sumandos:

$\dfrac{1}{x(x-L)}=\dfrac A x + \dfrac B{x-L}$

Para hallar A y B igualemos numeradores:

$A(x-L)+Bx=1$

Damos valores a x:

$x=0 \longrightarrow –A\cdot L=1 \longrightarrow A=-\dfrac 1 L$

$x=L \longrightarrow B\cdot L=1 \longrightarrow B=\dfrac 1 L$

Por lo tanto:

$\dst U(x)=-K \lambda L \left (-\dfrac 1 L \int \dfrac{dx}{x}+\dfrac 1 L \int \dfrac{dx}{x-L} \right )$

$\dst U(x)=-K \lambda L \left (-\dfrac 1 L \ln x+\dfrac 1 L \ln (x-L) \right )+C$

Simplificando:

$U(x)=K \lambda \ln \dfrac x{x-L}+C$

Lo normal es asignar el cero de potencial en el infinito, lo que conduce a C=0

$$U(x)=K \lambda \ln \dfrac x{x-L}$$

$$x>L$$

... se conoce el potencial en A 20 V y en B 10 V, siendo A y B dos puntos del eje x a una distancia de 2 y 4 m de donde termina el cable ...

... los puntos A y B están: A a dos metros desde el extremo del cable y B a 4 metros de A por lo que B está a 6 m del extremo del cable ...

Los dos puntos en los que te dan el potencial son:

$$U(L+2)=20=K \lambda \ln \dfrac {L+2}{2}$$

$$U(L+6)=10=K \lambda \ln \dfrac {L+6}{6}$$

Dividiendo miembro a miembro y simplificando:

$\left ( \dfrac{L+6}{6} \right )^2=\dfrac{L+2}{2}$

$L=6$ m

La densidad lineal de carga:

$20=9\cdot 10^9 \lambda \ln \dfrac{6+2} 2$

$\lambda =1.60299 \cdot 10^{-9}$ C/m

Y la carga total del segmento:

$Q=\lambda L=1.60299 \cdot 10^{-9} \cdot 6=9.61797 \cdot 10^{-9}$ C

Nota que, (como bien te ha explicado Al2000 en un comentario al post#10 más arriba), averiguar el potencial calculando previamente el campo, aunque nos ha llevado a un resultado correcto, nos ha obligado a realizar 2 integrales, una para el campo y otra para el potencial: es más sencillo calcular directamente el potencial mediante una única integral como se ha hecho en los posts #4 y #5 del hilo.

Saludos.