3 cortezas esféricas concentricas huecas conductoras

[Byfu]

Hola, tengo que resolver el siguiente problema. Tengo 3 cortezas conductoras huecas concéntricas de grosor despreciable. De radio R,2R,4R y de carga Q,0,-Q.

No se resolver 2 apartados de este ejercicio:
El primero que si se resolver me pide calcular el potencial eléctrico de la 2 corteza. Que me da 3KQ/4R.

El segundo apartado me dice que mediante un cable se conecta la corteza intermedia a Tierra sin perturbar las otras 2, calcular la carga de la corteza 2.
En la situación de B calcular el campo eléctrico en punto situado a 6R del centro y en otro situado a 3R/2 del centro.

[Al2000]

El potencial de una corteza de radio $R$ y carga $Q$ distribuida uniformemente vale

$$V_{(r)} =<br /> \left \{\begin{matrix}<br /> \dst k_e \frac Q R\,, & 0 \leqslant r \leqslant R\\ <br /> \\<br /> \dst k_e \frac Q r\,, & R \leqslant r < \infty <br /> \end{matrix}\right .<br />$$

Cuando tienes varias cortezas concéntricas, puedes calcular el potencial de cualquiera de ellas simplemente sumando el potencial de todas las cortezas a la distancia radial de la corteza que te interese. En tu problema, el potencial de la segunda corteza será

$$V_{(2R)} = \underbrace {k_e \frac Q {2R}}_\text {corteza 1} + \underbrace {k_e \frac {(0)} {2R}}_\text {corteza 2} + \underbrace {k_e \frac {(-Q)}{4R}}_\text {corteza 3} = k_e \frac Q {4R}$$

Cuando conectas la corteza intermedia a tierra, efectivamente estás llevando su potencial a cero. Una cierta carga fluirá desde tierra hasta que el potencial se anule. Si decimos que esa carga vale $Q'$, entonces la ecuación inmediata anterior se convierte en

$$V'_{(2R)} = \underbrace {k_e \frac Q {2R}}_\text {corteza 1} + \underbrace {k_e \frac {Q'} {2R}}_\text {corteza 2} + \underbrace {k_e \frac {(-Q)}{4R}}_\text {corteza 3} = 0$$

Resuelve para $Q'$ y calcula las otras cosas que te piden.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Hola a tod@s.

1) De momento, solo he tenido tiempo para calcular el potencial en $r=2R$, de la siguiente manera:

$V(r=2R)=\cancelto{0}{-\displaystyle\int_{\infty}^{4R}0dr}-\displaystyle\int_{4R}^{2R}\dfrac{kQ}{r^2}dr=\dfrac{kQ}{4R}$.

Coincide con el de Al2000, buena señal.

2) Cuando se conecta la corteza 2 a Tierra, su potencial es 0. Llamo $Q_2$ a su carga.

$V(r=2R)=-\displaystyle\int_{\infty}^{4R}\dfrac{kQ_2}{r^2}dr-\displaystyle\int_{4R}^{2R}\dfrac{k(Q+Q_2)}{r^2}dr=\dfrac{kQ_2}{4R}+\dfrac{k(Q+Q_2)}{4R}=0$. Despejando,

$Q_2=-\dfrac{Q}{2}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Dejo el último apartado para Byfu, a ver si se anima.

[Richard R Richard]

Veo que hasta ahora han calculado la carga del cascaron 2 cuando esta conectado a tierra.,

el campo eléctrico tomado por gauss de tres cargas concéntricas Q.-Q/2 y -Q . es

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sum Q_i}{(6R)^2}=\dfrac{1}{\pi\epsilon_0}\dfrac{-Q}{288 R^2}$

y Si la distancia ahora no es $6R$ y es $\dfrac{3R}{2}$ entonces el campo es ... ya nos lo dirá Byfu

[JCB]

Hola a tod@s.

Como dije en el comentario # 3.1, mi intención era dejar el último apartado para Byfu, pero como Richard se ha adelantado, y Byfu ha hecho (literalmente) un mutis por el foro, daré respuesta a la última cuestión pendiente, para que el ejercicio no quede inacabado, y sea de utilidad para otros interesados.

En el caso de $r=\dfrac{3R}{2}$, nos encontramos en los puntos de una esfera intermedia entre la primera corteza y la segunda corteza. Aplicando Gauss,

$\displaystyle\oint_{S}\vec{E}\vec{dS}=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}$,

$E4\pi\left(\dfrac{3R}{2}\right)^2=\dfrac{Q}{\epsilon_0}$,

$E=\dfrac{4kQ}{9R^2}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Te sigue sobrando el 4.

[JCB]

No Richard: después de la corrección de Erebus, es correcto. Fíjate que la expresión que utilizo contiene a k.

[Richard R Richard]

Si JCB disculpa la molestia, ni me había dado cuenta del reemplazo, buscaba que coincida la fracción con lo que escribí luego.

[Richard R Richard]

Aplicando Gauss,

$\displaystyle\oint_{S}\vec{E}\vec{dS}=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}$,

$E4\pi\left(\dfrac{3R}{2}\right)^2=\dfrac{Q}{\epsilon_0}$,

Hola , el planteo esta correcto, la carga encerrada es Q, y la distancia al centro $\dfrac{3R}{2}$ pero si despejo

$E\cdot S=\dfrac{Q}{\epsilon_0}$

$E=\dfrac{Q}{4\pi \left(\dfrac{3R}{2}\right)^2\epsilon_0}$

$E=\dfrac{Q}{9\pi R^2\epsilon_0}$