1r ciclo Fuerza eléctrica ejercida por una varilla cargada

[Alfredo peres lozano]

Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud 2L, que va de y = - L hasta y = + L. Se coloca una carga q en el eje x, en x = a. (a) ¿Qué dirección tiene la fuerza en q, si Q y q tienen el mismo signo?. (b) ¿Cuál es la carga sobre un segmento de la varilla de longitud infinitesimal dy ?. (c) ¿Cuál es el vector fuerza sobre la carga q debida al segmento pequeño dy ?. (d) Determine la fuerza total que ejerce la varilla sobre la carga q.

[pod]

¿Qué has intentado? ¿Dónde te encallas?

[Alriga]

Hola Alfredo peres lozano bienvenido a La web de Física, como miembro reciente lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

a)

Por simetría la fuerza en q tendrá el sentido del semieje x positivo, ya que las componentes Ey del campo eléctrico se cancelan

b)

La densidad lineal de carga de la barra será la carga total Q dividida por la longitud total del segmento cargado, que es 2L

$\lambda=\dfrac Q{2L}$

La carga de un segmento de la varilla de longitud infinitesimal dy

$\lambda dy=\dfrac Q{2L} dy$

c)

Calculamos el diferencial de campo eléctrico

Sea $\lambda$ la densidad lineal de carga

$dQ=\lambda dy$

A partir del dibujo, el campo eléctrico:

$dE=K\dfrac{dQ}{r^2}$

$dF=q \ dE$

$dF=q K\dfrac{\lambda dy}{y^2+a^2}$

d)

A partir del dibujo calculamos el campo eléctrico:

$dE_x=dE \cos A$

$dE_x=\dfrac a r \ dE$

$r=\sqrt{y^2+a^2}$

$dE_x=\dfrac a {\sqrt{y^2+a^2}} \ dE$

El campo eléctrico:

$dE=K\dfrac{dQ}{r^2}$

Por lo tanto, para la varilla con densidad lineal de carga $\lambda$ constante:

$dE_x=K\lambda \ \dfrac{dy}{y^2+a^2} \ \dfrac a {\sqrt{y^2+a^2}}$

$dE_x=K \lambda a \ \dfrac{dy}{(y^2+a^2)^{3/2}}$

Ahora podríamos integrar entre -L y L, pero como el campo Ex creado por el trozo de segmento de –L a 0 será igual que el creado de 0 a L, integramos entre 0 y L y multiplicamos por 2 que es más fácil:

$\dst E_x=2 K \lambda a \int_0^L \dfrac{dy}{(y^2+a^2)^{3/2}}$

La integral se resuelve fácilmente haciendo el clásico cambio de variable:

$y=L \ \tan u$

Que lleva a:

$E_x=2K\lambda a\left [\dfrac y{a^2\sqrt{y^2+a^2}}\right ]_0^L$

$E_x=\dfrac{2K\lambda L}{a\sqrt{L^2+a^2}}$

$$E_x=K \ \dfrac{2 L \lambda}{a \ \sqrt{L^2+a^2}} \quad , \quad E_y=0$$

$$\boldsymbol{\vec E}=K \ \dfrac{2 L \lambda}{a \ \sqrt{L^2+a^2}} \ \boldsymbol{\hat i}$$

O si deseamos expresar el campo eléctrico en función de la carga total Q de la varilla:

$E_x=K \ \dfrac{Q}{a\sqrt{L^2+a^2}}$

$K=\dfrac 1{4\pi \varepsilon_0}$

Finalmente la Fuerza sobre la carga q es:

$F=q \ E_x$

Repásalo y si tienes alguna duda, pregunta, saludos.