Otras carreras Calcular el campo magnético y eléctrico en un condensador

[danielandresbru]

Hola, he estado intentando hacer este problema, pero en el apartado 2 llego a una solución de la que no estoy muy convencido, y quisiera ver que es lo que tengo mal (es que no hayo el fallo),
y el apartado c llevo rato pensandolo y no se como hacerlo, me sería de gran ayuda si alguien sabe como debería plantearlo. El problema es el siguiente:

Un condensador de placas planas paralelas y circulares, que tiene como dieléctrico el aire, se esta cargando (como anexo en la figura). El radio de las placas es R=0.04 m, y la distancia de separación d=0.001 m. Sabiendo que en un instante determinade la corriente de conducción en los alambres es I=0.28 A:
a) ¿Cuál es la intensidad de corriente de desplazamiento entre placas?
b)Determinar el campo inducido en el interior de las placas del condensador.
c)Sabiendo que el vector de Poynting que fluye hacia dentro del condensador es de 0.05 W/m^2, ¿Cuál es el valor del campo eléctrico dentro del condensador?

En el a) coloque directamente que $I_d=I$
En el b) La ley de Ampere-Maxwell $\displaystyle \oint \vec{B} \cdot \vec{d \ell}=\mu_0 I +\mu_0 \epsilon_0 \frac {d \Phi_E}{dt}$

Dentro del condensador $I=0$, por tanto $\displaystyle \oint \vec{B} \cdot \vec{d \ell}= \mu_0 \epsilon_0 \frac {d \Phi_E}{dt}$,
Tengo que el campo magnético dentro de un codensador (suponiendo que es infinto) $\displaystyle E= \frac{\sigma}{\epsilon_0}=\frac{Q}{\pi R^2 \epsilon_0}$

Si ahora me supongo una superficie de radio $r$ su flujo eléctrico será $\displaystyle \Phi_E= E \pi r^2=\frac{Q}{\pi R^2 \epsilon_0}\pi r^2=\frac{Qr^2}{\epsilon_0R^2}$

Volviendo a la expresión anterior $\displaystyle \oint \vec{B} \cdot \vec{d \ell}= \mu_0 \epsilon_0 \frac {d \Phi_E}{dt}= \mu_0 \epsilon_0 \frac d{dt}\bigg(\frac{Qr^2}{\epsilon_0R^2}\bigg)=\frac{\mu_0 r^2}{R^2} \frac {dQ}{dt}=\frac{\mu_0 r^2}{R^2}I$

Como en la circunferencia de radio $r$ que me he supuesto $\vec{B}$ y $\vec{d\ell}$ son paralelos, y B es constante
$\displaystyle \oint \vec{B} \cdot \vec{d \ell}= \oint B d\ell= B \oint d \ell=2\pi r B$

Por lo que tengo que

$\displaystyle 2\pi r B=\frac{\mu_0 r^2}{R^2}I$ y me queda $B=\displaystyle \frac {\mu_0 Ir}{2\pi R^2}$

Pero lo que me extraña es que el campo magnétco varía proporcionalmente a la distancia al centro, yo me imaginaba que tenía una forma parecida a la del campo magnetico generado por un hilo $B=\displaystyle \frac {\mu_0 I}{2\pi r}$

En el c) lo que sé es que el vetor de poynting se define como $\vec{S}=\displaystyle \frac 1{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$, pero aqui no se muy bien que hacer porque se supone que E tiene la misma dirección que la corriente y B tiene una forma exial.

Muchas gracias de antemano.
Saludos

[Al2000]

Re: Calcular el campo magnético y eléctrico en un condensador

El campo magnético que estás calculando es el campo en un punto interior del volumen encerrado por las placas y ciertamente varía proporcionalmente a la distancia al centro. El campo en puntos exteriores lo obtienes con el mismo procedimiento pero al determinar el flujo del campo eléctrico el área será $\pi R^2$, llegando al resultado similar al campo de una corriente.

Respecto a tu última pregunta, nota que el campo magnético no es axial sino solenoidal; las líneas de inducción magnética serán círculos concéntricos alrededor del centro de las placas y orientadas de acuerdo con la regla de la mano derecha. Si tu campo eléctrico tiene dirección $\hat u_z$, las líneas de inducción magnética tendrán dirección $\hat u_\theta$ y el vector de Poynting tendrá dirección $\hat u_z \times \hat u_\theta = - \hat u_r$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[danielandresbru]

Re: Calcular el campo magnético y eléctrico en un condensador

Muchas Gracias Al, lo que pasa es que yo pensaba que cuando el enunciado decía que el vectro de Poynting fluye hacia el condensador no se porque tenía la idea de que la direccion que tenía era la del vector $\hat{k}$